山西省呂梁市柳林縣第四中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

山西省呂梁市柳林縣第四中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若復(fù)數(shù)，則

()．A．

B．

C．

D．參考答案：A2.將數(shù)字“123367”重新排列后得到不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為（）A．72 B．120 C．192 D．240參考答案：B【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①．在2、6中任選1個(gè)安排在個(gè)位數(shù)字，②由倍分法分析前5個(gè)數(shù)位的排法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、要求為偶數(shù)，則其個(gè)位數(shù)字為2或6，有2種情況，②、將其余5個(gè)數(shù)字全排列，安排在前5個(gè)數(shù)位，由于其中有2個(gè)“3”，則前5個(gè)數(shù)位有=60種情況，則可以得到2×60=120個(gè)不同的偶數(shù)；故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意數(shù)字中有兩個(gè)“3”．3.下列說(shuō)法正確的是(

)

A．若已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，且它們正相關(guān)，則其線性回歸直線的斜率為

B．直線垂直于平面a的充要條件為垂直于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線

C．若隨機(jī)變量，

且，

則

D．己知命題，則參考答案：A4.直線l過(guò)點(diǎn)（0，2），被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線l的方程是（

）A. B. C. D.或參考答案：D5.已知函數(shù)f（x）=，若方程f（x）=m存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．（0，） B．（0，e） C．（﹣∞，） D．（0，]參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的定義域和最大值，即可求出方程f（x）=m存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)m的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，x＞0；∴f′（x）==，令f′（x）=0，得1﹣lnx=0，解得x=e；當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得最大值是f（e）=，且f（x）＞0；當(dāng)方程f（x）=m存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是0＜x＜．故選：A．6.“a<－2”是“函數(shù)f(x)＝ax＋3在區(qū)間[－1,2]上存在零點(diǎn)”的()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A7.若a∈R，則a=1是復(fù)數(shù)z=a2﹣1+（a+1）i是純虛數(shù)的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】A2：復(fù)數(shù)的基本概念；2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】當(dāng)a=1時(shí)，可以得到復(fù)數(shù)的實(shí)部等于0，得到復(fù)數(shù)是一個(gè)純虛數(shù)；當(dāng)復(fù)數(shù)是一個(gè)純虛數(shù)時(shí)，根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，得到實(shí)部為0且虛部不為0，得到a=1，得到是一個(gè)充要條件．【解答】解：∵a=1，∴z=2i∴z是純虛數(shù)z是純虛數(shù)故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查條件的判斷，是一個(gè)基礎(chǔ)題，注意推導(dǎo)充要條件時(shí)，從兩個(gè)方面入手，本題是一個(gè)必得分題目．8.已知函數(shù)，若在上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A.(1,e) B.(0,1) C.(－∞,1) D.(1,+∞)參考答案：D【分析】首先判斷函數(shù)單調(diào)性為增.,將函數(shù)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為普通的不等式,再把不等式轉(zhuǎn)換為兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系,利用圖像得到答案.【詳解】定義域上單調(diào)遞增，，則由，得，，則當(dāng)時(shí)，存在的圖象在的圖象上方.，，則需滿足.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,解不等式,將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像關(guān)系等知識(shí),其中當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí),是解題的關(guān)鍵.9.對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞） C．[﹣2，2] D．[0，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】基本不等式；函數(shù)恒成立問(wèn)題；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】當(dāng)x=0時(shí)，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，當(dāng)x≠0時(shí)，則有a≥﹣（|x|+）恒成立，故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．再利用基本不等式求得（|x|+）得最大值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，當(dāng)x≠0時(shí)，則有a≥=﹣（|x|+），故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．由基本不等式可得（|x|+）≥2，∴﹣（|x|+）≥﹣2，即﹣（|x|+）的最大值為﹣2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣2，+∞），故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限參考答案：D試題分析：由題意得復(fù)數(shù)，所以共軛復(fù)數(shù)為，在負(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第一象限，故選D．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算及表示．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和是______________參考答案：12.已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．參考答案：【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有四個(gè)不同的交點(diǎn)的問(wèn)題；畫(huà)出圖象后可知，當(dāng)與在和上分別相切時(shí)，兩切線斜率之間的范圍即為所求的范圍，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和二次函數(shù)的知識(shí)分別求解出兩條切線斜率，從而得到所求范圍.【詳解】有四個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有四個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)由此可得圖象如下圖所示：恒過(guò)，由圖象可知，直線位于圖中陰影部分時(shí)，有四個(gè)不同交點(diǎn)即臨界狀態(tài)為與兩段圖象分別相切當(dāng)與相切時(shí)，可得：當(dāng)與相切時(shí)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則又恒過(guò)，則即，解得：

由圖象可知：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，其中還涉及到導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).解決零點(diǎn)問(wèn)題的常用方法為數(shù)形結(jié)合的方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題后，通過(guò)函數(shù)圖象尋找臨界狀態(tài)，從而使問(wèn)題得以求解.13.為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需把函數(shù)y＝sin的圖象________．參考答案：向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位14.如直線ax＋by=R2與圓x2＋y2=R2相交，則點(diǎn)(a，b)與此圓的位置關(guān)系是

▲

。參考答案：點(diǎn)在圓外略15.如圖所示，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一粒豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則P（B|A）=．參考答案：【考點(diǎn)】CM：條件概率與獨(dú)立事件．【分析】根據(jù)幾何概型計(jì)算公式，分別算出P（AB）與P（A），再由條件概率計(jì)算公式即可算出P（B|A）的值．【解答】解：根據(jù)題意，得P（AB）===，∵P（A）===，∴P（B|A）==故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題給出圓內(nèi)接正方形，求條件概率P（B|A），著重考查了幾何概型和條件概率計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．16.某幾何體的三視圖如圖1所示,它的體積為_(kāi)______.參考答案：略17.下列圖形中線段規(guī)則排列，猜出第6個(gè)圖形中線段條數(shù)為_(kāi)________.

參考答案：

125略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和記為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值及其相應(yīng)的的值.參考答案：19.已知橢圓的上頂點(diǎn)B到兩焦點(diǎn)的距離和為4，離心率（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作相互垂直的兩條射線，與橢圓C分別交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N不與左、右頂點(diǎn)重合），試判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的定值問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由利用已知條件列出，求解可得橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，推出直線MN過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，由方程組，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△＞0，得到4k2﹣m2+1＞0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合AM⊥AN，橢圓的右頂點(diǎn)為（2，0），通過(guò)（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，求解當(dāng)時(shí)，直線l的方程過(guò)定點(diǎn)，推出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）由題意知：，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，MN⊥x軸，△MNA為等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，解得：，此時(shí)，直線MN過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，由方程組，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，則，由已知AM⊥AN，且橢圓的右頂點(diǎn)為（2，0），所以（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，，所以，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得：m=﹣2k或，均滿足△＞0，當(dāng)m=﹣2k時(shí)，直線l的方程y=kx﹣2k過(guò)頂點(diǎn)（2，0），與題意矛盾舍去，當(dāng)時(shí)，直線l的方程過(guò)定點(diǎn)，故直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)是．20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，），橢圓C的離心率e=．（1）求橢圓C的方程；（2）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且△ABC的重心是原點(diǎn)O，證明：△ABC的面積是定值．參考答案：解：（1）由已知可得：，，

∴，…………………2分

又由已知得：，∴，

∴橢圓的方程為，……………5分

（2）設(shè)、、，則因重心是原點(diǎn)可得：

，

∴，………6分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，或，此時(shí)………7分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由可得：，∴……………………8分∴∵在橢圓上，∴∴，，∴，……………10分而點(diǎn)到直線的距離是∴綜上所述，的面積是定值．…………13分(注:以上改為)

略21.（本小題12分）設(shè)函數(shù)為正整數(shù)，為常數(shù).曲線在處的切線方程為函數(shù)(1)求的值；（2）求曲線y=g(x)在點(diǎn)處的切線方程；參考答案：（1）因?yàn)?，由點(diǎn)在上，可得