山西省呂梁市林楓中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

山西省呂梁市林楓中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．(－∞,－1)

B．(－∞,1)

C.

D．(0,1)參考答案：B2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為(

)A.20

B.30

C.40

D.50參考答案：B略3.已知集合，那么（

）A．[2,4)

B．(－1,+∞)

C．[2,+∞)

D．(－1,2]參考答案：A，所以.4.已知、是非零向量且滿足(－2)⊥，(－2)⊥，則與的夾角是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B5.重慶巴蜀中學(xué)高三的某位學(xué)生的10次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖所示，則該生數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的概率為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A6.已知a＞0，且a≠1，則函數(shù)f（x）=ax+（x﹣1）2﹣2a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．與a有關(guān)參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令g（x）=ax﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1時(shí)：g（x）=ax﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，從而得出函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)．【解答】解：令f（x）=0，得：ax﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=ax﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1時(shí)：ax﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1時(shí)，畫出函數(shù)g（x）和h（x）的草圖，如圖示：，兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)；0＜a＜1時(shí)，畫出函數(shù)g（x）和h（x）的草圖，如圖示：，兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題．7.集合，，則A．

B．

C．

D．參考答案：8.關(guān)于函數(shù)y=sin2x的判斷，正確的是（）A．最小正周期為2π，值域?yàn)閇﹣1，1]，在區(qū)間[﹣，]上是單調(diào)減函數(shù)B．最小正周期為π，值域?yàn)閇﹣1，1]，在區(qū)間[0，]上是單調(diào)減函數(shù)C．最小正周期為π，值域?yàn)閇0，1]，在區(qū)間[0，]上是單調(diào)增函數(shù)D．最小正周期為2π，值域?yàn)閇0，1]，在區(qū)間[﹣，]上是單調(diào)增函數(shù)參考答案：C【考點(diǎn)】H7：余弦函數(shù)的圖象；GT：二倍角的余弦．【分析】先化簡函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函數(shù)的最小正周期為π，值域?yàn)閇0，1]，在區(qū)間[0，]上是單調(diào)增函數(shù)，故選C．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的化簡，考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．9.如圖，邊長為1的正方形的頂點(diǎn),分別在軸、軸正半軸上移動(dòng)，則的最大值是（

）A.

B.

C.

D.4參考答案：A略10.定義：在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)滿足的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用幾何概型計(jì)算公式，求出試驗(yàn)包含的全部事件對應(yīng)的集合以及滿足條件的事件A對應(yīng)的面積，即可求得。【詳解】試驗(yàn)包含的全部事件對應(yīng)的集合是，滿足條件的事件，如圖所示，，，所以，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃中可行域的畫法和幾何概型的概率計(jì)算。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P是的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，Q是直線PF與的一個(gè)交點(diǎn)．若則直線PF的方程為

。參考答案：或

12.有下列各式：，

……則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為：_________________________．參考答案：13.已知函數(shù)，若不等式|f（x）|﹣mx+2≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．參考答案：[﹣3﹣2，0]【考點(diǎn)】絕對值三角不等式．【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系的問題，然后數(shù)形結(jié)合即可求得最終結(jié)果．【解答】解：不等式即：mx≤|f（x）|+2恒成立，繪制函數(shù)|f（x）|+2的圖象，則正比例函數(shù)y=mx恒在函數(shù)|f（x）|+2的圖象下方，考查函數(shù)：y=x2﹣3x+2經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，易求得切線的斜率為，據(jù)此可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等，重點(diǎn)考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．14.定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，則實(shí)數(shù)a=

．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；點(diǎn)到直線的距離公式．專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：先根據(jù)定義求出曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，然后根據(jù)曲線C1：y=x2+a的切線與直線y=x平行時(shí)，該切點(diǎn)到直線的距離最近建立等式關(guān)系，解之即可．解答： 解：圓x2+（y+4）2=2的圓心為（0，﹣4），半徑為，圓心到直線y=x的距離為=2，∴曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離為2﹣=．則曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于，令y′=2x=1解得x=，故切點(diǎn)為（，+a），切線方程為y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由題意可知x﹣y﹣+a=0與直線y=x的距離為，即解得a=或﹣．當(dāng)a=﹣時(shí)直線y=x與曲線C1：y=x2+a相交，故不符合題意，舍去．故答案為：．點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，同時(shí)考查了分析求解的能力，屬于中檔題．15.．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為

▲

.

參考答案：-116.已知是單位圓上（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)）任一點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交單位圓于點(diǎn)，則的最大值為

．參考答案：【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的定義；兩角和與差的三角函數(shù).

C1

C5【答案解析】

解析：設(shè)則,所以=，所以的最大值為.【思路點(diǎn)撥】利用以原點(diǎn)為圓心的圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，與過此點(diǎn)的半徑所在射線的和x軸的正半軸所成的角的關(guān)系，得關(guān)于的函數(shù)，求此函數(shù)的最大值即可.17.將2014-2015學(xué)年高一9班參加社會實(shí)踐編號分別為：1，2，3，…48的48名學(xué)生，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知5號，29號，41號學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一名學(xué)生的編號是

．參考答案：17考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣方法．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義，求出樣本間隔即可．解答： 解：樣本間距為48÷4=12，則另外一個(gè)編號為5+12=17，故答案為：17．點(diǎn)評：本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，求出樣本間隔是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(14分)已知函數(shù)的定義域是∈R,Z},且,,當(dāng)時(shí),.(1)求證:是奇函數(shù);(2)求在區(qū)間Z)上的解析式;(3)是否存在正整數(shù)k,使得當(dāng)x∈時(shí),不等式有解?證明你的結(jié)論.參考答案：解析：(1)由得,所以是周期為2的函數(shù).∴即為,故是奇函數(shù).(2)當(dāng)x∈時(shí),.所以,當(dāng)x∈Z)時(shí),.(3)即為,亦即.令是正整數(shù)),則在上單調(diào)遞增,而,∴在上無解,從而不存在正整數(shù)k,使得當(dāng)x∈時(shí),不等式有解.19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）證明在上是增函數(shù)；（3）解不等式.參考答案：【知識點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．B3B4

【答案解析】（1）；（2）見解析；（3）。解析：（1）是（-1，1）上的奇函數(shù)

（1分）又

（2分）

（4分）（2）證明：任設(shè)x1、x2（-1，1），且則

（6分），且

又

即

（7分）在（-1，1）上是增函數(shù)

（8分）（3）是奇函數(shù)

不等式可化為即

（9分）又在（-1，1）上是增函數(shù)∴有解之得，（11分）∴不等式的解集為．（12分）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和條件，建立方程即可求函數(shù)f（x）的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明在上是增函數(shù)；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．20.（本題滿分18分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）若數(shù)列滿足：對于，都有（常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若

則是公差為的準(zhǔn)等差數(shù)列．（1）求上述準(zhǔn)等差數(shù)列的第項(xiàng)、第項(xiàng)以及前項(xiàng)的和；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，對于，都有．求證：為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（3）設(shè)（2）中的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的取值范圍．參考答案：解：（1），

（2分）

（4分）（2）

①

②②-①得．

所以，為公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列．

（2分）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；

（2分）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，

（2分）

（3）解一：在中，有32各奇數(shù)項(xiàng)，31各偶數(shù)項(xiàng)，所以，

（4分），．

（2分）解二：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，……將上面各式相加，得．

（4分），．

（2分）21.已知函數(shù)()=，g()=+。（1）求函數(shù)h()=()-g()的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列{}（）滿足，，證明：存在常熟M,使得對于任意的，都有≤

.參考答案：解析：（I）由知，，而，且，則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)有零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn)解法1：，記，則。當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)?，則在內(nèi)有零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；從而在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。解法2：，記，則。當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。因此在內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。（II）記的正零點(diǎn)為，即。（1）當(dāng)時(shí)，由，即.而，因此，由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。故對任意的，成立。（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。故對任意的，成立。綜上所述