《信號與系統(tǒng)》課程講義3-1,2,3

第三章傅立葉變換主要內(nèi)容：周期信號的傅立葉級數(shù)非周期信號的傅立葉變換傅立葉變換的基本性質(zhì)卷積定理和相關(guān)定理周期信號和抽樣信號的傅立葉變換

§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

f(t)一、三角形式的傅立葉級數(shù)任意信號的三角形式傅立葉級數(shù)展開是區(qū)間上的一個完備正交函數(shù)集，周期②滿足一定條件的任一函數(shù)在區(qū)間描述為：①都可以§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

其中：ii)iii)

i)§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

2．對于周期函數(shù)，由于只要積分區(qū)間大小為T1），故在,3．存在的充分非必要條件：狄利克雷條件②一周期內(nèi)③絕對可積，即積分值與積分區(qū)間無關(guān)（均可以展成傅立葉級數(shù)。①一周期內(nèi)間斷點(diǎn)有限個；極值有限個；§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

4．其它三角形式ii),iii),iv),，i)§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

v)基波分量：與對應(yīng)的vi)奇次諧波分量：對應(yīng)的vii)偶次諧波分量：對應(yīng)的viii)直流分量：a0§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

5．周期信號的離散譜i)幅度譜~ii)相位譜~§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

二、指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)1．任意信號的指數(shù)傅立葉級數(shù)展開，區(qū)間為上的完備正交函數(shù)集，周期

①為§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

②任意其中，

§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

2．與①=的關(guān)系②=i)==，=令=和,則時

=ii)，iii),,§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

3．幅度譜~和相位譜~實(shí)傅立葉級數(shù)的特點(diǎn)ii)

奇函數(shù)為偶函數(shù)i)4．負(fù)頻率出現(xiàn)無物理意義，只是數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果。§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

Ef(t)t三、函數(shù)對稱性與傅立葉系數(shù)關(guān)系①②③1．偶函數(shù)§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

[例1]：周期矩形脈沖：只含直流項(xiàng)與余弦項(xiàng)指數(shù)形式：即：§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

2．奇函數(shù)

①②③§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

[例2]：周期鋸齒波只含正弦項(xiàng)f(t)E/2-E/2t§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析3．奇諧函數(shù)：①②§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

i)當(dāng)時ii)當(dāng)時③同理ii)當(dāng)時時i)當(dāng)4．去直流后為奇函數(shù)

為奇函數(shù)：只含正弦項(xiàng)，則只含直流和正弦項(xiàng)。§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

[例3]：含直流的周期鋸齒波：，tt§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

5．去直流后為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)：含直流、基波和奇次諧波。

§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

[例4]：周期三角波含直流、基波和奇次諧波余弦分量。§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

f(t)6．偶函數(shù)&奇諧函數(shù)只含基波和奇次諧波的余弦分量§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

[例5]：對稱方波只含基波和奇次諧波的余弦分量?！?.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

-11tf(t)7．奇函數(shù)&奇諧函數(shù)只含基波、奇次諧波的正弦分量§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

8．偶諧函數(shù)：只含直流和偶次諧波②①不一定為0§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

i)當(dāng)時ii)當(dāng)時③同理ii)當(dāng)時時i)當(dāng)§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

9．偶函數(shù)&偶諧函數(shù)只含直流和偶次諧波的余弦分量f(t)§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

10．奇函數(shù)&偶諧函數(shù)只含偶次諧波的正弦項(xiàng)§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

四、功率特性，有限級數(shù)，最小方均誤差功率特性①§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

②：直流功率④稱之為帕塞瓦爾方程：交流功率，其中的交流功率為，有效值③§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

2.有限級數(shù)及最小方均誤差→②最小方均誤差ii)①有限級數(shù)的由來：i)§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

[例6]：對稱方波②,③,ii)變化越劇烈，高頻分量越多解：①i)項(xiàng)數(shù)越多，誤差越小，，—>④§3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分析

3.吉布斯現(xiàn)象峰起愈靠近的不連續(xù)點(diǎn)。①項(xiàng)數(shù)越多，中出現(xiàn)的很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，它約等于總跳變值的9%，并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏震蕩的形式逐漸衰減下去②≈9%f(t)t§3.3典型周期信號的傅立葉級數(shù)

半波余弦、半波正弦類①全波整流：只含直流、余弦分量的情況§