Ch3.4(角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律)

復(fù)習(xí)：上一節(jié)的內(nèi)容動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒定律

1.動(dòng)量定理2.動(dòng)量守恒定律§3.4

沖量矩角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律我們引入了描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量——?jiǎng)恿?。本?jié)引入新的狀態(tài)量——角動(dòng)量

為什么地球受太陽(yáng)的引力而不會(huì)落到太陽(yáng)上去？地球?yàn)槭裁茨芤砸欢ǖ慕撬俣冗\(yùn)轉(zhuǎn)?

引入角動(dòng)量是為了研究轉(zhuǎn)動(dòng)，但角動(dòng)量本身不限于轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)也有角動(dòng)量。在粒子物理中角動(dòng)量具有更重要的意義，角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用比經(jīng)典物理中還廣泛。

本節(jié)討論質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量，介紹外界作用量——沖量矩（角沖量），建立角動(dòng)量原理和角動(dòng)量守恒定律。（一）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)O點(diǎn)的徑矢為，則它對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量(動(dòng)量矩)為

1.定義：某一質(zhì)點(diǎn)，動(dòng)量注意：（1）大?。悍较颍河糜沂致菪▌t確定。（2）相對(duì)性①對(duì)不同的參考系，矢徑不同，動(dòng)量不同，角動(dòng)量也不同。②參考點(diǎn)不同，矢徑不同，角動(dòng)量也不同。一、角動(dòng)量3.

當(dāng)θ＝0，π時(shí)，L=0；θ＝π/2，L最大。4.

把P分解成徑向分量Pcosθ和橫向分量Psinθ。

則只有橫向分量對(duì)L有貢獻(xiàn)。5.

L的直角分量式6.SI中單位：kg·m2/s。（二）作圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)m繞圓心O作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，故質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心

O的角動(dòng)量（三）作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量③

若不變，則：

，即勻速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。④

當(dāng)?shù)姆较蛘弥赶蚧虮畴x參考點(diǎn)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量為零。討論：②

對(duì)不同參考點(diǎn)的角動(dòng)量一般不同。①

作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，和可能逐點(diǎn)變化，但保持不變。解：解：質(zhì)點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量[例題2]如圖，一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以恒定的速度沿著一條直線運(yùn)動(dòng)。該直線到原點(diǎn)的垂直距離為b，求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。[例題1]地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)可以近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求地球?qū)μ?yáng)的角動(dòng)量的大小。（四）質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量設(shè)有

n

個(gè)質(zhì)點(diǎn)，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一參考點(diǎn)的角動(dòng)量之和二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量原理引入力矩：（一）力矩及其計(jì)算1)大?。篗=rFsinθ

方向：由右手螺旋定則確定。3)

在直角坐標(biāo)系中：?jiǎn)挝唬号！っ祝∟·m）為合外力F

對(duì)參考點(diǎn)O的矢徑r的力矩表示為：2)相對(duì)性：依賴于O點(diǎn)的選取。rsin

為“力臂”。3)作用于質(zhì)點(diǎn)上所有力矩的矢量和，等于合力的力矩。力矩滿足疊加原理——質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量原理即：質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩等于它的角動(dòng)量的變化率。（力矩和角動(dòng)量是對(duì)慣性系中同一參考點(diǎn)而言的）積分關(guān)系此即為角動(dòng)量原理：質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量等于質(zhì)點(diǎn)受到的角沖量。（二）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量原理（三）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律

—若對(duì)某一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量將保持不變。

即有心力作用的質(zhì)點(diǎn)相對(duì)力心的角動(dòng)量守恒。例：①行星對(duì)太陽(yáng)的角動(dòng)量守恒（忽略行星之間作用）；

②氫原子中電子對(duì)原子核的角動(dòng)量守恒。討論：條件：結(jié)論：

[例題1]質(zhì)量為m、線長(zhǎng)為l的單擺，可繞點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，初始時(shí)刻擺線被拉至水平，然后自由放下，求：①擺線與水平線成θ角時(shí)，擺球所受到的力矩及擺球?qū)c(diǎn)O的角動(dòng)量；②擺球到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，角速度的大小。解：受力：重力；張力。重力對(duì)O點(diǎn)的力矩為M=mglcosθ，力矩的方向垂直于屏幕向里，大小隨θ變化。由角動(dòng)量原理作變換瞬時(shí)角動(dòng)量L=ml2ωθABlmO

[例題2]利用角動(dòng)量守恒定律證明開(kāi)普勒第二定律：行星相對(duì)太陽(yáng)的徑矢在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積(面積速率)是常量。

解：如圖，行星在太陽(yáng)引力作用下沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，Δt時(shí)間內(nèi)行星徑矢掃過(guò)的面積面積速率：★★

開(kāi)普勒定律大師思路

天文學(xué)先于物理學(xué)。物理學(xué)的發(fā)端始于揭開(kāi)行星運(yùn)行之謎。開(kāi)普勒定律和萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)，堪稱一部揭示物理學(xué)規(guī)律簡(jiǎn)潔美、普適美的壯麗史詩(shī)。約公元150年，古希臘的托勒密（C.Ptolemy）發(fā)表巨著《天文學(xué)大成》，共13卷。建立了宇宙的地心體系。他以地球?yàn)橹行?，確定了一年的持續(xù)時(shí)間。給出了計(jì)算日蝕和月蝕的方法，說(shuō)明了進(jìn)動(dòng)。編制了1028個(gè)星體的星表。

一千多年后，波蘭的哥白尼（N.Copernicus）(1473-1543)大膽擯棄了統(tǒng)治了1000多年的托勒密的地心說(shuō)，革命性地創(chuàng)建了日心說(shuō)。根據(jù)簡(jiǎn)單的天體繞太陽(yáng)的轉(zhuǎn)動(dòng)和地球的自轉(zhuǎn)規(guī)律推導(dǎo)出行星的表觀運(yùn)動(dòng)。他寫出了偉大的著作《天體運(yùn)行論》，直到1543年，在他臨終前才得以問(wèn)世。哥白尼的思想把科學(xué)從神學(xué)和經(jīng)驗(yàn)哲學(xué)中解放出來(lái)，是自然科學(xué)的一次偉大的革命。1616年，他的著作被羅馬教廷列為“禁書(shū)”。為宣傳和發(fā)展他的思想，意大利的布魯諾（G.Bruno）(1548-1600)被宗教裁判所活活燒死。

1632年，意大利的伽利略（G.Galileo）發(fā)表名著《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話》，繼續(xù)捍衛(wèi)和發(fā)展哥白尼的學(xué)說(shuō)，受到羅馬教會(huì)的迫害，被軟禁。

人們把這段歷史，豪邁地形容為：

“哥白尼攔住了太陽(yáng)，推動(dòng)了地球”。

丹麥的天文學(xué)家第谷（B.Tycho）認(rèn)為地球太笨重了，不可能繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)。但是，他二十年如一日，精確測(cè)定了行星的位置，繪制了上千顆恒星的星圖。

第谷的學(xué)生開(kāi)普勒

(J.Keplker

德國(guó)，1571-1630)，善于理論研究。在第谷死后，開(kāi)普勒全力以赴整理第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)哥白尼的行星運(yùn)行的圓形軌道有問(wèn)題，與第谷的數(shù)據(jù)不合。他放棄了“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”這個(gè)一向?yàn)槿藗兯姁?ài)的古老的完美觀念。他著手用各種卵形線去擬合行星軌道，經(jīng)過(guò)大量的仔細(xì)計(jì)算后，終于成功地發(fā)現(xiàn)了他最重要的成果：行星的軌道是橢圓形的，太陽(yáng)位于其一焦點(diǎn)上。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)年深入的思考和艱苦的計(jì)算，他終于完成了行星運(yùn)動(dòng)三定律?！铩?/p>

開(kāi)普勒（J.Kepler1571-1630）行星運(yùn)動(dòng)三定律第一定律（軌道定律）（1609年）

——行星沿橢圓軌道運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定律（面積速度定律）（1609年）

——行星相對(duì)太陽(yáng)的徑矢在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積是常量。第三定律（周期定律）（1619年）

——行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期的平方與軌道橢圓半長(zhǎng)軸的立方成正比。

開(kāi)普勒第一、二定律發(fā)表在他的著作《新天文學(xué)》（1609年版）中，第三定律發(fā)表在《宇宙和諧論》（1619年版）中。在《宇宙和諧論》中，他描述了宇宙交響曲。認(rèn)為宇宙是建立在美學(xué)基礎(chǔ)上的，宇宙是最和諧、最完美的。他還寫出《哥白尼天文學(xué)概要》、《宇宙的神秘》、《論彗星》、《稀奇的1631年天象》、《魯?shù)婪蛐潜怼?、《折光學(xué)》、《天文光學(xué)》等等大量科學(xué)著作。他還寫了一本科幻小說(shuō)《一個(gè)夢(mèng)——月球的天文學(xué)》于1634年在他死后出版。他的著作全集1-18卷，于1937-1969年在慕尼黑出版。

開(kāi)普勒對(duì)光學(xué)有很大貢獻(xiàn)。制成由兩個(gè)雙凸透鏡組成的望遠(yuǎn)鏡——開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡。建立了幾何成象理論，表述了照度與至光源距離的平方成反比的定律。還表述了近似的折射定律和全反射現(xiàn)象，給出了透鏡公式和視覺(jué)條件。開(kāi)普勒當(dāng)時(shí)已具有了“引力”的思想，認(rèn)為海洋的潮汐來(lái)源于月球的作用。他還提出“力”是“加速度”的原因。在開(kāi)普勒三定律的基礎(chǔ)上，牛頓發(fā)現(xiàn)了“萬(wàn)有引力定律”。

前沿思考

太陽(yáng)系是否有第十大行星？（1）水星（Mercury）傳信神（掌管商業(yè)、道路、通訊）（2）金星（Venus）愛(ài)和美的女神（維納斯）（3）地球（Earth）（4）火星（Mars）戰(zhàn)神（5）木星（Jupiter）主神（6）土星（Saturn）農(nóng)神（7）天王星（Uranus）天神、天王（1781年W.Herschel發(fā)現(xiàn)）（8）海王星（Neptune）海神（1846年Adams和LeVerrier計(jì)算出新星軌道參數(shù),柏林天文臺(tái)C.Galle發(fā)現(xiàn)）（9）冥王星（Pluto）陰間神、冥王（1930年W.Tambaugh

計(jì)算并發(fā)現(xiàn)）1.一對(duì)作用力與反作用力的力矩之和（一）質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量原理方向⊙

三、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量原理和角動(dòng)量守恒定律2.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量原理推廣得：

Om1m2討論：外力矩的矢量和非合外力的力矩質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量原理：質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于系統(tǒng)總角動(dòng)量的時(shí)間變化率。對(duì)比牛頓第二定律：

外力矩對(duì)時(shí)間的累積作用

=

角動(dòng)量的增量積分形式角動(dòng)量原理：動(dòng)量原理：對(duì)比：（二）質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律對(duì)比動(dòng)量守恒定律：1.孤立系統(tǒng)2.在有心力的作用下，對(duì)力心有心力：力的作用線始終通過(guò)空間一固定點(diǎn)。注:主要有以下情況：例題：m

質(zhì)點(diǎn)，做初r，v運(yùn)動(dòng)角速度隨r如何變化？★★

注意：“外力矩的矢量和”與“外力的矢量和”的區(qū)別

當(dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系的兩個(gè)外力大小相等，反向平行但不作用在同一直線上時(shí)，它們的矢量和為零，但它們力矩的矢量和不為零。r

[例題]如圖,兩人質(zhì)量相等,位于同一高度,各由繩子一端開(kāi)始爬繩,繩子與輪的質(zhì)量不計(jì),軸無(wú)摩擦.他們那個(gè)先達(dá)頂?