CG-7 幾何造型技術(shù)

第7章幾何造型技術(shù)主要內(nèi)容：7.0三維圖形學(xué)的基本問題7.1三維模型7.2實(shí)體造型技術(shù)7.3分形幾何法11、如何在二維屏幕上顯示三維物體顯示器屏幕、圖紙等是二維的顯示對象是三維的解決方法投影7.0三維圖形學(xué)的基本問題2二、如何反映遮擋關(guān)系物體之間或物體的不同部分之間存在相互遮擋關(guān)系遮擋關(guān)系是空間位置關(guān)系的重要組成部分解決方法消除隱藏面與隱藏線7.0三維圖形學(xué)的基本問題3三、如何產(chǎn)生真實(shí)感圖形人們觀察現(xiàn)實(shí)世界產(chǎn)生的真實(shí)感來源于空間位置關(guān)系近大遠(yuǎn)小的透視關(guān)系和遮擋關(guān)系物體表面顏色光線傳播引起的物體表面顏色的自然分布解決方法建立光照明模型、開發(fā)真實(shí)感圖形繪制方法7.0三維圖形學(xué)的基本問題4三維圖形學(xué)的基本研究內(nèi)容用二維來表示三維（投影）消除隱藏面與隱藏線（消隱處理）建立光照明模型、真實(shí)感圖形繪制方法（真實(shí)感圖形設(shè)計(jì)）7.0三維圖形學(xué)的基本問題57.1三維模型模型分類6一、數(shù)據(jù)模型完全以數(shù)據(jù)來描述用8個(gè)頂點(diǎn)表示的立方體A1(0,0,0)A2(0,0,1)…A8(1,1,1)以中心點(diǎn)和半徑表示的球O（0，0，0）R＝707.1三維模型71、線框模型線框模型將形體表示成一組輪廓線的集合與形體之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系是真實(shí)物體的高度抽象表示簡單、處理速度快7.1三維模型8頂點(diǎn)坐標(biāo)值1

0,0,12

1,0,13

1,1,14

0,1,05

0,0,06

1,0,07

1,1,08

0,1,0棱邊頂點(diǎn)號

1 1,22 2,33 3,44 4,15 5,66 6,77 7,88 8,59 1,57 2,611 3,712 4,87.1三維模型線框模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

9線框模型的特點(diǎn)線框模型不表示面的信息對線框模型描述的實(shí)體可能有不同的理解線框模型不能表示出物體的完整信息三維線框模型可能表示不出實(shí)體的輪廓線7.1三維模型102、表面模型表面模型將形體表示成一組表面的集合形體與其表面一一對應(yīng)，適合于真實(shí)感顯示7.1三維模型11表面模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在線框模型的基礎(chǔ)上附加一個(gè)反映有關(guān)面的信息表表面棱邊表

11,2,3,425,6,7,831,7,5,942,11,6,753,12,7,1164,9,8,127.1三維模型123、實(shí)體模型用來描述實(shí)體，主要用于CAD/CAM包含了描述一個(gè)實(shí)體所需的較多信息，如幾何信息、拓?fù)湫畔?.1三維模型13數(shù)據(jù)建模的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：數(shù)據(jù)建模方法歷史最久，建立在牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上在需要精確描述的場合中（如CAD）,有其它方法無法替代的作用缺點(diǎn)：如果場景復(fù)雜，建模困難繪制速度慢7.1三維模型14二、過程模型(基于分形建模)對于自然景物的模擬非常逼真尤其在生態(tài)環(huán)境的模擬方面，是當(dāng)前最有效的方法精確性不高分形描述的是具有自相似性的物體，所以它無法達(dá)到幾何模型的精確性算法比較復(fù)雜分形中由于細(xì)節(jié)的無限性，在繪制時(shí)，相交檢測、可視點(diǎn)的測定等算法比較復(fù)雜7.1三維模型157.2實(shí)體造型技術(shù)實(shí)體造型技術(shù)7.2.1實(shí)體造型7.2.2實(shí)體的正則性7.2.3實(shí)體造型技術(shù)167.2.1實(shí)體造型造型技術(shù)研究如何在計(jì)算機(jī)中建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，來表示真?shí)世界的物體三維歐氏幾何實(shí)體描述基本三維幾何實(shí)體由點(diǎn)、線、面構(gòu)成復(fù)雜三維幾何實(shí)體由簡單的基本三維幾何實(shí)體組合構(gòu)成17正則實(shí)體指三維幾何實(shí)體中不包含獨(dú)立存在的低維部分，如二維的面、一維的線、零維的點(diǎn)。也就是通常所說的懸面、懸邊或孤點(diǎn)7.2.2實(shí)體的正則性18幾何元素正則形體面邊點(diǎn)是形體表面一部分只有兩個(gè)鄰面至少和三個(gè)面（或三條邊）鄰接7.2.2實(shí)體的正則性正則實(shí)體的要求19集合運(yùn)算集合運(yùn)算（并、交、差）是構(gòu)造形體的基本方法正則形體經(jīng)過集合運(yùn)算后，可能會(huì)產(chǎn)生懸邊、懸面二個(gè)二維圖形的交產(chǎn)生一個(gè)退化的結(jié)果7.2.2實(shí)體的正則性20正則化處理正則化處理是保證集合運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)正則形體，即丟棄懸邊、懸面等7.2.2實(shí)體的正則性21歐拉公式簡單多面體（即三維實(shí)體上沒有孔）頂點(diǎn)（v）－邊數(shù)（e）＋面數(shù)（f）＝27.2.2實(shí)體的正則性22任意的正則形體引入形體的其它幾個(gè)參數(shù)：實(shí)體所有面上的內(nèi)孔（內(nèi)環(huán)）數(shù)(r)實(shí)體的通孔數(shù)(h)實(shí)體個(gè)數(shù)(s)則形體滿足公式：頂點(diǎn)－邊數(shù)＋面數(shù)－環(huán)數(shù)＋2通孔數(shù)－2實(shí)體數(shù)=0即：v-e+f-r+2h-2s=07.2.2實(shí)體的正則性23歐拉公式：v-e+f-r+2h-2s=0如圖a中，v=8、e=12、f=6、r=0、h=0、s=1滿足歐拉公式如圖b中，v=14、e=21、f=9、r=2、h=1、s=1滿足歐拉公式7.2.2實(shí)體的正則性24257.2.3實(shí)體造型技術(shù)實(shí)體造型技術(shù)分類：（一）實(shí)體分解表示（二）實(shí)體構(gòu)造表示（三）實(shí)體邊界表示26表示原理將形體按某種規(guī)則分解為小的易于描述的部分每一小部分又可分為更小的部分直至每一小部分都能夠直接描述為止表示方法1、空間位置枚舉2、八叉樹法3、單元分解（一）實(shí)體分解表示271、空間位置枚舉法選擇一個(gè)立方體空間，將它均勻劃分（一）

實(shí)體分解表示28空間位置枚舉表示用三維數(shù)組C[i][j][k]表示物體，數(shù)組中的元素與單位小立方體一一對應(yīng)當(dāng)C[i][j][k]=1時(shí)，表示對應(yīng)的小立方體被物體占據(jù)當(dāng)C[i][j][k]=0時(shí)，表示對應(yīng)的小立方體沒有被物體占據(jù)（一）

實(shí)體分解表示29空間位置枚舉法的優(yōu)點(diǎn)可以表示任何物體容易實(shí)現(xiàn)物體間的集合運(yùn)算容易計(jì)算物體的整體特征，如體積等空間位置枚舉法的缺點(diǎn)占用大量的存儲(chǔ)空間，如1024*1024*1024=1Gb沒有邊界信息，不適于圖形顯示對物體進(jìn)行幾何變換困難，如非90度的旋轉(zhuǎn)變換是物體的非精確表示（一）

實(shí)體分解表示302、八叉樹法對空間位置枚舉表示的空間分割方法作了改進(jìn)均勻分割自適應(yīng)分割建立過程八叉樹的根節(jié)點(diǎn)對應(yīng)整個(gè)物體空間；如果它完全被占據(jù)，將該節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為F，算法結(jié)束；如果它內(nèi)部為空，將該節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為E，算法結(jié)束；如果它被物體部分占據(jù)，將該節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為P,并將它分割成8個(gè)子立方體對每一個(gè)子立方體進(jìn)行上述同樣的處理（一）

實(shí)體分解表示31

（一）

實(shí)體分解表示32八叉樹法的優(yōu)點(diǎn)可以表示任何物體容易實(shí)現(xiàn)物體間的集合運(yùn)算容易計(jì)算物體的整體性質(zhì)，如體積等八叉樹法的缺點(diǎn)沒有邊界信息，不適于圖形顯示對物體進(jìn)行幾何變換困難是物體的非精確表示（一）

實(shí)體分解表示33（一）

實(shí)體分解表示3、單元分解表示對空間位置枚舉表示的空間分割方法作了改進(jìn)單一體素多種體素34（一）

實(shí)體分解表示單元分解表示的優(yōu)點(diǎn)表示簡單容易實(shí)現(xiàn)幾何變換基本體素可以按需選擇，表示范圍較廣可以精確表示物體單元分解表示的缺點(diǎn)物體的表示不唯一物體的有效性難以保證35（一）

實(shí)體分解表示三種空間分割方法的比較空間位置枚舉表示同樣大小立方體粘合在一起表示物體八叉樹表示不同大小的立方體粘合在一起表示物體單元分解表示不同形狀的幾何體粘合在一起表示物體36（二）實(shí)體構(gòu)造表示表示原理按照實(shí)體生成過程來定義形體的方法表示方法1、掃描表示2、構(gòu)造實(shí)體幾何(CSG)表示3、特征表示371、掃描法掃描表示一個(gè)基體（一般是一個(gè)封閉的平面輪廓）沿某一路徑運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生形體掃描表示的兩個(gè)分量一個(gè)是被運(yùn)動(dòng)的基體，另一個(gè)是基體運(yùn)動(dòng)的路徑運(yùn)動(dòng)方式：平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等基體的形狀可以不變，也可以變化如果變化，還要給出變化的規(guī)律（二）

實(shí)體構(gòu)造表示38平移掃描將一個(gè)二維區(qū)域沿著一個(gè)矢量方向推移（二）

實(shí)體構(gòu)造表示39旋轉(zhuǎn)掃描將一個(gè)二維區(qū)域繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周（二）

實(shí)體構(gòu)造表示40（二）

實(shí)體構(gòu)造表示將物體A沿著軌跡P推移得到物體B，稱B為sweep體41掃描法的應(yīng)用三維幾何實(shí)體的繪制拉伸、旋轉(zhuǎn)三維幾何實(shí)體的編輯拉伸面、著色面曲面的繪制拉伸、旋轉(zhuǎn)（二）

實(shí)體構(gòu)造表示42（二）

實(shí)體構(gòu)造表示2、構(gòu)造實(shí)體幾何(CSG)表示CSG（ConstructiveSolidGeometry）表示方法將簡單的基本幾何實(shí)體通過集合的交、并、差運(yùn)算產(chǎn)生復(fù)雜的幾何實(shí)體常用的基本幾何實(shí)體長方體、球體、圓柱體、圓錐體、圓環(huán)體等復(fù)雜幾何實(shí)體可由基本幾何實(shí)體經(jīng)集合運(yùn)算生成生成過程可以用二叉樹（CSG樹）來描述43二叉樹（CSG樹）（二）

實(shí)體構(gòu)造表示44CSG樹構(gòu)造法的優(yōu)點(diǎn)表示簡單、直觀可做為圖形輸入手段容易計(jì)算物體的整體性質(zhì)CSG樹構(gòu)造法的缺點(diǎn)表示不唯一不能直接用于顯示求交計(jì)算麻煩（二）實(shí)體構(gòu)造表示453、特征表示用一組特征參數(shù)表示一族類似的物體特征包括形狀特征、材料特征等適用于工業(yè)上標(biāo)準(zhǔn)件的表示（二）

實(shí)體構(gòu)造表示46邊界表示的原理物體的邊界與物體一一對應(yīng)，確定了物體的邊界也就確定了物體本身。按照體－面－環(huán)－邊－點(diǎn)的層次，詳細(xì)記錄構(gòu)成形體的所有幾何元素的幾何信息及其拓?fù)潢P(guān)系邊界表示（BoundaryRepresentation）是幾何造型中最成熟、無二義的表示法（三）實(shí)體邊界表示47（三）實(shí)體邊界表示48邊界表示的優(yōu)點(diǎn)精確表示物體表示能力強(qiáng)幾何變換容易適于顯示處理邊界表示的缺點(diǎn)表示復(fù)雜有效性難以保證集合運(yùn)算復(fù)雜（三）實(shí)體邊界表示49分解表示掃描表示特征表示邊界表示構(gòu)造實(shí)體幾何表示精確性表示域唯一性封閉性簡潔性輸入輸出近似精確有條件精確有條件精確有條件精確有限有限任何實(shí)體任何實(shí)體有條件有限唯一不唯一封閉封閉不封閉不能進(jìn)行集合運(yùn)算有條件復(fù)雜簡潔簡潔簡潔介于兩者之間面向用戶面向用戶面向用戶支持加工支持計(jì)算幾種方法的比較507.3分形幾何方法分形幾何方法歐氏幾何主要描述的是直線、平滑的曲線平面及邊界整齊的平滑曲面對于復(fù)雜的自然景象，難以表示諸如山、樹、草、火、云、波浪等，因?yàn)閺臍W氏幾何來看，它們是極端無規(guī)則的為了解決復(fù)雜圖形生成問題，可采用分形造型方法51分形造型對模型的基本要求：能“逼真”地“再現(xiàn)”自然景象“逼真”是指從視覺效果上逼真“再現(xiàn)”即不要求完全一致⒉模型不依賴于觀察距離距離遠(yuǎn)時(shí)可給出大致輪廓和一般細(xì)節(jié)距離近時(shí)能給出更豐富細(xì)節(jié)3.模型應(yīng)便于交互地修改4.圖形生成的效率要高5.模型適用范圍應(yīng)盡可能地廣7.3分形幾何方法52例1：Koch雪花曲線將一個(gè)等邊三角形的三邊都三等分，在中間的那一段再凸起一個(gè)小三角形，這樣一直下去。

Koch曲線的形狀類似于雪花，因此也稱為雪花曲線7.3分形幾何方法537.3分形幾何方法54Vonkochsnowflake55例2:測量海岸線長度用一個(gè)1000m的尺子,可以得到一個(gè)長度為L1測量會(huì)漏掉許多小于1000m的小灣，因而結(jié)果不精確如果尺子縮到1m，得到一個(gè)新的結(jié)果L2，顯然L2>L1一般來說，如果用長度為r的尺子來量，將會(huì)得到一個(gè)與r有關(guān)的數(shù)值L(r)與Koch的雪花一樣r→0，L(r)→∞海岸線長度是不確定的，它與測量用的尺子長度有關(guān)7.3分形幾何方法56Koch雪花和海岸線長度的共同特點(diǎn)：無限細(xì)節(jié)任意小的局部范圍內(nèi)都有無限的細(xì)節(jié)，