2022屆浙江省杭州市西湖區(qū)杭州學(xué)軍中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．2．設(shè)點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（）A． B． C． D．3．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．24．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且A、B兩點在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．5．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．6．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于兩點，若，則的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A． B． C．i D．i9．盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)，則()A．， B．，C．， D．，10．拋物線的焦點為，則經(jīng)過點與點且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．0個 D．無數(shù)個11．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度，則所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)，，則的面積為________.14．在的二項展開式中，x的系數(shù)為________．（用數(shù)值作答）15．（5分）已知，且，則的值是____________．16．不等式對于定義域內(nèi)的任意恒成立，則的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.18．（12分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識，高二年級準(zhǔn)備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.（1）設(shè)事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知.（1）若曲線在點處的切線也與曲線相切，求實數(shù)的值；（2）試討論函數(shù)零點的個數(shù).20．（12分）如圖,四棱錐中,平面平面,底面為梯形.，且與均為正三角形.為的中點為重心,與相交于點.(1)求證:平面；(2)求三棱錐的體積.21．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值.22．（10分）的內(nèi)角所對的邊分別是，且，.（1）求；（2）若邊上的中線，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.2．C【解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識求的最小值．【詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時對和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．3．B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處，根據(jù)平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.4．C【解析】

直線恒過定點，由此推導(dǎo)出，由此能求出點的坐標(biāo)，從而能求出的值．【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，直線恒過定點，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點B為AP的中點、連接OB，則，∴，點B的橫坐標(biāo)為，∴點B的坐標(biāo)為，把代入直線，解得，故選：C．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬于中檔題.5．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡出，即可得出虛部.【詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念.6．C【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【詳解】由得，在時，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時可先確定函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求解．7．B【解析】

首先由求得雙曲線的方程，進而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選：B【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.8．B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】，則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項.【詳解】表示取出的為一個白球，所以.表示取出一個黑球，，所以.表示取出兩個球，其中一黑一白，，表示取出兩個球為黑球，，表示取出兩個球為白球，，所以.所以，.故選：C【點睛】本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，屬于中檔題.10．B【解析】

圓心在的中垂線上，經(jīng)過點，且與相切的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離與到焦點的距離相等，圓心在拋物線上，直線與拋物線交于2個點，得到2個圓．【詳解】因為點在拋物線上，又焦點，，由拋物線的定義知，過點、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點，這樣的交點共有2個，故過點、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種．故選：．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線上，且在垂直平分線上．11．A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為，所以.因為，所以，因為，為增函數(shù)，所以所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.12．D【解析】

先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對稱性得解.【詳解】,

將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,

再向右平移個單位長度,所得函數(shù)的解析式為,，可得函數(shù)圖象的一個對稱中心為，故選D.【點睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點之一，經(jīng)?？疾槎x域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等，其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時要注意基礎(chǔ)知識的理解與落實．三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關(guān)鍵，在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)個全等的三角形，得到，設(shè)，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面積公式，求得三角形的面積.【詳解】由于三角形是由個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，所以.在三角形中，.設(shè)，則.由余弦定理得，解得.所以三角形邊長為，面積為.故答案為：【點睛】本題考查了等邊三角形的面積計算公式、余弦定理、全等三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14．-40【解析】

由題意，可先由公式得出二項展開式的通項，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項的系數(shù)【詳解】的二項展開式的通項公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項展開式中x項的系數(shù)為.故答案為：-40.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

由于，且，則，得，則．16．【解析】

根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為只對于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，利用放縮法，得出，化簡后得出，即可得出的取值范圍.【詳解】解：已知對于定義域內(nèi)的任意恒成立，即對于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，，，當(dāng)時取等號，由可知，，當(dāng)時取等號，，當(dāng)有解時，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，使得，，則，所以的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，解決恒成立問題求參數(shù)值，涉及分離參數(shù)法和放縮法，考查轉(zhuǎn)化能力和計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】（1）連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,所以O(shè)為AC的中點,H為OC的中點,由E、F為DC、BC的中點,再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因為側(cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,因為底面ABCD是菱形,所以,因為,所以平面SDB.【點睛】本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據(jù)題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.18．（1）；（2）見解析【解析】

（1）按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超幾何分布求解即可【詳解】（1）因為學(xué)生總數(shù)為1000人，該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值為0,1,2,3，，，，，的分布列為0123.【點睛】本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題19．（1）（2）答案不唯一具體見解析【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)切點的坐標(biāo)，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一條，從而得到方程組，再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進而求得；（2）對函數(shù)進行求導(dǎo)后得，對分三種情況進行一級討論，即，，，結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理，可得函數(shù)零點情況.【詳解】解:（1）曲線在點處的切線方程為，即.令切線與曲線相切于點，則切線方程為，∴，∴，令，則，記，于是，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，于是，.（2），①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，且，∴函數(shù)在上有且僅有一個零點；②當(dāng)時，在R上沒有零點；③當(dāng)時，令，則，即函數(shù)的增區(qū)間是，同理，減區(qū)間是，∴.?。┤?，則，在上沒有零點；ⅱ）若，則有且僅有一個零點；ⅲ）若，則.，令，則，∴當(dāng)時，單調(diào)遞增，.∴又∵，∴在R上恰有兩個零點，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；當(dāng)或時，函數(shù)恰有一個零點；當(dāng)時，恰有兩個零點.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點等知識，求解切線有關(guān)問題時，一定要明確切點坐標(biāo).以導(dǎo)數(shù)為工具，研究函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，從而得到函數(shù)的零點個數(shù)，此時如果用到零點存在定理，必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個端點值的函數(shù)值相乘小于0，才算完整的解法.20．（1）見解析（2）【解析】

（1）第（1）問，連交于,連接.證明//，即證平面.(2)第(2)問，主要是利用體積變換，,求得三棱錐的體積.【詳解】（1）方法一：連交于,連接.由梯形，且，知又為的中點，為的重心，∴在中，,故//.又平面,平面,∴平面.方法二：過作交PD于N,過F作FM||AD交CD于M,連接