山西省三縣八校2021-2022學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．2．命題“”的否定是（）A． B．C． D．3．已知P是雙曲線漸近線上一點(diǎn)，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，記，PO，的斜率為，k，，若，-2k，成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個(gè)扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種5．第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在中國(guó)武漢舉行，中國(guó)隊(duì)以133金64銀42銅位居金牌榜和獎(jiǎng)牌榜的首位.運(yùn)動(dòng)會(huì)期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地提供服務(wù)，要求每個(gè)人都要被派出去提供服務(wù)，且每個(gè)場(chǎng)地都要有志愿者服務(wù)，則甲和乙恰好在同一組的概率是（）A． B． C． D．6．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)等于（）A． B．1 C． D．27．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．8．已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線C的方程不可能為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．10．已知點(diǎn)，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，則()A．，b為任意非零實(shí)數(shù) B．，a為任意非零實(shí)數(shù)C．a(chǎn)、b均為任意實(shí)數(shù) D．不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b11．若復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線上，則等于()A． B． C． D．12．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．棱長(zhǎng)為的正四面體與正三棱錐的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體的頂點(diǎn)均在一球的球面上，則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.14．二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為_____，含項(xiàng)的系數(shù)為_____．15．為了了解一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度（單位：毫米）情況，現(xiàn)抽取容量為400的樣本進(jìn)行檢測(cè)，如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間的一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數(shù)為__________．16．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.若；且，則周長(zhǎng)的范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）唐詩(shī)是中國(guó)文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩(shī)分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取，某研究人員將唐詩(shī)分成7大類別，并從《全唐詩(shī)》48900多篇唐詩(shī)中隨機(jī)抽取了500篇，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù)，得到下表：愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160（1）根據(jù)上表判斷，若從《全唐詩(shī)》含“山”字的唐詩(shī)中隨機(jī)抽取一篇，則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大，屬于哪個(gè)類別的可能性最小，并分別估計(jì)該唐詩(shī)屬于這兩個(gè)類別的概率；（2）已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為：①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系，則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字；②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字，則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測(cè)值越大，排名就越靠前；設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值分別為，，.已知，，請(qǐng)完成下面列聯(lián)表，并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附：，其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63518．（12分）已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列，使得對(duì)任意，成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.19．（12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).（1）若a，且a≠0，證明：函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn)；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（3）若函數(shù)在R上有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．（12分）已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，線段的垂直平分線交于點(diǎn).（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，求證：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出面積的最大值.22．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中點(diǎn)，AC，BD交于點(diǎn)O.（1）求證：OE∥平面PBC；（2）求三棱錐E﹣PBD的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入，排除掉C，D；再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點(diǎn)，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.2．D【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對(duì)命題進(jìn)行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.3．B【解析】

求得雙曲線的一條漸近線方程，設(shè)出的坐標(biāo)，由題意求得，運(yùn)用直線的斜率公式可得，，，再由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和離心率公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，且，由，可得以為圓心，為半徑的圓與漸近線交于，可得，可取，則，設(shè)，，則，，，由，，成等差數(shù)列，可得，化為，即，可得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查方程思想和運(yùn)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．4．C【解析】

根據(jù)題意，分別計(jì)算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理問題，屬于基礎(chǔ)題．5．A【解析】

根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.【詳解】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場(chǎng)地?zé)o關(guān)，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對(duì)應(yīng)的的值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有.7．B【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況?！驹斀狻浚势婧瘮?shù)，四個(gè)圖像均符合。當(dāng)時(shí)，，，排除C、D當(dāng)時(shí)，，，排除A。故選B。【點(diǎn)睛】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。8．C【解析】

判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程，求得四個(gè)選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程，由此確定選項(xiàng).【詳解】?jī)蓷l漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時(shí)要分為兩種情況．依題意，雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°，雙曲線的漸近線方程為或.A選項(xiàng)漸近線為，B選項(xiàng)漸近線為，C選項(xiàng)漸近線為，D選項(xiàng)漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

由圖象可以求出周期，得到，根據(jù)圖象過點(diǎn)可求，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知，所以，，又圖象過點(diǎn)，所以，故可取，所以令，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.10．A【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)可得，為任意非零實(shí)數(shù).【詳解】依題意，在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對(duì)任意上式都成立，可得，為非零實(shí)數(shù).故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．C【解析】

由題意得，可求得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得選項(xiàng).【詳解】由題意得，解得，所以，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何表示和共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.12．D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線方程，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由棱長(zhǎng)為的正四面體求出外接球的半徑，進(jìn)而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長(zhǎng)，可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進(jìn)而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積，求出內(nèi)切圓的半徑．【詳解】由題意可知：多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于，連接，如圖則，且為外接球的直徑，可得，設(shè)三角形的外接圓的半徑為，則，解得，設(shè)外接球的半徑為，則可得，即，解得，設(shè)正三棱錐的高為，因?yàn)椋?，所以，而，所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，即解得：．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意借助幾何體的直觀圖進(jìn)行分析.14．【解析】

將代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù).【詳解】將代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為.二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，令，解得，因此，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．15．100.【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率，然后可求得樣本中三等品的件數(shù)．詳解：由題意得，三等品的長(zhǎng)度在區(qū)間，和內(nèi)，根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為，∴樣本中三等品的件數(shù)為.點(diǎn)睛：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為，因此每一個(gè)小矩形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率，把小矩形的高視為頻率時(shí)常犯的錯(cuò)誤．16．【解析】

先求角，再用余弦定理找到邊的關(guān)系，再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解：所以三角形周長(zhǎng)故答案為：【點(diǎn)睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件；基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）該唐詩(shī)屬于“山水田園”類別的可能性最大，屬于“其他”類別的可能性最小；屬于“山水田園”類別的概率約為；屬于“其他”類別的概率約為（2）填表見解析；選擇“花”，“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字，且排序?yàn)椤盎ā?，“簾”【解析?/p>

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表算出頻率，比較大小即可判斷；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表完成列聯(lián)表，算出觀測(cè)值，查表判斷.【詳解】（1）由上表可知，該唐詩(shī)屬于“山水田園”類別的可能性最大，屬于“其他”類別的可能性最小屬于“山水田園”類別的概率約為；屬于“其他”類別的概率約為；（2）列聯(lián)表如下：屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計(jì)含“花”的篇數(shù)60100160不含“花”的篇數(shù)40300340共計(jì)100400500計(jì)算得：；因?yàn)?，，所以有超過95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關(guān)系，故“花”和“簾”是“愛情婚姻”的關(guān)鍵字，而“山”不是；又因?yàn)?，故選擇“花”，“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字，且排序?yàn)椤盎ā保昂煛?【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖表、頻率與概率的關(guān)系、用樣本估計(jì)總體、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn).考查了學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)讀與計(jì)算能力，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).18．（1）（2）存在，【解析】

由數(shù)列為“數(shù)列”可得,，，兩式相減得，又，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出,進(jìn)而求出;由題意得，，，兩式相減得，，據(jù)此可得,當(dāng)時(shí),,進(jìn)而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進(jìn)而可得,結(jié)合，得到關(guān)于的不等式,再由時(shí)，且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，所以，故，兩式相減得，在中令，則可得，故所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所?（2）由題意得，故，兩式相減得所以，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)樗援?dāng)時(shí),所以成立,所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí),成立,所以，所以在中令，因?yàn)?，所以可得，所以，由時(shí)，且為整數(shù)，可得,把分別代入不等式可得,，所以存在數(shù)列符合題意,的所有值為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列遞推公式的運(yùn)用;考查運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力和對(duì)新定義的理解能力;通過反復(fù)利用遞推公式,得到數(shù)列為常數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得，在中結(jié)合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結(jié)合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設(shè)，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點(diǎn)連線斜率的相反數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，還涉及二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式，考查計(jì)算能力.20．（1）見解析（2）（3）【解析】

（1）若函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn),則,即有解,即可求證；（2）由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍；（3）由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn)（2）解:由題,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以