2021-2022學(xué)年廣東省惠州市東江高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年廣東省惠州市東江高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a(chǎn)＜﹣3或a＞6 D．a(chǎn)＜﹣1或a＞2參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】題目中條件：“函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值”告訴我們其導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)不等的實(shí)根，利用二次方程根的判別式可解決．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有極大值和極小值，則△=4a2﹣12（a+6）＞0，從而有a＞6或a＜﹣3，故選C．2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

A． B． C． D．參考答案：C3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積與體積分別為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】將幾何體還原成直觀圖，可得它是一個(gè)上、下底面是直角梯形，且高等于1的直四棱柱．根據(jù)題中的數(shù)據(jù)利用柱體的體積、表面積公式加以計(jì)算，可得答案．【解答】解：將該幾何體還原成直觀圖，可得它是一個(gè)四棱柱，四棱柱的側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)等于1；上、下底面是直角梯形，該梯形的上底等于1、下底等于2、高等于1，斜腰等于．由此可得它的側(cè)面積S側(cè)=（1+1+2+）×1=4+，∵底面積S底=（1+2）×1=，∴四棱柱的表面積S=S側(cè)+2S底=7+，體積為V=S底h=．故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題給出直四棱柱的三視圖的形狀，求它的表面積與體積．著重考查了三視圖的認(rèn)識(shí)、直棱柱的性質(zhì)和柱體的表面積、體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．4.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，總有/（x)＜3

則不等式＜3x－15的解集為

A

(﹣∞，4）

B（﹣∞，﹣4）

C

（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）D（4，﹢∞）

參考答案：D略5.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么，互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）．A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球 B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球C.恰有一個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球 D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球參考答案：C依題意，從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任意取2個(gè)球A至少有1個(gè)黑球包含都是黑球，故至少有1個(gè)黑球與都是黑球不是互斥事件，故A錯(cuò)誤，B至少有1個(gè)黑球包含1黑1紅，至少有1個(gè)紅球包含1黑1紅，兩者不是互斥事件，故B錯(cuò)誤，C恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，且不是對(duì)立事件，故C正確D至少有1個(gè)黑球與都是紅球是互斥事件，也是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤，故答案為C

6.隨機(jī)變量ξ～B(100，0.3)，則D(3ξ-5)等于

(

)A．62

B．84

C．184

D．189參考答案：D7.讀如圖21－3所示的程序框圖，若輸入p＝5，q＝6，則輸出a，i的值分別為()圖21－3A．a(chǎn)＝5，i＝1

B．a(chǎn)＝5，i＝2C．a(chǎn)＝15，i＝3

D．a(chǎn)＝30，i＝6參考答案：D8.橢圓中，以點(diǎn)M(1,2)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（

）A. B. C. D.參考答案：A9.方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（

）

A.3

B.2

C.1

D.0參考答案：C略10.已知某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖(如圖所示)，則甲、乙兩人得分的中位數(shù)之和是（

）A．62

B．63

C．64

D．65參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則△APC1周長(zhǎng)的最小值是

．參考答案：5+【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】不妨令CP=a，則DP=4﹣a，分別在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C1PC求出C1P，在直角三角形C1CA求出C1A，然后相交求周長(zhǎng)．將周長(zhǎng)表示為參數(shù)a的函數(shù)，由于a∈[0，4]，在這個(gè)區(qū)間上求出周長(zhǎng)的最小值即可．【解答】解：DC上有一動(dòng)點(diǎn)P，令CP=a，則DP=4﹣a，由于直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，∴周長(zhǎng)S=AP+C1P+C1A=++=++=++=++其中是+可以看作平面直角坐標(biāo)系中（a，0）與兩點(diǎn)（4，﹣2）以及（0，1）兩點(diǎn)距離和的最小值，由圖形中點(diǎn)（a，0）恰好是過(guò)兩點(diǎn)（4，﹣2）與（0，1）的直線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，上式的值最?。蓛牲c(diǎn)式知過(guò)兩點(diǎn)（4，﹣2）與（0，1）的直線的方程是3x+4y﹣4=0，其與x軸的交點(diǎn)是（，0），即當(dāng)a=時(shí)，+的最小值為兩點(diǎn)（4，﹣2）與（0，1）的距離，其值為=5，故周長(zhǎng)為5+故答案為5+12.已知直線，分別與直線和曲線交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn)，則線段MN長(zhǎng)度的最小值是

▲

．參考答案：設(shè)與平行且與相切的直線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，，切點(diǎn)為，切線方程為，，長(zhǎng)度的最小值就是被與截得的弦長(zhǎng)，故答案為.

13.若函數(shù)f（x）=x2n﹣1﹣x2n+x2n+1﹣…+（﹣1）r?x2n﹣1+r+…+（﹣1）n?x3n﹣1，其中n∈N*，則f′（1）=．參考答案：0【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再求出f′（x），從而求得f′（1）的值．【解答】解：f（x）=x2n﹣1[Cn0﹣Cn1x+Cn2x2﹣+Cnr（﹣1）rxr+Cnnxn]=x2n﹣1（1﹣x）n，f′（x）=（2n﹣1）x2n﹣2（1﹣x）n﹣x2n﹣1?n（1﹣x）n﹣1=x2n﹣2（1﹣x）n﹣1[2n﹣1﹣（3n﹣1）x]．∴f′（1）=0，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．14.有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的前10項(xiàng)之和為．參考答案：560【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}首項(xiàng)a1=b1=2，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)也是一個(gè)等差數(shù)列{cn}，首項(xiàng)c1=2，公差為4與6的最小公倍數(shù)，d=12，由此能求出這個(gè)新數(shù)列的前10項(xiàng)之和．【解答】解：等差數(shù)列2，6，10，…，190的通項(xiàng)為an=2+（n﹣1）?4=4n﹣2，等差數(shù)列2，8，10，14，…，200的通項(xiàng)為bn=2+（n﹣1）?6=6n﹣4，數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}首項(xiàng)a1=b1=2，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)也是一個(gè)等差數(shù)列{cn}，首項(xiàng)c1=2，公差為4與6的最小公倍數(shù)，d=12，∴cn=2+（n﹣1）?12=12n﹣10，Sn==，∴=560．故答案為：560．15.不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），則不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是．參考答案：（﹣，﹣）略16.順次連結(jié)A（1,0），B（1,4），C（3,4），D（5,0）所得到的四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積是________．參考答案：17.若直線：和：將圓分成長(zhǎng)度相同的四段弧，則ab=

．參考答案：－7兩條直線：和：平行，把直線方程化為一般式：和，圓的直徑為，半徑，直線被圓所截的弦所對(duì)的圓心角為直角，只需兩條平行線間的距離為4，圓心到直線的距離為2，圓心到則的距離為，若，則，同樣，則，則.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)命題：函數(shù)的定義域?yàn)镽；命題對(duì)一切的實(shí)數(shù)恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：命題：對(duì)于任意的0恒成立，則需滿足

4分 因?yàn)椤扒摇睘榧倜}，所以至少一假 （1）若真假，則且，是空集。 （2）若假真，則且 （3）若假假，則且 所以19.已知向量a是以點(diǎn)A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點(diǎn)坐標(biāo)參考答案：設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)為（ｍ，ｎ）則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）由①得：ｎ＝（3ｍ－13）代入②得25ｍ2－15Oｍ＋2O9＝O解得∴a的終點(diǎn)坐標(biāo)是（20. 已知命題：，命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．（Ⅰ）命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若命題“”為真，命題“”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案：解：（1）當(dāng)命題為真時(shí)，由已知得，解得∴當(dāng)命題為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是

…5分（2）當(dāng)命題為真時(shí)，由解得

…7分由題意得命題、中有一真命題、有一假命題

………8分當(dāng)命題為真、命題為假時(shí)，則，解得或.

…………………10分當(dāng)命題為假、命題為真時(shí)，則，無(wú)解.

…………12分∴實(shí)數(shù)的取值范圍是或.

…………13分

略21.已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）與雙曲線C2：﹣=1（a＞0．b＞0）有公共焦點(diǎn)F，且在第一象限的交點(diǎn)為P（3，2）．（1）求拋物線C1，雙曲線C2的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F且互相垂直的兩動(dòng)直線被拋物線C1截得的弦分別為AB，CD，弦AB、CD的中點(diǎn)分別為G、H，探究直線GH是否過(guò)定點(diǎn)，若GH過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若直線GH不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）P（3，2）代入拋物線C1：y2=2px（p＞0），可得p，求出拋物線方程．焦點(diǎn)F（2，0），則，求出a，b，可得雙曲線C2的方程；（2）欲證明直線GH過(guò)定點(diǎn)，只需求出含參數(shù)的直線GH的方程，觀察是否過(guò)定點(diǎn)即可．設(shè)出A，B，G，H的坐標(biāo)，用A，B坐標(biāo)表示G，H坐標(biāo)，求出直線GH方程，化為點(diǎn)斜式，可以發(fā)現(xiàn)直線必過(guò)點(diǎn)（3，0）．【解答】解：（1）P（3，2）代入拋物線C1：y2=2px（p＞0），可得p=4，∴拋物線C1：y2=8x；焦點(diǎn)F（2，0），則，∴a=1，b=，∴雙曲線C2的方程=1；（2）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）把直線AB：y=k（x﹣2）代入y2=8x，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x3=2+，y3=k（x3﹣2）=，同理可得，x4=2+4k2，y4=﹣4k，∴kGH=，∴直線GH為y﹣=（x﹣2﹣），即y=（x﹣3），過(guò)定點(diǎn)P（3，0）．22.（本小題滿分14分）已知曲線在點(diǎn)(0，)處的切線斜率為.(1)求的極值；(2)設(shè)，若在(－∞，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：解：(1)f(x)的定義域是(－∞，2)，f′(x)＝＋a.

………………2分由題知f′(0)＝－＋a＝，所以a＝2，所以f′(x)＝＋2＝令f′(x)＝0，得x＝.

…………4分當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下