2021-2022學年廣東省惠州市東江高級中學高二數學文期末試卷含解析

2021-2022學年廣東省惠州市東江高級中學高二數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2參考答案：C【考點】利用導數研究函數的極值．【分析】題目中條件：“函數f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值”告訴我們其導數有兩個不等的實根，利用二次方程根的判別式可解決．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有極大值和極小值，則△=4a2﹣12（a+6）＞0，從而有a＞6或a＜﹣3，故選C．2.拋物線的焦點坐標為

A． B． C． D．參考答案：C3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積與體積分別為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】將幾何體還原成直觀圖，可得它是一個上、下底面是直角梯形，且高等于1的直四棱柱．根據題中的數據利用柱體的體積、表面積公式加以計算，可得答案．【解答】解：將該幾何體還原成直觀圖，可得它是一個四棱柱，四棱柱的側棱垂直于底面，側棱長等于1；上、下底面是直角梯形，該梯形的上底等于1、下底等于2、高等于1，斜腰等于．由此可得它的側面積S側=（1+1+2+）×1=4+，∵底面積S底=（1+2）×1=，∴四棱柱的表面積S=S側+2S底=7+，體積為V=S底h=．故選：C【點評】本題給出直四棱柱的三視圖的形狀，求它的表面積與體積．著重考查了三視圖的認識、直棱柱的性質和柱體的表面積、體積公式等知識，屬于中檔題．4.已知定義域為R的函數，且對任意實數x，總有/（x)＜3

則不等式＜3x－15的解集為

A

(﹣∞，4）

B（﹣∞，﹣4）

C

（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）D（4，﹢∞）

參考答案：D略5.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么，互斥而不對立的兩個事件是（

）．A.至少有一個黑球與都是黑球 B.至少有一個黑球與至少有一個紅球C.恰有一個黑球與恰有2個黑球 D.至少有一個黑球與都是紅球參考答案：C依題意，從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任意取2個球A至少有1個黑球包含都是黑球，故至少有1個黑球與都是黑球不是互斥事件，故A錯誤，B至少有1個黑球包含1黑1紅，至少有1個紅球包含1黑1紅，兩者不是互斥事件，故B錯誤，C恰有1個黑球與恰有2個黑球不可能同時發(fā)生，是互斥事件，且不是對立事件，故C正確D至少有1個黑球與都是紅球是互斥事件，也是對立事件，故D錯誤，故答案為C

6.隨機變量ξ～B(100，0.3)，則D(3ξ-5)等于

(

)A．62

B．84

C．184

D．189參考答案：D7.讀如圖21－3所示的程序框圖，若輸入p＝5，q＝6，則輸出a，i的值分別為()圖21－3A．a＝5，i＝1

B．a＝5，i＝2C．a＝15，i＝3

D．a＝30，i＝6參考答案：D8.橢圓中，以點M(1,2)為中點的弦所在直線斜率為（

）A. B. C. D.參考答案：A9.方程的實根個數是（

）

A.3

B.2

C.1

D.0參考答案：C略10.已知某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖(如圖所示)，則甲、乙兩人得分的中位數之和是（

）A．62

B．63

C．64

D．65參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一動點P，則△APC1周長的最小值是

．參考答案：5+【考點】點、線、面間的距離計算．【分析】不妨令CP=a，則DP=4﹣a，分別在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C1PC求出C1P，在直角三角形C1CA求出C1A，然后相交求周長．將周長表示為參數a的函數，由于a∈[0，4]，在這個區(qū)間上求出周長的最小值即可．【解答】解：DC上有一動點P，令CP=a，則DP=4﹣a，由于直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，∴周長S=AP+C1P+C1A=++=++=++=++其中是+可以看作平面直角坐標系中（a，0）與兩點（4，﹣2）以及（0，1）兩點距離和的最小值，由圖形中點（a，0）恰好是過兩點（4，﹣2）與（0，1）的直線與x軸的交點時，上式的值最小．由兩點式知過兩點（4，﹣2）與（0，1）的直線的方程是3x+4y﹣4=0，其與x軸的交點是（，0），即當a=時，+的最小值為兩點（4，﹣2）與（0，1）的距離，其值為=5，故周長為5+故答案為5+12.已知直線，分別與直線和曲線交于點M,N兩點，則線段MN長度的最小值是

▲

．參考答案：設與平行且與相切的直線的切點為，因為，，切點為，切線方程為，，長度的最小值就是被與截得的弦長，故答案為.

13.若函數f（x）=x2n﹣1﹣x2n+x2n+1﹣…+（﹣1）r?x2n﹣1+r+…+（﹣1）n?x3n﹣1，其中n∈N*，則f′（1）=．參考答案：0【考點】二項式定理的應用．【分析】先化簡函數f（x）的解析式，再求出f′（x），從而求得f′（1）的值．【解答】解：f（x）=x2n﹣1[Cn0﹣Cn1x+Cn2x2﹣+Cnr（﹣1）rxr+Cnnxn]=x2n﹣1（1﹣x）n，f′（x）=（2n﹣1）x2n﹣2（1﹣x）n﹣x2n﹣1?n（1﹣x）n﹣1=x2n﹣2（1﹣x）n﹣1[2n﹣1﹣（3n﹣1）x]．∴f′（1）=0，故答案為：0．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求函數的導數，屬于基礎題．14.有兩個等差數列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列，則這個新數列的前10項之和為．參考答案：560【考點】等差數列的通項公式；等差數列的前n項和．【分析】數列{an}與數列{bn}首項a1=b1=2，由這兩個等差數列的公共項也是一個等差數列{cn}，首項c1=2，公差為4與6的最小公倍數，d=12，由此能求出這個新數列的前10項之和．【解答】解：等差數列2，6，10，…，190的通項為an=2+（n﹣1）?4=4n﹣2，等差數列2，8，10，14，…，200的通項為bn=2+（n﹣1）?6=6n﹣4，數列{an}與數列{bn}首項a1=b1=2，由這兩個等差數列的公共項也是一個等差數列{cn}，首項c1=2，公差為4與6的最小公倍數，d=12，∴cn=2+（n﹣1）?12=12n﹣10，Sn==，∴=560．故答案為：560．15.不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），則不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是．參考答案：（﹣，﹣）略16.順次連結A（1,0），B（1,4），C（3,4），D（5,0）所得到的四邊形繞y軸旋轉一周，所得旋轉體的體積是________．參考答案：17.若直線：和：將圓分成長度相同的四段弧，則ab=

．參考答案：－7兩條直線：和：平行，把直線方程化為一般式：和，圓的直徑為，半徑，直線被圓所截的弦所對的圓心角為直角，只需兩條平行線間的距離為4，圓心到直線的距離為2，圓心到則的距離為，若，則，同樣，則，則.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設命題：函數的定義域為R；命題對一切的實數恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實數的取值范圍。參考答案：命題：對于任意的0恒成立，則需滿足

4分 因為“且”為假命題，所以至少一假 （1）若真假，則且，是空集。 （2）若假真，則且 （3）若假假，則且 所以19.已知向量a是以點A(3，－1)為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標參考答案：設a的終點坐標為（ｍ，ｎ）則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）由①得：ｎ＝（3ｍ－13）代入②得25ｍ2－15Oｍ＋2O9＝O解得∴a的終點坐標是（20. 已知命題：，命題：方程表示焦點在軸上的雙曲線．（Ⅰ）命題為真命題，求實數的取值范圍；（Ⅱ）若命題“”為真，命題“”為假，求實數的取值范圍．

參考答案：解：（1）當命題為真時，由已知得，解得∴當命題為真命題時，實數的取值范圍是

…5分（2）當命題為真時，由解得

…7分由題意得命題、中有一真命題、有一假命題

………8分當命題為真、命題為假時，則，解得或.

…………………10分當命題為假、命題為真時，則，無解.

…………12分∴實數的取值范圍是或.

…………13分

略21.已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）與雙曲線C2：﹣=1（a＞0．b＞0）有公共焦點F，且在第一象限的交點為P（3，2）．（1）求拋物線C1，雙曲線C2的方程；（2）過點F且互相垂直的兩動直線被拋物線C1截得的弦分別為AB，CD，弦AB、CD的中點分別為G、H，探究直線GH是否過定點，若GH過定點，求出定點坐標；若直線GH不過定點，說明理由．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】（1）P（3，2）代入拋物線C1：y2=2px（p＞0），可得p，求出拋物線方程．焦點F（2，0），則，求出a，b，可得雙曲線C2的方程；（2）欲證明直線GH過定點，只需求出含參數的直線GH的方程，觀察是否過定點即可．設出A，B，G，H的坐標，用A，B坐標表示G，H坐標，求出直線GH方程，化為點斜式，可以發(fā)現直線必過點（3，0）．【解答】解：（1）P（3，2）代入拋物線C1：y2=2px（p＞0），可得p=4，∴拋物線C1：y2=8x；焦點F（2，0），則，∴a=1，b=，∴雙曲線C2的方程=1；（2）設點A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）把直線AB：y=k（x﹣2）代入y2=8x，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x3=2+，y3=k（x3﹣2）=，同理可得，x4=2+4k2，y4=﹣4k，∴kGH=，∴直線GH為y﹣=（x﹣2﹣），即y=（x﹣3），過定點P（3，0）．22.（本小題滿分14分）已知曲線在點(0，)處的切線斜率為.(1)求的極值；(2)設，若在(－∞，1]上是增函數，求實數k的取值范圍．參考答案：解：(1)f(x)的定義域是(－∞，2)，f′(x)＝＋a.

………………2分由題知f′(0)＝－＋a＝，所以a＝2，所以f′(x)＝＋2＝令f′(x)＝0，得x＝.

…………4分當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下