湖南省邵陽市新邵第三中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析

湖南省邵陽市新邵第三中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.用數(shù)字組成數(shù)字可以重復的四位數(shù),其中有且只有一個數(shù)字出現(xiàn)兩次的四位數(shù)的個數(shù)為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C略2.在△中，，，，且△的面積為，則等于

（

）A．或

B．

C．

D．或參考答案：C略3.甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法為（

）A.72

B.36

C.52

D.24參考答案：B4.定義在R上的偶函數(shù)的部分圖像如下圖所示，則在上，下列函數(shù)中與的單調性不同的是

（

）A．

B.

C.

D．參考答案：A5.將函數(shù)的圖像向右平移個單位后所得的圖像的一個對稱軸是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B略6.已知過拋物線G：y2=2px（p＞0）焦點F的直線l與拋物線G交于M、N兩點（M在x軸上方），滿足，，則以M為圓心且與拋物線準線相切的圓的標準方程為（）A．

B．C．

D．參考答案：C【考點】KN：直線與拋物線的位置關系．【分析】求出直線l的斜率，可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用|MN|，求出p，可得M的坐標，即可求出以M為圓心且與拋物線準線相切的圓的標準方程．【解答】解：如圖，過點N作NE⊥MM′，由拋物線的定義，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．解三角形EMN，得∠EMF=，所以直線l的斜率為，其方程為y=（x﹣），與拋物線方程聯(lián)立可得3x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=p，∴|MN|=p=，∴p=2，∴M（3，2），r=4，∴圓的標準方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．故選：C．7.設,則的值為A.

B.

C.

D.

參考答案：C8.已知f(x)的定義域為(－2,2)，且f(x)＝，如果f[x(x＋1)]＜，那么x的取值范圍是()A．－2＜x＜－1或0＜x＜1

B．x＜－1或x＞0C．－2＜x＜－

D．－1＜x＜0

參考答案：A略9.函數(shù)的圖象上存在不同的三點到原點的距離構成等比數(shù)列，則以下不可能成為該數(shù)列的公比的數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D10.已知為由不等式組，所確定的平面區(qū)域上的動點，若點，則的最大值為（

）A．3

B．

C．4

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若,且,則值為

.參考答案：12.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格外跳到第8個格子的方法種數(shù)為（

）

A．8種

B．13種

C．21種 D．34種參考答案：C人從格外跳到第1格的方法顯然只有1種；人從格外跳到第2格的方法也只有1種;從格外到第1格,再從第1格到第2格;人從格外跳到第3格的方法有2種;①從格外到第1格,從第1格到第2格,再從第2格到第3格;②從格外到第1格,再從第1格到第3格.由此分析,可設跳到第n格的方法數(shù)為,則到達第n格的方法有兩類:①向前跳1格到達第n格,方法數(shù)為;②向前跳2格到達第n格,方法數(shù)為,則由加法原理知,由數(shù)列的遞推關系不難求得該數(shù)列的前8項分別為1,1,2,3,5,8,13,21,這里,前面已求得，所以人從格外跳到第8格的方法種數(shù)為21種.13.已知，則的最大值是

參考答案：略14.已知是上的奇函數(shù)，，且對任意都有成立，則

；

.參考答案：無略15.設i為虛數(shù)單位，復數(shù)，則|z|=．參考答案：1【考點】A8：復數(shù)求模．【分析】利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．【解答】解：復數(shù)===﹣i，則|z|=1．故答案為：1．16.設拋物線的頂點在原點，其焦點F在x軸上，拋物線上的點與點F的距離為3，則拋物線方程為

。參考答案：17.設函數(shù)，則滿足的t的取值范圍是_________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，已知側面BB1C1C與底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A﹣B1B﹣C為30°，（Ⅰ）證明：面AA1C1C⊥平面BB1C1C及求AB1與平面AA1C1C所成角的正切值；（Ⅱ）在平面AA1B1B內找一點P，使三棱錐P﹣BB1C為正三棱錐，并求此時的值．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的性質．【專題】綜合題．【分析】（1）根據條件和線面垂直的判定定理得：AC⊥面BB1C1C，再由面面垂直的判斷定理證明出面BB1C1C⊥面AA1C1C，再根據條件和線面垂直、面面垂直分別做出二面角A﹣BB1﹣C的平面角、AB1與面AA1C1C所成的線面角，并分別證明和計算求解；（2）根據正三棱錐的定義和正三角形重心的性質，找到點P，再由條件求出PP1和點E到平面AA1C1C的距離，代入三棱錐的體積公式求出兩個棱錐的體積比值．【解答】解：（Ⅰ）∵面BB1C1C⊥面ABC，且面BB1C1C∩面ABC=BC，AC⊥BC，∴AC⊥面BB1C1C，則面BB1C1C⊥面AA1C1C

取BB1中點E，連接CE，AE，在△CBB1中，BB1=CB=2，∠CBB1=60°∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1，又∵AC⊥面BB1C1C，且BB1?面BB1C1C，∴BB1⊥AE，即∠CEA即為二面角A﹣BB1﹣C的平面角為30°，∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=，∴AC=CE?tan30°=1，取C1C中點D，連接AD，B1D，∵△CBB1是正三角形，且BB1=CB=2，∴B1D⊥C1C，∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥面B1D，∵C1C∩AC=C，∴B1D⊥面AA1C1C，即∠B1DA即AB1與面AA1C1C所成的線面角，則tan∠DAB1=，…（Ⅱ）在CE上取點P1，使，∵CE是△BB1C的中線，∴P1是△BB1C的重心，在△ECA中，過P1作P1P∥CA交AE于P，∵AC⊥面BB1C1C，P1P∥CA，∴PP1⊥面CBB1，即P點在平面CBB1上的射影是△BCB1的中心，該點即為所求，且，∴PP1=，∵B1D∥CE，且B1D=CE=，∴==2．…【點評】本題考查了線面垂直的判定定理、面面垂直的判斷定理和性質定理的綜合應用，二面角、線面角的求解構成，以及三棱錐的體積公式的應用，難度很大．19.已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；（Ⅱ）當a＜0時，求f（x）單調區(qū)間；（Ⅲ）若對任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）當a=0時，f（x）=2lnx+，求導，令f′（x）=0，解方程，分析導數(shù)的變化情況，確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）當a＜0時，求導，對導數(shù)因式分解，比較兩根的大小，確定函數(shù)f（x）單調區(qū)間；（Ⅲ）若對任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）依題意知f（x）的定義域為（0，+∞），當a=0時，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，當0＜x＜時，f′（x）＜0；當x≥時，f′（x）＞0又∵f（）=2﹣ln2∴f（x）的極小值為2﹣2ln2，無極大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=當a＜﹣2時，﹣＜，令f′（x）＜0得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0得﹣＜x＜；當﹣2＜a＜0時，得﹣＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0得＜x＜﹣；當a=﹣2時，f′（x）=﹣≤0，綜上所述，當a＜﹣2時f（x），的遞減區(qū)間為（0，﹣）和（，+∞），遞增區(qū)間為（﹣，）；當a=﹣2時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；當﹣2＜a＜0時，f（x）的遞減區(qū)間為（0，）和（﹣，+∞），遞增區(qū)間為（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當a∈（﹣3，﹣2）時，f（x）在區(qū)間[1，3]上單調遞減，當x=1時，f（x）取最大值；當x=3時，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣【點評】考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、單調性和最值問題，在求函數(shù)的單調區(qū)間時，體現(xiàn)了分類討論的思想方法；恒成立問題，轉化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉化的思想．屬難題．20.如圖，在等腰梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.（1）求證：BC⊥平面ACFE；（2）求多面體ABCDEF的體積.參考答案：解：（1）在梯形中，∵，，，∴，∴，∴，∴.又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）取的中點，連接，由題意知，∴平面，且，故.21.

已知函數(shù)，若存在，則稱是函數(shù)的一個不動點，設

(Ⅰ）求函數(shù)的不動點；

(Ⅱ）對（Ⅰ）中的二個不動點、（假設），求使恒成立的常數(shù)的值；參考答案：（Ⅰ）設函數(shù)

(Ⅱ）由（Ⅰ）可知可知使恒成立的常數(shù).22.已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A為C上位于第一象限的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D．（1）若|FA|=|AD|，當點A的橫坐標為時，△ADF為等腰直角三角形，求C的方程；（2）對于（1）中求出的拋物線C，若點，記點B關于x軸的對稱點為E，AE交x軸于點P，且AP⊥BP，求證：點P的坐標為（﹣x0，0），并求點P到直線AB的距離d的取值范圍．參考答案：【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】（1）根據拋物線的焦半徑公式，求得FD的中點坐標，則+2+=3+2，即可求得p的值，求得拋物線方程；（2）設直線AB的方程，代入拋物線方程，由向量平行即韋達定理，即可求得P點坐標，則△EPB為等腰直角三角形，則kAP=1，由直線的斜率公式可得：y1﹣y2=4，兩邊平方（y1+y2）2﹣4y1y2=16，m2=1﹣x0，x0＜1，則d=，根據函數(shù)的單調性即可求得點P到直線AB的距離d的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可知F（，0），丨FA丨=3+2+，丨FD丨=丨FA丨=3+4+，則D（3+4++，0），F(xiàn)D的中點坐標（+2+，0），則+2+=3+2，解得：p=2，∴拋物線C：y2=4x；（2）由題意設AB的方程x=my+x0，（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），E（x2，﹣y2），由，消去x，整理得：y2﹣4my﹣4=0，由x0≥，△=16m2+16x0＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4x0，設P（xP，0），則=（x2﹣xP，﹣y2），=（x1﹣xP，y1），由∥，則（x2﹣xP）y1+y2（x1﹣xP）=0，即x2y1+y