統(tǒng)計(jì)學(xué)：第三章數(shù)據(jù)分布特征的描述

河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院主講：岳志春yuezhichun@163.com統(tǒng)計(jì)學(xué)2/4/20231河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院第三章數(shù)據(jù)分布特征的描述本章內(nèi)容：進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)分布特征和變化規(guī)律，用代表值從集中、離散趨勢(shì)描述數(shù)據(jù)的分布特征，重點(diǎn)掌握這些代表值的計(jì)算、特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)合。2/4/20232河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院第三章數(shù)據(jù)分布特征的描述本章分四節(jié)：第一節(jié)分布集中趨勢(shì)的測(cè)度；第二節(jié)分布離散程度的測(cè)度；第三節(jié)分布偏態(tài)與峰度的測(cè)度；第四節(jié)統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖。

2/4/20233河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院第一節(jié)分布集中趨勢(shì)的測(cè)度集中趨勢(shì)是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，對(duì)其測(cè)度就是找到其代表值。本節(jié)需要把握五個(gè)問(wèn)題：一、眾數(shù)；二、中位數(shù)；三、均值；四、幾何平均數(shù)；五、眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較。2/4/20234河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院一、眾數(shù)把握三個(gè)問(wèn)題：1、眾數(shù)的概念；2、眾數(shù)的確定與計(jì)算；3、眾數(shù)的統(tǒng)計(jì)思想。2/4/20235河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

1、眾數(shù)的概念（1）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中有時(shí)用眾數(shù)說(shuō)明現(xiàn)象的一般水平，如了解市場(chǎng)需求量多的服裝款式。（2）從分布看，它是數(shù)據(jù)分布的最高峰點(diǎn)，若沒(méi)有最高峰點(diǎn)，眾數(shù)可以不存在，也可以有多個(gè)高峰點(diǎn)，對(duì)應(yīng)多個(gè)眾數(shù)。看圖3-1：2/4/20236河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

圖3-1眾數(shù)示意圖2/4/20237河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

（1）未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)：找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。（2）組距分組數(shù)據(jù)：眾數(shù)數(shù)值與其相鄰兩組的頻數(shù)分布有關(guān)。設(shè)眾數(shù)組的頻數(shù)為f，前一組頻數(shù)為f-1，后一組頻數(shù)為f+1。A、圖形確定：從眾數(shù)組直方圖的兩頂角向相鄰兩組直方圖的兩頂角引直線，其交點(diǎn)向橫軸引垂線，交點(diǎn)為眾數(shù)?？磮D3-2：2、眾數(shù)的確定與計(jì)算2/4/20238河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院圖3-2眾數(shù)與相鄰兩組的關(guān)系示意圖當(dāng)f-1=f+1時(shí)如圖（a），當(dāng)f-1>f+1時(shí)如圖（b），當(dāng)f-1<f+1時(shí)如圖（c）。（a）（b）（c）2/4/20239河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、眾數(shù)的確定與計(jì)算（2）組距分組數(shù)據(jù)：B、公式計(jì)算：上限公式下限公式M0表示眾數(shù)，L表示眾數(shù)組的下限值，U表示眾數(shù)組的上限值，i表示眾數(shù)組的組距?？聪吕?/4/202310河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院例3-1：根據(jù)第二章表2-3的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)。解：眾數(shù)組為120~125，其頻數(shù)為14，根據(jù)公式計(jì)算眾數(shù)為：2/4/202311河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院（3）公式計(jì)算的假定：數(shù)據(jù)分布具有明顯的集中趨勢(shì)，同時(shí)假定眾數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)是均勻分布的。若假定不存在，眾數(shù)的代表性會(huì)很差。2、眾數(shù)的確定與計(jì)算2/4/202312河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

3、眾數(shù)的統(tǒng)計(jì)思想在一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)附近，變量值出現(xiàn)的頻數(shù)較高，根據(jù)眾數(shù)組及相鄰兩組的頻數(shù)分布，確定中心點(diǎn)的位置。因此，眾數(shù)是一個(gè)位置代表值，它不受數(shù)據(jù)中極端值的影響。2/4/202313河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

二、中位數(shù)把握以下三個(gè)問(wèn)題：1、中位數(shù)的概念；2、中位數(shù)的計(jì)算；3、中位數(shù)的特點(diǎn)與性質(zhì)。2/4/202314河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院1、中位數(shù)的概念它是一組數(shù)據(jù)按大小排序后，處于中間位置上的變量值。中位數(shù)將全部數(shù)據(jù)等分成兩部分，一部分?jǐn)?shù)據(jù)比中位數(shù)大，另一部分比中位數(shù)小，它也是一個(gè)位置代表值。2/4/202315河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、中位數(shù)的計(jì)算（1）根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算：A、先對(duì)數(shù)據(jù)排序；B、確定中位數(shù)的位置，公式為(N+1)/2，N為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；C、確定具體數(shù)值。設(shè)一組數(shù)據(jù)為X1，X2，…,XN,從小到達(dá)排序后為X(1),X(2),…,X(N),若N為奇數(shù),則中位數(shù)為;若N為偶數(shù),則中位數(shù)是與的平均數(shù).設(shè)中位數(shù)為M0,公式為:2/4/202316河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、中位數(shù)的計(jì)算當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)：當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：

例如，根據(jù)第二章例2-1的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)。其位置在（50+1）/2=25.5，中位數(shù)在第25、26個(gè)數(shù)值之間，即Me=（123+123）/2=123（件）。2/4/202317河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

2、中位數(shù)的計(jì)算（2）根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算：A、先根據(jù)公式確定中位數(shù)的位置，并確定其所在組，然后公式計(jì)算：2/4/202318河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院公式下限公式：上限公式：式中：為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，L、U為中位數(shù)所在組下限、上限，Sm-1為中位數(shù)所在組以前各組的向上累積頻數(shù)，Sm+1為中位數(shù)所在組之后各組的向下累積頻數(shù)，fm為中位數(shù)所在組的頻數(shù)，i為中位數(shù)所在組的組距。2/4/202319河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

2、中位數(shù)的計(jì)算

（2）根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算；B、例3-2根據(jù)第二章表2-6的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)。解：中位數(shù)的位置=50/2=25，即它在120~125一組，L=120，U=125，Sm-1=16，Sm+1=20，fm=14，i=5，代入公式得：

2/4/202320河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

例3-2：

這樣計(jì)算假定中位數(shù)所在組頻數(shù)分布是均勻的。2/4/202321河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

3、中位數(shù)的特點(diǎn)與性質(zhì)（1）特點(diǎn)：穩(wěn)健性，其數(shù)值不受極值的影響。（2）性質(zhì)：各變量值與中位數(shù)的離差絕對(duì)值之和最小，即2/4/202322河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

三、均值把握五個(gè)問(wèn)題：1、均值的概念；2、根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算均值；3、根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算均值；4、均值的重要性；5、調(diào)和平均數(shù)—均值的另一形式。2/4/202323河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院1、均值的概念又稱算術(shù)平均數(shù)，它是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，是集中趨勢(shì)的最主要測(cè)度值。根據(jù)數(shù)據(jù)表現(xiàn)形式不同，均值的計(jì)算不同。2/4/202324河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算均值（1）公式：設(shè)總體數(shù)據(jù)為X1，X2，…，XN，樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…xn，總體均值和樣本均值的計(jì)算公式分別為：2/4/202325河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算均值（2）例子：根據(jù)第二章例2-1的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的均值為：這種方法計(jì)算又稱簡(jiǎn)單算術(shù)平均，均值受變量值大小影響。2/4/202326河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算均值（1）公式：設(shè)原始數(shù)據(jù)被分成K或k組，各組變量值為X1,X2,…,XK，或x1,x2,…,xk，各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)分別為F1,F2,…,FK，或f1,f2,…,fk，則總體均值和樣本均值的計(jì)算公式為:2/4/202327河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院公式2/4/202328河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算均值（2）例3-3：根據(jù)第二章表2-3的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)均值。解:計(jì)算見(jiàn)表3-1。

表3-1某車間50名工人日加工零件數(shù)均值計(jì)算表按零件數(shù)分組組中值（Xi）頻數(shù)（Fi）

XiFi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合計(jì)－506160.02/4/202329河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

例3-3：根據(jù)（3.6）式得：這樣計(jì)算用各組組中值代表各組實(shí)際數(shù)據(jù)，假定各組數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，與簡(jiǎn)單算術(shù)平均結(jié)果122.98比，差0.22件，是犧牲精度換來(lái)計(jì)算方便。2/4/202330河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算均值（3）這種算法又稱加權(quán)算術(shù)平均或加權(quán)均值，均值大小受各組變量值Xi大小影響，又受各組變量值出現(xiàn)頻數(shù)多少（權(quán)數(shù)Fi大小）的影響。如果某一組的權(quán)數(shù)較大，說(shuō)明該組數(shù)據(jù)較多，它對(duì)均值的影響就越大；反之，則越小。我們?cè)倏矗?.6)式的變形公式。2/4/202331河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院（3.6)式的變形

由上式知道，加權(quán)均值受各組變量值(Xi)大小和各組權(quán)數(shù)Fi/

大小的影響。當(dāng)掌握數(shù)據(jù)不是頻數(shù)，而是頻率時(shí)，可用上式計(jì)算均值。2/4/202332河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院4、均值的重要性（1）從統(tǒng)計(jì)思想看，均值是一組數(shù)據(jù)的重心，是數(shù)據(jù)誤差相互抵消的結(jié)果。（2）均值的重要數(shù)學(xué)性質(zhì)：A、各變量值與其均值的離差之和為零，即：B、各變量值與其均值的離差平方和最小，即：2/4/202333河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院5、調(diào)和平均數(shù)—均值的另一形式（1）又稱調(diào)和均值，實(shí)際工作中由于所獲數(shù)據(jù)不同，有時(shí)不能直接采用均值公式計(jì)算這時(shí)需用調(diào)和平均數(shù)形式計(jì)算。（2）例子：某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)三種蔬菜的日成交額數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，計(jì)算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價(jià)格。2/4/202334河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院表:某日三種蔬菜的批發(fā)成交數(shù)據(jù)蔬菜名稱批發(fā)價(jià)（元）

X

I成交量（㎏）

Fi成交額(元)

XiFi甲乙丙1.200.500.80

1500025000800018000125006400合計(jì)－48000369002/4/202335河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

例子的解法從實(shí)際意義，計(jì)算方法是：平均價(jià)=成交額/成交量A.若已知批發(fā)價(jià)、成交量，加權(quán)算術(shù)平均計(jì)算：2/4/202336河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

例子的解法B.若已知批發(fā)價(jià)、成交額，需先求成交量，調(diào)和平均計(jì)算：這與算術(shù)平均計(jì)算結(jié)果一致，實(shí)際它是加權(quán)算術(shù)平均的變形，即：2/4/202337河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

四、幾何平均數(shù)把握以下問(wèn)題：1、適用條件；2、計(jì)算及公式；3、與均值的關(guān)系。2/4/202338河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

1、幾何平均數(shù)的適用條件它是適用于特殊數(shù)據(jù)的一種平均數(shù)，主要計(jì)算比率或速度的平均。當(dāng)變量值是比率形式，而且各比率的乘積等于總的比率，用幾何平均法計(jì)算平均比率。實(shí)際應(yīng)用中，它主要計(jì)算現(xiàn)象的年平均發(fā)展速度。2/4/202339河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

2、幾何平均數(shù)的計(jì)算

（1）公式：2/4/202340河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

2、幾何平均數(shù)的計(jì)算（2）例3-4：某水泥生產(chǎn)企業(yè)1995年的水泥產(chǎn)量為100萬(wàn)噸，1996年與1995年相比增長(zhǎng)率為9%，1997年與1996年相比增長(zhǎng)率為16%，1998年與1997年相比增長(zhǎng)率為20%。求各年的年平均增長(zhǎng)率。2/4/202341河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院例3-4的解法

解：由題知各年的發(fā)展速度分別為109%、116%、120%，則平均發(fā)展速度等于：

年平均增長(zhǎng)率為114.91%-100%=14.91%此題不能用算術(shù)平均計(jì)算,因?yàn)榭偹俣鹊扔诟髂臧l(fā)展速度連乘積。

2/4/202342河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、與均值的關(guān)系它可以看作均值的一種變形。具體，對(duì)（3.9)式兩端取對(duì)數(shù)得:看出幾何平均數(shù)的對(duì)數(shù)是各變量值對(duì)數(shù)的算術(shù)平均。2/4/202343河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院五、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較把握兩個(gè)問(wèn)題：1、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系；2、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)合。2/4/202344河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

1、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系

（1）從分布的角度：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的最高峰值，中位數(shù)是處于一組數(shù)據(jù)中間位置上的值，均值是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均。對(duì)同一組數(shù)據(jù)計(jì)算三者，三者關(guān)系：2/4/202345河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

1、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系（2）從分布看：如果數(shù)據(jù)有單一眾數(shù)且對(duì)稱分布，則三者相等，即：如果數(shù)據(jù)是左偏分布，數(shù)據(jù)有極小值，拉動(dòng)均值向極小值靠，中位數(shù)和眾數(shù)不受影響，三者關(guān)系為：如果數(shù)據(jù)右偏分布，數(shù)據(jù)有極大值，拉動(dòng)均值向極大值靠，則2/4/202346河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

圖3-3眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系

（a）對(duì)稱分布（b）左偏分布（c）右偏分布2/4/202347河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院1、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系（2）從數(shù)值關(guān)系看，當(dāng)數(shù)據(jù)分布偏度不大時(shí)，三者在數(shù)軸上的三點(diǎn)構(gòu)成一定的數(shù)量關(guān)系，即眾數(shù)距離均值最遠(yuǎn)，中位數(shù)在二者之間，若把眾數(shù)與均值之間的距離作為1，則中位數(shù)與均值的距離約為1/3，中位數(shù)與眾數(shù)間距離約為2/3。2/4/202348河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院如圖所示根據(jù)上述關(guān)系，得出：

2/4/202349河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院例子對(duì)于一組數(shù)據(jù)，在已知其中兩個(gè)代表值下，可根據(jù)（3.10）式推算。例如，根據(jù)例3-2和例3-3計(jì)算結(jié)果，推算眾數(shù)為：Mo=3×123.21-2×123.2=123.23（件），與實(shí)際計(jì)算的眾數(shù)123件相差不大。2/4/202350河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)合（1）特點(diǎn)：A、眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值，是位置代表值。優(yōu)點(diǎn)是易理解，不受極值的影響。當(dāng)數(shù)據(jù)分布集中趨勢(shì)明顯時(shí)，其代表性比均值好。缺點(diǎn)是不唯一。2/4/202351河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

2、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)合（1）特點(diǎn)：B、中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，類似的有四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)等。它不受極值的影響，當(dāng)數(shù)據(jù)偏態(tài)分布時(shí)，代表性好于均值。2/4/202352河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)合（1）特點(diǎn)：C、均值是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算，具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，應(yīng)用最廣泛。缺點(diǎn)受極值影響，數(shù)據(jù)偏態(tài)分布時(shí)，其代表性差。均值的變形幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)適合特殊代表值，前者用于計(jì)算比率的平均數(shù)，后者用于不能直接計(jì)算均值的數(shù)據(jù)。2/4/202353河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)合（2）應(yīng)用場(chǎng)合：A、從分布看，數(shù)據(jù)接近對(duì)稱分布時(shí)，選擇均值作為代表值；對(duì)于偏態(tài)分布選擇眾數(shù)、中位數(shù)等位置代表值，代表性好于均值。B、從數(shù)據(jù)類型，定類、定序數(shù)據(jù)可以計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)，無(wú)法計(jì)算均值；定距、定比數(shù)據(jù)可以計(jì)算均值、也可以計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)；調(diào)和、幾何平均數(shù)不適合定距數(shù)據(jù)，定比數(shù)據(jù)可以計(jì)算。2/4/202354河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院附加：四分位數(shù)它又稱四分位點(diǎn)，是用三點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)等分為四部分，其中每部分包括25%的數(shù)據(jù)，處在分位點(diǎn)上的數(shù)值就是四分位數(shù)。顯然，中間的四分位數(shù)就是中位數(shù)。通常所說(shuō)的四分位數(shù)第一（下四分位數(shù)）和第三個(gè)四分位數(shù)（上四分位數(shù)）。2/4/202355河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院第二節(jié)分布離散程度的測(cè)度本節(jié)內(nèi)容：考察變量值間的差異程度，研究數(shù)據(jù)的離散程度，就是變量值遠(yuǎn)離中心值的程度，又稱離中趨勢(shì)。數(shù)據(jù)的離散程度反映了集中趨勢(shì)測(cè)度值的代表性，離散程度越大，說(shuō)明集中趨勢(shì)測(cè)度值的代表性越差，反之，越好。2/4/202356河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院第二節(jié)分布離散程度的測(cè)度把握以下問(wèn)題：一、極差的含義及特點(diǎn)；二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差；三、離散系數(shù)的意義、計(jì)算和適用場(chǎng)合。2/4/202357河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院一、極差的含義及特點(diǎn)把握以下問(wèn)題：1、極差的含義；2、極差的特點(diǎn)。2/4/202358河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院1、極差的含義又稱全距，它是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，即R=max（Xi）—min（Xi）（3.11)式中：R表示極差，max（Xi）和min（Xi）分別表示一組數(shù)據(jù)的最大、最小值。組距分組數(shù)據(jù)的極差可表示為：R≈最高組上限-最低組下限(3.12)2/4/202359河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院例子根據(jù)第二章例2-1中的數(shù)據(jù)計(jì)算極差:R=139-107=32(件)根據(jù)表2-3分組后的數(shù)據(jù)計(jì)算:R

≈140-105=35(件)2/4/202360河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、極值的特點(diǎn)計(jì)算簡(jiǎn)單，易于理解，實(shí)際中如股票的最高價(jià)與最低價(jià)。但它受極值的影響，原因在它只是用到兩端數(shù)據(jù)，不能反映中間數(shù)據(jù)的分布，實(shí)際中如比賽中要去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分。2/4/202361河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院附加1：異眾比率又稱離異比率或變差比，主要測(cè)度定類數(shù)據(jù)，它是指非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率，用于衡量眾數(shù)的代表程度，它越大，說(shuō)明眾數(shù)的代表性越差，反之，越好。2/4/202362河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院附加2：四分位差又稱四分位距，即上下四分位數(shù)之差，反映50%數(shù)據(jù)的離散程度，數(shù)值越小說(shuō)明中間的數(shù)據(jù)越集中，反之則越分散。與極差比不受極值的影響，又由于中位數(shù)處于中間位置，其大小一定程度上反映中位數(shù)的代表程度。2/4/202363河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院附加3：平均差

又稱平均離差，它是各變量值與其均值離差絕對(duì)值的平均數(shù)。它以均值為中心，反映每個(gè)數(shù)據(jù)與均值的離差程度，能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散狀況，數(shù)值大則離散程度大，反之則小。但由于采取絕對(duì)值避免計(jì)算不便，其數(shù)學(xué)性質(zhì)不是最優(yōu)，用的少。2/4/202364河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差把握以下問(wèn)題：1、方差的概念；2、總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差；3、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差；4、總體方差公式的變形5、標(biāo)準(zhǔn)化值；6、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差。2/4/202365河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院1、方差的概念它是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)，是測(cè)度定距、定比數(shù)據(jù)離散程度的最主要方法。根據(jù)總體數(shù)據(jù)和樣本數(shù)據(jù)計(jì)算方差在數(shù)學(xué)處理上略有不同。2/4/202366河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差（1）設(shè)總體方差為σ2，對(duì)于未分組數(shù)據(jù)，方差計(jì)算公式為：對(duì)于分組數(shù)據(jù)，公式為：2/4/202367河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差（2）方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其公式：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：2/4/202368河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差（3）標(biāo)準(zhǔn)差與方差相比：標(biāo)準(zhǔn)差有量綱，與變量值的計(jì)量單位相同，其實(shí)際意義比方差清楚，在實(shí)際應(yīng)用中更多使用標(biāo)準(zhǔn)差?？蠢?-5：根據(jù)表2-3中的數(shù)據(jù)，計(jì)算工人日加工零件數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。解：計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表3-2。2/4/202369河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院表3-2某車間50名工人日加工零件

標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表

按零件數(shù)分組組中值（Xi）頻數(shù)（Fi）105-110110-115115-120120-125125-130130-135135-140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合計(jì)－50－3100.52/4/202370河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院例3-5：根據(jù)(3.16)式得：結(jié)果表明，每個(gè)工人的日加工零件數(shù)與平均數(shù)比，平均相差7.87件。2/4/202371河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差（1）與總體方差的區(qū)別：后者用數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)去除離差平方和，樣本方差用樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)減1去除離差平方和，即n-1，稱為自由度。設(shè)樣本方差為S2n-1。2/4/202372河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院自由度自由度指一組數(shù)據(jù)中可自由取值的個(gè)數(shù)。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)為n，均值確定后只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值。例如，有2、4、9三個(gè)數(shù)值，均值為5，此后只有兩個(gè)值可以自由取，比如前兩個(gè)值為6、7，則第三個(gè)值只能是2。樣本方差用自由度去除原因是抽樣估計(jì)中用S2n-1估計(jì)σ2，是σ2的無(wú)偏估計(jì)量。

2/4/202373河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

3、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

（2）樣本方差公式：未分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)2/4/202374河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差公式：未分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)2/4/202375河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院例如用表2-3的數(shù)據(jù)計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差：這與總體標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果7.87件相差不大。當(dāng)n很大時(shí)，樣本方差與總體方差計(jì)算結(jié)果相差很小，可以用樣本方差公式計(jì)算。2/4/202376河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

3、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差（4）與平均差的區(qū)別：在數(shù)學(xué)處理上通過(guò)平方消去離差的正負(fù)號(hào)。便于數(shù)學(xué)處理。它根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算，準(zhǔn)確地反映數(shù)據(jù)的離散程度，在實(shí)際中廣泛應(yīng)用方差或標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)度離散程度。2/4/202377河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院4、總體方差公式的變形

（3.13）公式的變形：2/4/202378河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院（3.13）公式的變形2/4/202379河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院（3.14）式的變形根據(jù)（3.21)、(3.22)式可以化簡(jiǎn)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可以用計(jì)算器求得。2/4/202380河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院5、標(biāo)準(zhǔn)化值（1）根據(jù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差可以計(jì)算一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)化值，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化值為Z，則有：2/4/202381河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院5、標(biāo)準(zhǔn)化值（2）在對(duì)多個(gè)不同量綱的指標(biāo)進(jìn)行處理時(shí)，需要對(duì)各指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。它又給出了一組數(shù)據(jù)中各數(shù)值的相對(duì)位置。如，標(biāo)準(zhǔn)化值為1.5，則該數(shù)據(jù)是在高于均值1.5倍標(biāo)準(zhǔn)差的位置，即對(duì)一組數(shù)據(jù)大約有68%的數(shù)據(jù)在范圍內(nèi)，95%在范圍內(nèi)，99%在范圍內(nèi)，在此范圍內(nèi)幾乎包括了全部數(shù)據(jù)，而之外的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)上稱為離群點(diǎn)。2/4/202382河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院6、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差（1）是非標(biāo)志的概念：在統(tǒng)計(jì)中，有時(shí)把現(xiàn)象的總體單位分成具有某一標(biāo)志的單位和不具有某一標(biāo)志的單位兩組，這個(gè)標(biāo)志是品質(zhì)標(biāo)志。如將全部產(chǎn)品分為合格品和不合格品兩組。這種用是、否或有、無(wú)表示的標(biāo)志被稱為是非標(biāo)志。2/4/202383河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院6、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差（2）是非標(biāo)志的成數(shù)：是非標(biāo)志不能用數(shù)量表示，可以計(jì)算結(jié)構(gòu)比例，即總體中具有某一標(biāo)志的單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重或成數(shù)，設(shè)為P，如產(chǎn)品合格率；不具有某一標(biāo)志的單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重或成數(shù)，設(shè)為Q。設(shè)總體單位數(shù)為N，具有某一標(biāo)志的單位數(shù)為N1，不具有某一標(biāo)志的單位數(shù)為N0，N0+N1=N，P=N1/N，Q=N0/N，P+Q=12/4/202384河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院6、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差（3）是非標(biāo)志的平均數(shù)：將是非標(biāo)志量化，是表示為1，非表示為0，則其平均數(shù)按加權(quán)公式計(jì)算

2/4/202385河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院6、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差（4）是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差：2/4/202386河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院例子已知某產(chǎn)品的合格率為95%，求其合格率的標(biāo)準(zhǔn)差。解：2/4/202387河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院三、離散系數(shù)的意義、計(jì)算和適用場(chǎng)合

把握以下問(wèn)題：1、離散系數(shù)的意義；2、離散系數(shù)的計(jì)算；3、離散系數(shù)的適用場(chǎng)合。2/4/202388河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院1、離散系數(shù)的意義（1）又稱標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)。（2）意義：A、方差和標(biāo)準(zhǔn)差是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對(duì)數(shù)，它受變量值大小和其均值大小的影響；B、對(duì)均值不同或計(jì)量單位不同的變量值，不能直接比較，因此引入離散系數(shù)。2/4/202389河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、離散系數(shù)的計(jì)算（1）其計(jì)算公式為：Vσ和VS分別表示總體離散系數(shù)和樣本離散系數(shù)。（2）例3-6：某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表3-3所示。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤(rùn)的離散程度。2/4/202390河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院表3-3某管理局所屬8家企業(yè)的

產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號(hào)產(chǎn)品銷售額（萬(wàn)元）X1銷售利潤(rùn)（萬(wàn)元）X21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.02/4/202391河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院例3-6的解由于銷售額與利潤(rùn)額數(shù)據(jù)水平不同,不能直接用標(biāo)準(zhǔn)差比較,需要計(jì)算離散系數(shù)。由表中數(shù)據(jù)得：=536.25(萬(wàn)元)S1=309.19（萬(wàn)元）V1=0.577=32.5215(萬(wàn)元)S2=23.09(萬(wàn)元)V2=0.710計(jì)算結(jié)果表明V1<V2，說(shuō)明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤(rùn)的離散程度。2/4/202392河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

第三節(jié)分布偏態(tài)與峰度的測(cè)度偏態(tài)和峰度是對(duì)數(shù)據(jù)分布偏斜和扁平程度的描述。把握如下問(wèn)題：一、偏態(tài)及其測(cè)度；二、峰度及其測(cè)度。2/4/202393河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院一、偏態(tài)及其測(cè)度把握以下問(wèn)題：1、偏態(tài)的意義；2、偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式；3、例3-7。2/4/202394河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院1、偏態(tài)的意義它是對(duì)分布偏斜方向及程度的測(cè)度。前面學(xué)過(guò)用眾數(shù)、中位數(shù)和均值間的關(guān)系判斷分布是左偏還是右偏，但不能測(cè)度偏斜程度，這需要計(jì)算偏態(tài)系數(shù)，它是對(duì)分布偏斜程度的測(cè)度。2/4/202395河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式公式為：2/4/202396河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式公式的理解：上式是根據(jù)離差三次方的平均數(shù)再除以標(biāo)準(zhǔn)差的三次方，當(dāng)分布對(duì)稱時(shí)，離差三次方后正負(fù)離差可以相互抵消，公式分子為0，則3=0；當(dāng)分布不對(duì)稱時(shí)，正負(fù)離差不能抵消，3有正負(fù)。3為正值表示正偏離差值較大，可以判斷正偏或右偏；反之，3為負(fù)值表示負(fù)離差數(shù)值較大，可以判斷為負(fù)偏或左偏。在計(jì)算3時(shí)，將離差三次方的平均數(shù)除以標(biāo)準(zhǔn)差的三次方是把偏態(tài)系數(shù)轉(zhuǎn)化為相對(duì)數(shù)，3的絕對(duì)值越大，表示偏斜程度越大。2/4/202397河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、例子例3-7：已知1997年我國(guó)農(nóng)村居民家庭按純收入分組的有關(guān)數(shù)據(jù)如表3-4。計(jì)算偏態(tài)系數(shù)。表3-4農(nóng)村居民家庭按純收入分組的數(shù)據(jù)按純收入分（百元）5以下5~1010~1515~2020~25戶數(shù)比重（%）2.2812.4520.3519.5214.93按純收入分(百元)25~3030~3535~4040~4545~5050以上戶數(shù)比重(%)10.356.564.132.681.814.942/4/202398河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、例子解:計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表3-5(略),根據(jù)表3-5數(shù)據(jù)計(jì)算得:2/4/202399河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、例子將計(jì)算結(jié)果代入(3.25)式得：由結(jié)果知，偏態(tài)系數(shù)為正，且數(shù)值較大，說(shuō)明農(nóng)村家庭純收入的分布為右偏分布，即收入較少的家庭占多數(shù)，收入較高的家庭占少數(shù)，且偏斜的程度較大。2/4/2023100河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院二、峰度及其測(cè)度把握以下問(wèn)題：1、峰度的意義；2、峰度的計(jì)算公式；3、例子。2/4/2023101河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院1、峰度的意義

峰度是分布集中趨勢(shì)高峰的形狀。它通常是與正態(tài)分布相比而言，在同一方差時(shí)，若分布比正態(tài)分布更高更瘦，則為尖峰分布，反之，則為平峰分布，如圖3-5所示2/4/2023102河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院如圖

2/4/2023103河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院2、峰度系數(shù)的計(jì)算公式峰度系數(shù)是離差四次方的平均數(shù)，再除以標(biāo)準(zhǔn)差的四次方，公式為：式中：表示峰度系數(shù)，表示標(biāo)準(zhǔn)差的四次方2/4/2023104河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

2、峰度系數(shù)計(jì)算公式公式的理解：將離差的四次方除以標(biāo)準(zhǔn)差的四次方是為了將峰度系數(shù)轉(zhuǎn)化成相對(duì)數(shù)。用峰度系數(shù)說(shuō)明分布的尖峰和扁平程度，是與正態(tài)分布的峰度系數(shù)比較而言。由于正態(tài)分布的峰度系數(shù)為3，當(dāng)4＞3時(shí)為尖峰分布，當(dāng)4＜3時(shí)為平峰分布。2/4/2023105河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、例子

例3-8：根據(jù)例3-7中的數(shù)據(jù)，計(jì)算農(nóng)村居民家庭純收入分布的峰度系數(shù)。解：根據(jù)表3-5的計(jì)算結(jié)果，代入（3.26）式得：2/4/2023106河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、例子

由于4=3.4＞3，說(shuō)明我國(guó)農(nóng)村居民家庭純收入的分布為尖峰分布，說(shuō)明低收入家庭占有較大比重。2/4/2023107河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院第四節(jié)統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖

統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖是顯示數(shù)據(jù)的兩種基本方式。本節(jié)把握以下問(wèn)題：一、統(tǒng)計(jì)表；二、統(tǒng)計(jì)圖。

2/4/2023108河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院一、統(tǒng)計(jì)表把握以下問(wèn)題：1、統(tǒng)計(jì)表的特點(diǎn)；2、統(tǒng)計(jì)表的形式及構(gòu)成；3、統(tǒng)計(jì)表編制的原則。2/4/2023109河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

1、統(tǒng)計(jì)表的特點(diǎn)它是用語(yǔ)顯示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的基本工具。使用統(tǒng)計(jì)表可以使數(shù)據(jù)一目了然，清晰易懂，便于理解和分析。2/4/2023110河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

2、統(tǒng)計(jì)表的形式及構(gòu)成（1）形式多樣看下表表3-61997年城鄉(xiāng)居民家庭平均每人生活消費(fèi)支出單位:元資料來(lái)源：《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒1998》，中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1998年，第326、348頁(yè)。注：本表城鎮(zhèn)居民家庭收支為抽樣調(diào)查資料項(xiàng)目城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民食品衣著家庭設(shè)備用品及服務(wù)醫(yī)療保健交通通訊娛樂(lè)教育文化服務(wù)居住雜項(xiàng)商品與服務(wù)1942.59520.91316.89179.68232.90448.38358.64185.65890.28109.4185.4162.4553.92148.18233.2334.27合計(jì)4185.641617.15表頭列標(biāo)題行標(biāo)題數(shù)字資料附加2/4/20231112、統(tǒng)計(jì)表的形式及構(gòu)成（2）表的構(gòu)成：包括表頭、行標(biāo)題、列標(biāo)題、和數(shù)字資料。必要時(shí)加上附加。表頭在表的上方，說(shuō)明表的主要內(nèi)容；行、列標(biāo)題在表的第一列和第一行，表示研究問(wèn)題的類別名稱和指標(biāo)名稱。若是時(shí)間序列數(shù)據(jù)，行、列標(biāo)題可以是時(shí)間，數(shù)據(jù)多時(shí)，時(shí)間放在橫行標(biāo)題的位置，如表3-7。表的其余部分是具體的數(shù)字資料；附加放在表的下方，包括資料來(lái)源、指標(biāo)的注釋等。2/4/2023112河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

表3-71991-1997年城鄉(xiāng)居民家庭

人均收入單位:元

資料來(lái)源:《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒1998》,中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,1998年,第325頁(yè)年份城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民19911992199319941995199619971700.62026.62577.43496.24283.04838.95160.3708.6784.0921.61221.01577.71926.12091.12/4/2023113河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、統(tǒng)計(jì)表編制的原則總體原則：科學(xué)、實(shí)用、簡(jiǎn)練、美觀。具體注意以下幾點(diǎn)：（1）合理安排表的結(jié)構(gòu)，使表的橫豎長(zhǎng)度比例適當(dāng)。（2）表頭包括表號(hào)、總標(biāo)題和表中數(shù)據(jù)的單位等?？倶?biāo)題應(yīng)明確表的內(nèi)容，要有時(shí)間、地點(diǎn)、以及數(shù)據(jù)。若是同一計(jì)量單位，放在表的右上角，若計(jì)量單位不同，放在指標(biāo)后或單列一列標(biāo)明。

2/4/2023114河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、統(tǒng)計(jì)表編制原則（3）表中上下兩條線用粗線，中間其他線用細(xì)線。表左右兩邊不封口，列標(biāo)題間用豎線分開，行標(biāo)題間不用橫線隔開。表中數(shù)據(jù)一般右對(duì)齊，有小數(shù)點(diǎn)以小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊且小數(shù)點(diǎn)位置統(tǒng)一。沒(méi)有數(shù)字的表格單元，用“-”表示，填好的表不應(yīng)有空白單元格。2/4/2023115河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院3、統(tǒng)計(jì)表編制原則（4）在使用統(tǒng)計(jì)表時(shí)，必要時(shí)在表的下方加上注釋，特別注明資料來(lái)源，對(duì)別人成果的尊重和被讀者查閱。2/4/2023116河北工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院二、統(tǒng)計(jì)圖

把握以下問(wèn)題：1、線圖；2、