離散型隨機(jī)變量以及函數(shù)均值

隨機(jī)變量的均值今天我們學(xué)習(xí)。。。隨機(jī)變量的均值（期望，數(shù)學(xué)期望）一：離散型隨機(jī)變量均值定義背景：賭徒丟骰子一次，可能得到的點(diǎn)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，假定概率分布：=1×(n1/n)+2×(n2/n)+3×(n3/n)+4×(n4/n)+5×(n5/n)+6×(n6/n)=1×n1/n+2×n2/n+3×n3/n+4×n4/n+5×n5/n+6×n6/n(1×n1+2×n2+3×n3+4×n4+5×n5+6×n6)/nP(X=1)=P(X=2)=0.1，P(X=3)=P(X=4)=0.15，P(X=5)=P(X=6)=0.25.現(xiàn)在，假定總共拋擲骰子n次，其中出現(xiàn)i點(diǎn)次數(shù)為ni，則平均每次得到點(diǎn)數(shù)為XPr1234560.10.10.150.150.250.251×(n1/n)+2×(n2/n)+3×(n3/n)+4×(n4/n)+5×(n5/n)+6×(n6/n)定義：離散隨機(jī)變量X，P(X=ai)=pi,i∈△,若∑i∈△aipi絕對(duì)收斂，則稱(chēng)∑i∈△aipi為隨機(jī)變量X的均值，（期望，Expectation），記EX=∑i∈△aipi首先我們推導(dǎo)一個(gè)備用公式時(shí)：因?yàn)闀r(shí)，令m趨向無(wú)窮大，得，然后，在兩邊求導(dǎo)，得到，又因?yàn)闀r(shí)，因此，時(shí)因?yàn)闀r(shí)解：首先P(Y=k)=(1-0.2)k-10.2,k=1,2,3,…,因此EY=∑1≤k≤∞[k×P(Y=k)]=∑1≤k≤∞

[k(1-0.2)k-10.2]=0.2∑1≤k≤∞（0.8k-1k）例1：射擊目標(biāo)，每次開(kāi)槍擊中的概率0.2，獨(dú)立射擊到擊中為止總共射擊的次數(shù)Y是一個(gè)隨機(jī)變量，它的平均值EY指的是擊中為止，平均射擊次數(shù)，我們感覺(jué)應(yīng)該等于1/0.2=5次，下面按照定義計(jì)算EY：按照公式不難求得EY=0.2∑1≤k≤∞（0.8k-1k）=0.2/(1-0.8)2=5計(jì)算結(jié)果和我們的感覺(jué)是吻合的講下一個(gè)例題之前，在推導(dǎo)一個(gè)公式證明：由牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)兩邊對(duì)x求導(dǎo)：注意到項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，對(duì)于x求導(dǎo)為零，因此最后，將左右兩個(gè)等式同時(shí)乘以x就可以得到例2：接上例，若射擊100子彈擊中次數(shù)Z，求EZ解：因?yàn)閆~B(100,0.2),所以由推導(dǎo)公式得：（令n=100,x=0.2,a=1-0.2即可）這個(gè)結(jié)果也和我們的感覺(jué)相吻合,隨機(jī)變量均值定義合理！求隨機(jī)變量函數(shù)的均值例：XPr-11020.20.10.30.4，求EX2X2Pr(-1)21202220.20.10.30.4解:如果相等取值的概率不做合并，分布表寫(xiě)成EX2=(-1)2×0.1+02×0.2+12×0.4+22×0.3=1.7而如果按照合并后的分布表計(jì)算X2Pr(-1)21202220.20.10.30.4X2Pr102220.20.30.1+0.4EX2=02×0.2+1×(0.1+0.4)+22×0.3=1.7比較結(jié)果說(shuō)明，計(jì)算隨機(jī)變量期望過(guò)程中，取值相等，概率可以不做合并一般地：若知道隨機(jī)變量X的概率分布Xa1a2…an(…)(…)Prp1p2…pn求X函數(shù)h(X)的均值，不必合并h(X)取值相等的概率,h(X)h(a1)…(…)(…)Prp1p2…pnh(a2)h(an)得到h(X)均值例3：對(duì)例1，計(jì)算EY2,例2,計(jì)算EZ2解：例1中P(Y=k)=(1-0.2)k-10.2,k=1,2,3,…,因此注意到，前面已經(jīng)推導(dǎo)過(guò)時(shí)，，現(xiàn)在，再兩邊同時(shí)乘以x后再求導(dǎo)因此，故練習(xí)：X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，求EX和EX2