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學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE22學必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE第一章常用邏輯用語1怎樣解邏輯用語問題1.利用集合理清關系充分(必要)條件是高中學段的一個重要概念,并且是理解上的一個難點。要解決這個難點,將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來,看得見、想得通,才是最好的方法。本節(jié)使用集合模型對充要條件的外延與內涵作了直觀形象的解釋,實踐證明效果較好.集合模型解釋如下:(1)A是B的充分條件,即A?B.(2)A是B的必要條件,即B?A。(3)A是B的充要條件,即A=B。(4)A是B的既不充分又不必要條件,即A∩B=?或A、B既有公共元素也有非公共元素?;蚶?設集合S={0,a},T={x∈Z|x2〈2},則“a=1"是“S?T"的________條件。(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析T={x∈Z|x2<2}={-1,0,1},a=1時,S={0,1},所以S?T;反之,若S?T,則S={0,1}或S={0,-1}。所以“a=1”是“S?T"的充分不必要條件。答案充分不必要2.抓住量詞,對癥下藥全稱命題與特稱命題是兩類特殊的命題,這兩類命題的否定是這部分內容中的重要概念,解決有關此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質的量詞,理解其相應的含義,從而對癥下藥。例2(1)已知命題p:“任意x∈[1,2],x2-a≥0"與命題q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為______________。(2)已知命題p:“存在x∈[1,2],x2-a≥0”與命題q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為__________________.解析(1)將命題p轉化為當x∈[1,2]時,(x2-a)min≥0,即1-a≥0,即a≤1。命題q:即方程有解,Δ=(2a)2-4×(2+a)≥0,解得a≤-1或a≥2.綜上所述,a的取值范圍為(-∞,-1].(2)命題p轉化為當x∈[1,2]時,(x2-a)max≥0,即4-a≥0,即a≤4。命題q同(1)。綜上所述,a的取值范圍為(-∞,-1]∪[2,4].答案(1)(-∞,-1](2)(-∞,-1]∪[2,4]點評認真比較兩題就會發(fā)現(xiàn),兩題形似而神異,所謂失之毫厘,謬之千里,需要我們抓住這類問題的本質—-量詞,有的放矢。3.挖掘等價轉化思想,提高解題速度在四種命題的關系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞中,時時刻刻滲透著等價轉化思想,例如互為逆否命題的兩個命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假,它們就是等價的;但原命題與逆命題不等價,即原命題為真,其逆命題不一定為真.例3設p:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x+4y-12〉0,,2x-y-8≤0,,x-2y+6≥0,))q:x2+y2≤r2(r>0),若q是綈p的充分不必要條件,求r的取值范圍。分析“q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”.設p、q對應的集合分別為A、B,則可由A?RB出發(fā)解題.解設p、q對應的集合分別為A、B,將本題背景放到直角坐標系中,則點集A表示平面區(qū)域,點集?RB表示到原點距離大于r的點的集合,也即是圓x2+y2=r2外的點的集合.∵A?RB表示區(qū)域A內的點到原點的最近距離大于r,∴直線3x+4y-12=0上的點到原點的最近距離大于等于r,∵原點O到直線3x+4y-12=0的距離d=eq\f(|-12|,\r(32+42))=eq\f(12,5),∴r的取值范圍為(0,eq\f(12,5)].點評若直接解的話,q是綈p的充分不必要條件即為x2+y2≤r2(r〉0)在p:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x+4y-12>0,,2x-y-8≤0,,x-2y+6≥0))所對應的區(qū)域的外部,也是可以解決的。但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉化為“p是綈q的充分不必要條件",更好地體現(xiàn)了相應的數(shù)學思想方法。2辨析命題的否定與否命題否命題與命題的否定是邏輯關系中的兩個相似知識點,但又有著本質的區(qū)別,應注意弄清它們的區(qū)別和正確表述,下面從以下兩個方面來看一下它們的區(qū)別。1。否命題與命題的否定的概念設命題“若A,則B”為原命題,那么“若綈A,則綈B”為原命題的否命題,“若A,則綈B"為原命題的否定。所以從概念上看“否命題"是對原命題的條件和結論同時否定后得到的新命題,而且否定的條件仍為條件,否定的結論仍為結論.“命題的否定”是對原命題結論的全盤否定,即“命題的否定”與原命題的條件相同,結論相反。例1寫出下列命題的否命題及否定:(1)若|x|+|y|=0,則x,y全為0;(2)函數(shù)y=x+b的值隨x的增加而增加.分析問題(1)直接依據格式寫出相應的命題;問題(2)先改寫成“若A,則B”的形式,然后再寫出相應的命題.解(1)原命題的條件為“|x|+|y|=0”,結論為“x,y全為0".寫原命題的否命題需同時否定條件和結論,所以原命題的否命題為“若|x|+|y|≠0,則x,y不全為0”.寫原命題的否定只需否定結論,所以原命題的否定為“若|x|+|y|=0,則x,y不全為0"。(2)原命題可以改寫為“若x增加,則函數(shù)y=x+b的值也隨之增加”。否命題為“若x不增加,則函數(shù)y=x+b的值也不增加”;命題的否定為“若x增加,則函數(shù)y=x+b的值不增加”。點評如果所給命題是“若A,則B”的形式,則可以依據否命題和命題的否定的定義,直接寫出相應的命題.如果不是“若A,則B"的形式,則需要先將其改寫成“若A,則B"的形式,便于寫出命題的否定形式及其否命題.2。否命題與命題的否定的真假從命題的真假上看,原命題與其否命題的真假沒有必然的關系,原命題為真,其否命題可能為真,也可能為假;原命題為假,其否命題可能為真,也可能為假。但是原命題與其否定的真假必相反,原命題為真,則其否定為假;原命題為假,則其否定為真.這也可以作為檢驗寫出的命題是否正確的標準。例2寫出下列命題的否命題與命題的否定,并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假:(1)若x2〈4,則-2<x〈2;(2)若m>0且n〉0,則m+n>0.分析依據定義分別寫出否命題與命題的否定。根據不等式及方程的性質逐個判斷其真假.解(1)否命題:“若x2≥4,則x≥2或x≤-2”。命題的否定:“若x2<4,則x≥2或x≤-2"。通過解不等式可以知道,原命題為真,否命題為真,命題的否定為假。(2)否命題:“若m≤0或n≤0,則m+n≤0”.命題的否定:“若m〉0且n>0,則m+n≤0".由不等式的性質可以知道,原命題為真,否命題為假,命題的否定為假。3判斷條件四策略1.應用定義如果p?q,那么稱p是q的充分條件,同時稱q是p的必要條件.判斷時的關鍵是分清條件與結論。例1設集合M={x|x>2},P={x|x〈3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析條件p:x∈M或x∈P;結論q:x∈P∩M.若x∈M,則x不一定屬于P,即x不一定屬于P∩M,所以pD/?q;若x∈P∩M,則x∈M且x∈P,所以q?p.綜上知,“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M"的必要不充分條件。答案必要不充分2。利用傳遞性充分、必要條件在推導的過程當中具有傳遞性,即:若p?q,q?r,則p?r。例2如果A是B的必要不充分條件,B是C的充要條件,D是C的充分不必要條件,那么A是D的______條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析依題意,有A?B?C?D且A?B?C?D,由命題的傳遞性可知D?A,但A?D。于是A是D的必要不充分條件.答案必要不充分3。利用集合運用集合思想來判斷充分條件和必要條件是一種行之有效的方法。若p以非空集合A的形式出現(xiàn),q以非空集合B的形式出現(xiàn),則①若A?B,則p是q的充分條件;②若B?A,則p是q的必要條件;③若AB,則p是q的充分不必要條件;④若BA,則p是q的必要不充分條件;⑤若A=B,則p是q的充要條件。例3已知p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是________.解析設p,q分別對應集合P,Q,則P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m},由題意知,p?q,但q?p,故PQ,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-m〈-2,,1+m≥10,,m〉0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-m≤-2,,1+m〉10,,m〉0,))解得m≥9.即m的取值范圍是[9,+∞).答案[9,+∞)4.等價轉化由于互為逆否命題的兩個命題同真同假,所以當由p?q較困難時,可利用等價轉化,先判斷由綈q?綈p,從而得到p?q。例4已知p:x+y≠2,q:x,y不都是1,則p是q的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析因為p:x+y≠2,q:x≠1或y≠1,所以綈p:x+y=2,綈q:x=1且y=1。因為綈p?綈q,但綈q?綈p,所以綈q是綈p的充分不必要條件,即p是q的充分不必要條件。答案充分不必要4例析邏輯用語中的常見誤區(qū)誤區(qū)1所有不等式、集合運算式都不是命題例1判斷下列語句是不是命題,若是命題,判斷其真假。(1)x+2>0;(2)x2+2>0;(3)A∩B=A∪B;(4)A?(A∪B).錯解(1)(2)(3)(4)都不是命題。剖析(1)中含有未知數(shù)x,且x不確定,所以x+2的值也不確定,故無法判斷x+2〉0是否成立,不能判斷其真假,故(1)不是命題.(2)x雖為未知數(shù),但x2≥0,所以x2+2≥2,故可判斷x2+2〉0成立,故(2)為真命題.(3)若A=B,則A∩B=A∪B=A=B;若AB,則A∩B=A(A∪B)=B.由于A,B的關系未知,所以不能判斷其真假,故(3)不是命題.(4)A為A∪B的子集,故A?(A∪B)成立,故(4)為真命題.正解(2)(4)是命題,且都為真命題.誤區(qū)2原命題為真,其否命題必為假例2判斷下列命題的否命題的真假:(1)若a=0,則ab=0;(2)若a2〉b2,則a>b.錯解(1)因為原命題為真命題,故其否命題是假命題;(2)因為原命題為假命題,故其否命題為真命題。剖析否命題的真假與原命題的真假沒有關系,否命題的真假不能根據原命題的真假來判斷,應先寫出原命題的否命題,再判斷。正解(1)否命題為:若a≠0,則ab≠0,是假命題;(2)否命題為:若a2≤b2,則a≤b,是假命題.誤區(qū)3搞不清誰是誰的條件例3使不等式x-3〉0成立的一個充分不必要條件是()A.x〉3 B.x>4C。x〉2 D。x∈{1,2,3}錯解由不等式x-3〉0成立,得x>3,顯然x>3?x>2,又x>2?x〉3,因此選C.剖析若p的一個充分不必要條件是q,則q?p,p?q.本題要求使不等式x-3>0成立的一個充分不必要條件,又x>4?x-3〉0,而x-3〉0?x>4,所以使不等式x-3〉0成立的一個充分不必要條件為x>4。正解B誤區(qū)4考慮問題不周例4如果a,b,c∈R,那么“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根"的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D。既不充分又不必要條件錯解判別式Δ=b2-4ac>0,即方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根;若方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根,則判別式Δ=b2-4ac〉0,即b2>4ac.綜上可知“b2>4ac"是“方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根”的充要條件,故選C。剖析判別式Δ=b2-4ac只適用于一元二次方程的實數(shù)根存在情況的判斷.對于方程ax2+bx+c=0,當a=0時,原方程為一次方程bx+c=0(b≠0),一次方程不存在判別式,所以當b2>4ac時不能推出方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根;若方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根,則它的判別式Δ=b2-4ac>0,即b2>4ac.由上可知,“b2〉4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根”的必要不充分條件。正解B誤區(qū)5用“且”“或"聯(lián)結命題時只聯(lián)結條件或結論例5(1)已知p:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11;q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2,試寫出“p或q”。(2)p:四條邊相等的四邊形是正方形;q:四個角相等的四邊形是正方形,試寫出“p且q"。錯解(1)p或q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或x=2。(2)p且q:四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形。剖析(1)(2)兩題中p,q都是假命題,所以“p或q”,“p且q"也都應是假命題。而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題。錯誤原因是:(1)只聯(lián)結了兩個命題的結論;(2)只聯(lián)結了兩個命題的條件.正解(1)p或q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2。(2)p且q:四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形.誤區(qū)6不能正確否定結論例6p:方程x2-5x+6=0有兩個相等的實數(shù)根,試寫出“綈p"。錯解綈p:方程x2-5x+6=0有兩個不相等的實數(shù)根。剖析命題p的結論為“有兩個相等的實數(shù)根",所以“綈p”應否定“有”,而不能否定“相等”。正解綈p:方程x2-5x+6=0沒有兩個相等的實數(shù)根。誤區(qū)7對含有一個量詞的命題否定不完全例7已知命題p:存在一個實數(shù)x,使得x2-x-2〈0,寫出綈p。錯解一綈p:存在一個實數(shù)x,使得x2-x-2≥0.錯解二綈p:對任意的實數(shù)x,都有x2-x-2<0.剖析該命題是特稱命題,其否定是全稱命題,但錯解一中得到的綈p仍是特稱命題,顯然只對結論進行了否定,而沒有對存在量詞進行否定;錯解二中只對存在量詞進行了否定,而沒有對結論進行否定。正解綈p:對任意的實數(shù)x,都有x2-x-2≥0.誤區(qū)8忽略了隱含的量詞例8寫出下列命題的否定:(1)不相交的兩條直線是平行直線;(2)奇函數(shù)的圖像關于y軸對稱.錯解(1)不相交的兩條直線不是平行直線;(2)奇函數(shù)的圖像不關于y軸對稱.剖析以上錯誤解答在于沒有看出這兩個命題都是全稱命題.對于一些量詞不明顯或不含有量詞,但其實質只是在文字敘述上省略了某些量詞的命題,要特別引起注意。正解(1)存在不相交的兩條直線不是平行直線;(2)存在一個奇函數(shù)的圖像不關于y軸對稱。5解“邏輯”問題的三意識1。轉化意識由于互為逆否的兩個命題同真假,因此,當原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時,可以轉化為逆否命題來判斷或證明.例1證明:若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1.分析本題直接證明原命題是真命題,顯然不太容易,可考慮轉化為證明它的逆否命題是真命題.證明命題“若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1”的逆否命題是“若a-b=1,則a2-b2+2a-4b-3=0”.由a-b=1得a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3=a-b-1=0?!咴}的逆否命題是真命題,∴原命題也是真命題。故若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1.例2命題p:實數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,其中a〈0,命題q:實數(shù)x滿足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且q是p的必要不充分條件,求a的取值范圍。分析將充分、必要條件轉化為集合之間的關系,進而轉化為集合運算問題。解設A={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)}={x|3a〈x<a},B={x|x2-x-6≤0或x2+2x-8>0}={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8〉0}={x|-2≤x≤3}∪{x|x〈-4或x〉2}={x|x<-4或x≥-2}。因為q是p的必要不充分條件,所以p?q,qD?/p,由AB得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥-2,a<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤-4,a<0))即a≤-4或-eq\f(2,3)≤a〈0。所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-4]∪[-eq\f(2,3),0).2。簡化意識判斷命題真假的關鍵:一是識別命題的構成形式;二是分別將各命題簡化,對等價的簡化命題進行判斷.例3已知命題p:函數(shù)y=log0.5(x2+2x+a)的值域為R,命
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