高中數(shù)學(xué)人教A版第三章三角恒等變換簡(jiǎn)單的三角恒等變換 簡(jiǎn)單的三角變換

簡(jiǎn)單的三角恒等變換第1課時(shí)利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換一、教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn):引導(dǎo)學(xué)生以三角函數(shù)的和（差）公式與倍角公式為依據(jù)，推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式以及積化和差、和差化積公式．難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過(guò)程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過(guò)程的能力．知識(shí)點(diǎn)：半角的正弦、余弦、正切公式、積化和差與和差化積公式．能力點(diǎn)：能運(yùn)用二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，并能利用和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出積化和差與和差化積公式，能利用公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明．體會(huì)換元、化歸、方程等思想，提高學(xué)生的觀察能力、推理能力和運(yùn)算能力．教育點(diǎn)：讓學(xué)生親身經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解半角公式與倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力和辯證唯物主義觀點(diǎn)；在探究和解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、勇于探索、互相合作的精神．自主探究點(diǎn)：通過(guò)二倍角公式的變形，探究半角的正弦、余弦、正切公式，利用和與差的正弦、余弦公式探究推導(dǎo)積化和差與和差化積公式．易錯(cuò)易混點(diǎn)：三角函數(shù)值符號(hào)的判斷和三角變換的靈活應(yīng)用．拓展點(diǎn)：通過(guò)三角變換改變函數(shù)式結(jié)構(gòu)求函數(shù)最值問(wèn)題．二、引入新課知識(shí)回顧：?jiǎn)栴}1：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式？問(wèn)題2：二倍角的正弦、余弦、正切公式？【師生活動(dòng)】教師展示課件、提出問(wèn)題，學(xué)生思考默寫(xiě)公式、并請(qǐng)學(xué)生板演公式．并明確本節(jié)將綜合運(yùn)用和（差）角公式、倍角公式進(jìn)行更加豐富的三角恒等變換．【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所必備的基礎(chǔ)知識(shí)有一個(gè)清晰準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，分散教學(xué)難點(diǎn)，更為學(xué)生自主探究鋪平道路．在開(kāi)課之初就讓學(xué)生明確本節(jié)課所要研究的內(nèi)容，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)，引發(fā)學(xué)生探究新知識(shí)的欲望，并使得教學(xué)過(guò)程自然流暢.三、探究新知探究一：試以表示．問(wèn)題1：與有什么樣的關(guān)系？由此可以聯(lián)想到我們學(xué)習(xí)過(guò)的哪個(gè)公式？是的二倍，由此可聯(lián)想到利用二倍角的余弦公式．問(wèn)題2：從之間的關(guān)系出發(fā)思考有怎樣的關(guān)系呢？如何建立這兩個(gè)三角式之間的關(guān)系？由，得，由，得．因此．【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思、總結(jié)的習(xí)慣；通過(guò)動(dòng)手操作讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立的探究學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的邏輯推理能力．另解：因?yàn)槭堑亩督?，在倍角公式中，以，，即?所以；在倍角公式中，以，，即得，所以．所以．【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生理解角的倍、半間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會(huì)，比較兩種方法的異同，找出其內(nèi)在的聯(lián)系，以達(dá)融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用之功效．問(wèn)題3：已知，如何求、、？；；師生共同進(jìn)行總結(jié)，公式中的“”號(hào)由所在象限決定．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)自主探究引入半角公式，符合認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生容易接受；通過(guò)公式探究重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生觀察能力和靈活運(yùn)用的能力，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角公式的進(jìn)一步理解．問(wèn)題4：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同呢？師生共同分析得出：(1)代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換；(2)對(duì)于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類(lèi)方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)．【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類(lèi)的差異”對(duì)三角變換的影響進(jìn)行認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生更好地把握三角恒等變換的特點(diǎn)．并為解決本節(jié)課的重難點(diǎn)問(wèn)題作鋪墊，便于知識(shí)水到渠成的向前發(fā)展．探究二：求證：（1）；（2）．問(wèn)題1：觀察（1）式，從哪端入手更容易變形？從右式出發(fā)容易變形，可以利用兩角和（差）的正弦公式展開(kāi)．問(wèn)題2：(1)式在結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)？哪些公式中包含sinαcosβ、cosαsinβ呢？；．證明：因?yàn)?；．兩式相加得：；所以．?wèn)題3：能否利用（1）式的結(jié)果證明（2）式呢？比較（1）、（2）兩式的結(jié)構(gòu)形式，思考它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？證明：由（1）可得．①設(shè)，則．把的值代入①式，即得．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)設(shè)問(wèn)，能更好的發(fā)揮本例的教育功能，把兩個(gè)三角式結(jié)構(gòu)形式上的不同點(diǎn)作為思考的出發(fā)點(diǎn)，并在建立它們之間的聯(lián)系進(jìn)而消除不同點(diǎn)上下功夫，這樣不僅有利于深化對(duì)和（差）角公式的理解，而且還有利于本例的兩個(gè)小題的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)．問(wèn)題4：如果不用（1）的結(jié)果，如何證明呢？從右端入手，由右往左證；利用兩角和的正弦公式和兩角差的余弦公式將展開(kāi)變形．證明：右邊=問(wèn)題5：回顧證明過(guò)程，我們都用到了哪些數(shù)學(xué)思想？（1）換元的思想．如把看作，看作，從而把包含α,β的三角函數(shù)式變換成的三角函數(shù)式．（2）方程的思想．把看作，看作，把等式看作，的方程，通過(guò)解方程求得．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)和差化積和積化和差公式的探究證明，使學(xué)生感受三角式結(jié)構(gòu)上的同構(gòu)特點(diǎn)，以及角的三角函數(shù)與角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系．另外，通過(guò)角間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)上的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換、換元、方程等思想方法．四、理解新知1.半角公式與積化和差、和差化積公式不要求記憶，但要了解其推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)換元、化歸、方程等思想方法，需要用時(shí)可自行推導(dǎo)應(yīng)用．2.體會(huì)角的構(gòu)造與變形在三角變換中的作用，逐步掌握構(gòu)造角的技巧；充分觀察角與角之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式，將所求角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為已知角的三角函數(shù)，使“目標(biāo)角”變成“已知角”．五、運(yùn)用新知例1求證：證明：方法一：，．方法二：，．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)題給出了的關(guān)系式，是對(duì)半角公式（例1結(jié)論）的進(jìn)一步理解和延伸．例2求證:．證明:原式等價(jià)于.左邊==右邊.∴變式訓(xùn)練：求證：．證明：證法一：證法二：【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)此例題讓學(xué)生感知證明三角恒等式，一般要遵循由繁到簡(jiǎn)的原則，另外化弦為切與化切為弦也是在三角的恒等變換中經(jīng)常使用的方法．六、課堂小結(jié)教師提問(wèn)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？留給你印象最深的是什么？（引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)點(diǎn)、思想方法兩方面進(jìn)行總結(jié)）學(xué)生總結(jié)：1．知識(shí)：半角公式、積化和差公式、和差化積公式、三角恒等變換．2．方法：轉(zhuǎn)化、換元、方程等思想方法．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過(guò)程，提升對(duì)所學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法的理解和應(yīng)用意識(shí)；提高學(xué)生的概括、歸納能力.同時(shí)學(xué)生在回顧、總結(jié)、反思的過(guò)程中，將知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)更趨合理．七、布置作業(yè)必做題：習(xí)題3.2A組1、（2）、（4）、（8）；2；B選做題：1.若,在第二象限,則的值為()A.B.C.D.2．已知，求的值．3．已知，求證：．答案：1．．2．，3.證明：（方法一），．，又（方法二）：，且，,，，．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)適量的課后作業(yè)，復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí),．書(shū)面作業(yè)的布置，設(shè)置了必做與選作兩組練習(xí)，可以使學(xué)生在完成基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，又能得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都能獲得成功的喜悅，加強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．課外思考探究活動(dòng)有利于進(jìn)一步激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，探究新知的欲望，使課堂教學(xué)得以延伸．八、教后反思1.在本節(jié)課的教學(xué)中，力求使學(xué)生通過(guò)自主探究，獨(dú)立思考，推導(dǎo)公式，總結(jié)規(guī)律，探究三角變換的常用方法，重點(diǎn)突出換元的思想、化歸的思想、方程的思想等．通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生比較所證明的公式，找出異同點(diǎn)，加深記憶，通過(guò)總結(jié)證明公式的過(guò)程，不斷提高學(xué)生利用三角變換進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)、證明的能力．2.教學(xué)中突出學(xué)生的主體地位，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生.通過(guò)巧妙地設(shè)計(jì)問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主探究，經(jīng)過(guò)小組討論、交流，概括得出結(jié)論，讓學(xué)生感受取得新知識(shí)的成就感.3.這節(jié)課學(xué)生感覺(jué)都能聽(tīng)懂但是在遇到實(shí)際題目的時(shí)候自己還是感覺(jué)無(wú)從下手，所以接下來(lái)要多做題加以鞏固．九、板書(shū)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的三角變換（1）一、半角公式方法一：方法二：二、積化和差、和差化積公式（1）（2）復(fù)習(xí)回顧學(xué)生默寫(xiě)公式復(fù)習(xí)回