高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系 第二章單元檢測(cè)

第二章單元檢測(cè)班級(jí)____姓名____考號(hào)____分?jǐn)?shù)____本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．若點(diǎn)M在直線a上，a在平面α內(nèi)，則M、a、α間的關(guān)系可記為()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a?αC．M?a，a?αD．M?a，a∈α答案：B2．有下列命題：①平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；②平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；③垂直于同一直線的兩直線平行；④垂直于同一平面的兩直線平行．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：平行于同一直線的兩平面可能相交，①錯(cuò)，垂直于同一直線的兩條直線可能平行，也可能相交或異面，③錯(cuò)，可知②④正確．3．若α⊥β，α∩β＝l，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么()A．a(chǎn)與b可能垂直，但不可能平行B．a(chǎn)與b可能垂直，也可能平行C．a(chǎn)與b不可能垂直，但可能平行D．a(chǎn)與b不可能垂直，也不可能平行答案：C解析：兩平面垂直，兩直線分別在兩平面內(nèi)，且兩直線與交線不垂直，兩直線若平行，則均與交線平行，因此可能平行；若a與b垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，則a與l垂直或b與l垂直，與已知矛盾，選C.4．兩條異面直線在同一平面的正投影不可能是()A．兩條平行直線B．兩條相交直線C．一個(gè)點(diǎn)和一條直線D．兩個(gè)點(diǎn)答案：D解析：如果兩條直線在同一平面內(nèi)的正投影是兩個(gè)點(diǎn)，則這兩條直線都和平面垂直，這兩條直線平行，不會(huì)是異面直線．5．給出下列命題：①和直線a都相交的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；③有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面，其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)答案：A解析：兩兩相交且過(guò)同一點(diǎn)的直線，可以不在同一平面內(nèi)，所以①②都錯(cuò)；兩平面相交，也可以有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以③錯(cuò)；兩兩平行的三條直線可以在同一平面內(nèi)，所以④錯(cuò)．6.如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，直線AC與直線BC′所成的角為()A．30°B．60°C．90°D．45°答案：B解析：AC與A′C′平行，三角形A′C′B為等邊三角形，結(jié)合等角定理可知所求角為60°.7．已知三條不同的直線a，b，c，三個(gè)不同的平面α，β，γ，有下面四個(gè)命題：①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，則α∥γ；②若直線a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，則b⊥α；④若a?α，b?α，c⊥a，c⊥b，則c⊥α.其中正確的命題是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案：B解析：命題①錯(cuò)誤，因?yàn)棣僚cγ還可能相交；命題②正確，設(shè)a與b確定的平面為γ，由題設(shè)知α∥γ，β∥γ，所以α∥β，所以排除A、C、D，答案選B.8．如圖，a∥α，A是α的另一側(cè)的點(diǎn)，B，D∈a，線段AB，AD分別交α于E，G，若BD＝15，BE＝2AE，則EG等于()A．10\f(10,3)C．5\f(5,3)答案：C解析：由三角形AEG與三角形ABD相似得，EG＝eq\f(1,3)BD＝5.9．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β內(nèi)的射影長(zhǎng)分別為9和5，則AB、CD的長(zhǎng)分別為()A．16和12B．15和13C．17和11D．18和10答案：B解析：令A(yù)B＝x，CD＝y(tǒng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝28,x2－81＝y(tǒng)2－25))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝15,y＝13)).10.如圖所示，正三棱錐V—ABC(頂點(diǎn)在底面的射影是底面正三角形的中心)中，D，E，F(xiàn)分別是VC，VA，AC的中點(diǎn)，P為VB上任意一點(diǎn)，則直線DE與PF所成的角的大小是()A．30°B．90°C．60°D．隨P點(diǎn)的變化而變化答案：B解析：由于DE∥AC，故DE與PF所成的角即AC與PF所成的角，連接VF，BF，則AC⊥VF，AC⊥BF.∴AC⊥平面VBF.∴AC⊥PF.11．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1中(側(cè)棱垂直于底面且底面為正三角形的三棱柱)，AB＝AA1，則AC1與平面BB1C\f(\r(2),2)\f(\r(15),5)\f(\r(6),4)\f(\r(6),3)答案：C解析：取BC的中點(diǎn)D，連AD，C1D，在等邊△ABC中，AD⊥BC，由正三棱柱的性質(zhì)，平面ABC⊥平面BB1C∴AD⊥平面BB1C1C，∴∠AC設(shè)AB＝AA1＝a，則AD＝eq\f(\r(3),2)a，AC1＝eq\r(2)a，sin∠AC1D＝eq\f(AD,AC1)＝eq\f(\r(6),4).12．如圖，設(shè)平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別為B，D，且AB≠CD.如果增加一個(gè)條件就能推出BD⊥EF，給出四個(gè)條件：①AC⊥β；②AC⊥EF；③AC與BD在β內(nèi)的正投影在同一條直線上；④AC與BD在平面β內(nèi)的正投影所在的直線交于一點(diǎn)．那么這個(gè)條件不可能是()A．①②B．②③C．③D．④答案：D解析：當(dāng)AC與BD在平面β內(nèi)的正投影所在的直線相交時(shí)，平面ABCD與平面β不垂直，此時(shí)，EF與BD也不可能垂直(若EF⊥BD，由于EF⊥CD，則EF⊥平面ABCD，從而β⊥平面ABCD.)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置關(guān)系為_(kāi)_______答案：平行解析：易知BD∥B1D1，故BD∥平面AB1D1，同理BC1∥平面AB1D1.又BD∩BC1＝B，BD?平面BDC1，BC1?平面BDC1，∴平面AB1D1∥平面BC1D.14．如圖，已知PA垂直于菱形ABCD所在平面，且∠ABC＝60°，PA＝AB，則PC與平面ABCD所成的角為_(kāi)_________．答案：45°解析：如圖，連結(jié)AC，由于四邊形ABCD是菱形且∠ABC＝60°，∴AB＝AC.又∵PA⊥平面ABCD.∴AC為PC在平面ABCD上的射影，即∠PCA為所求角，在Rt△PAC中，由PA＝AB，知PA＝AC，∴∠PCA＝45°.15．半徑為R的球放在墻角，同時(shí)與兩墻面和地面相切，那么球心到墻角頂點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．答案：eq\r(3)R解析：所求距離即球心與球的外切正方體的頂點(diǎn)的距離，也即正方體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半．由于球的半徑為R，故其外切正方體的棱長(zhǎng)為2R，其對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(3)R，球心到正方體頂點(diǎn)的距離為eq\r(3)R.16．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知E、F分別是棱AB、AD的中點(diǎn)．若P為棱CC1上一點(diǎn)，且平面A1EF⊥平面EFP，則CP＝________答案：eq\f(3,8)解析：連接AC交EF于O點(diǎn)，連接A1O，OP，顯然A1E＝A1F，PE＝PF，∴A1O⊥EF，PO⊥EF，則∠A1OP為二面角A1－EF－P的平面角，若平面A1EF⊥平面EFP，則∠A1OP＝90°，設(shè)CP＝x，C1P＝1－x.在Rt△A1OP中，A1O＝eq\r(1＋\f(1,4)\r(2)2)＝eq\f(3,2\r(2))，PO＝eq\r(\f(3,4)\r(2)2＋x2)＝eq\r(\f(9,8)＋x2)，A1P＝eq\r(A1C\o\al(2,1)＋C1P2)＝eq\r(2＋1－x2)，∴eq\f(9,8)＋eq\f(9,8)＋x2＝2＋(1－x)2，∴x＝eq\f(3,8).三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．(10分)如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD且AB＝2CD，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)證明：平面C1CF∥平面ADD1A1解：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴AD∥CF，又AD?平面ADD1A1，CF?平面ADD1A∴CF∥平面ADD1A1又CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A∴CC1∥平面ADD1A1又CC1?平面C1CF，CF?平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A118．(12分)如圖，已知三棱錐A－BCD中，側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均相等，E是側(cè)棱AB的中點(diǎn)．求證：(1)AB⊥平面CDE；(2)平面CDE⊥平面ABC.解：(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BC＝AC,AE＝BE))?CE⊥AB，同理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD＝BD,AE＝BE))?DE⊥AB，又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CDE.(2)由(1)知AB⊥平面CDE，又∵AB?平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC.19．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2eq\r(5).(1)求證：BD⊥平面PAD；(2)求三棱錐A－PCD的體積．解：(1)證明：在△ABD中，∵AD＝2，BD＝4，AB＝2eq\r(5)，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.(2)過(guò)P作PO⊥AD交AD于O.又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.∵△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴PO＝eq\r(3).由(1)知，AD⊥BD，在Rt△ABD中，斜邊AB邊上的高為h＝eq\f(AD×BD,AB)＝eq\f(4\r(5),5).∵AB∥DC，∴S△ACD＝eq\f(1,2)CD×h＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\f(4\r(5),5)＝2.∴VA－PCD＝VP－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD×PO＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).20．(12分)某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐P－EFGH(底面為正方形且頂點(diǎn)在底面的射影是正方形中心的四棱錐)，下半部分是長(zhǎng)方體ABCD－EFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識(shí)墩的正(主)視圖和俯視圖．(1)請(qǐng)畫(huà)出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)(左)視圖；(2)求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積；(3)證明：直線BD⊥平面PEG.解：(1)該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)視圖如圖所示．(2)該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為：V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝eq\f(1,3)×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．(3)證明：如圖，由題設(shè)知四邊形ABCD和四邊形EFGH均為正方形，∴FH⊥EG，又∵ABCD－EFGH為長(zhǎng)方體，∴BD∥FH，設(shè)點(diǎn)O是EFGH的對(duì)稱中心，∵P－EFGH是正四棱錐，∴PO⊥平面EFGH，而FH?平面EFGH，∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，F(xiàn)H⊥EG，PO∩EG＝O，PO?平面PEG，EG?平面PEG，∴FH⊥平面PEG.而B(niǎo)D∥FH，故直線BD⊥平面PEG.21.(12分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D⊥B1(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C證明：(1)由E、F分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，知EF∥BC因?yàn)镋F?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D?平面A1B故DD1⊥A1D.又因?yàn)锳1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C?平面所以A1D⊥平面BB1C又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C22．(12分)在正三角形ABC中，E，F(xiàn)，P分別是AB，AC，BC邊上的點(diǎn)，滿足AE：EB＝CF：FA＝CP：PB＝1：2(如圖甲)．將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1—EF—B成直二面角，連接A1B，A1P(如圖乙)．(1)求證：A1E⊥平面BEP；(2)求二面角A1—BP—E的大小．解：不妨設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為3，則(1)證明：在題圖甲中，取BE的中點(diǎn)D，連接DF，∵AE：EB＝CF：FA＝1：2，∴AF＝AD＝2，而