第七章-軸向拉伸與壓縮

軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮返回+

當所有外力均沿桿的軸線方向作用時，桿的橫截面上只有沿軸線方向的一個內(nèi)力分量，這個內(nèi)力分量稱為“軸力”（normalforce）用FN

表示。表示軸力沿桿軸線方向變化的圖形，稱為軸力圖（diagramofnormalforces）。

為了繪制軸力圖，桿件上同一處兩側(cè)橫截面上的軸力必須具有相同的正負號。因此，約定使桿件受拉的軸力為正，受壓的軸力為負。FNFN－軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮

繪制軸力圖的方法與步驟如下：

其次，根據(jù)桿件上作用的載荷以及約束力，軸力圖的分段點：在有集中力作用處即為軸力圖的分段點；

第三，應(yīng)用截面法，用假想截面從控制面處將桿件截開，在截開的截面上，畫出未知軸力，并假設(shè)為正方向；對截開的部分桿件建立平衡方程，確定軸力的大小與正負：產(chǎn)生拉伸變形的軸力為正，產(chǎn)生壓縮變形的軸力為負；

最后，建立FN－x坐標系，將所求得的軸力值標在坐標系中，畫出軸力圖。

首先，確定作用在桿件上的外載荷與約束力；軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮CAB

直桿，A端固定，在B、C兩處作用有集中載荷F1和F2，其中F1＝5kN，F(xiàn)2＝10kN。F1F2llCABllF1F2FA試畫出：桿件的軸力圖。

例題1解：1.確定A處的約束力

A處雖然是固定端約束，但由于桿件只有軸向載荷作用，所以只有一個軸向的約束力FA。求得FA＝5kN由平衡方程

軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮

解：2.確定控制面3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'

、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡。

CABF1F2llCABllF1F2FA

在集中載荷F2、約束力FA作用處的A、C截面，以及集中載荷F1作用點B處的上、下兩側(cè)橫截面都是控制面。

B"B'軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'

、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'CABllF1F2FNA軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'

、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'CBlF1F2B"FNB''

軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力

用假想截面分別從控制面A、B'

、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'FNB'ClF2B'軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'

、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'FNCClF2軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮4.建立FN-x坐標系，畫軸力圖FN-x坐標系中x坐標軸沿著桿件的軸線方向，F(xiàn)N坐標軸垂直于x軸。

將所求得的各控制面上的軸力標在FN-x坐標系中，得到a、b"、b′和c四點。因為在A、B"之間以及B′、C之間，沒有其他外力作用，故這兩段中的軸力分別與A（或B"

）截面以及C（或B′）截面相同。這表明a點與b"點之間以及c點與b′點之間的軸力圖為平行于x軸的直線。于是，得到桿的軸力圖。軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮FN/kNOxCABF1F2llCABllF1F2FNAFNB''

CBlF1F2B"FNB'ClF2B'FNCClF2b"5b'10c105a軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮根據(jù)以上分析，繪制軸力圖的方法確定約束力；

根據(jù)桿件上作用的載荷以及約束力，確定控制面，也就是軸力圖的分段點；

應(yīng)用截面法，用假想截面從控制面處將桿件截開，在截開的截面上，畫出未知軸力，并假設(shè)為正方向；對截開的部分桿件建立平衡方程，確定控制面上的軸力

建立FN－x坐標系，將所求得的軸力值標在坐標系中，畫出軸力圖。

軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮拉、壓桿件橫截面上的應(yīng)力

第5章軸向拉伸與壓縮返回

當外力沿著桿件的軸線作用時，其橫截面上只有軸力一個內(nèi)力分量。與軸力相對應(yīng)，桿件橫截面上將只有正應(yīng)力。拉、壓桿件橫截面上的應(yīng)力

第5章軸向拉伸與壓縮

在很多情形下，桿件在軸力作用下產(chǎn)生均勻的伸長或縮短變形，因此，根據(jù)材料均勻性的假定，桿件橫截面上的應(yīng)力均勻分布，這時橫截面上的正應(yīng)力為

其中FN——橫截面上的軸力，由截面法求得；A——橫截面面積。

拉、壓桿件橫截面上的應(yīng)力

第5章軸向拉伸與壓縮例題2

變截面直桿，ADE段為銅制,EBC段為鋼制；在A、D、B、C等4處承受軸向載荷。已知：ADEB段桿的橫截面面積AAB＝10×102mm2，BC段桿的橫截面面積ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；各段桿的長度如圖中所示，單位為mm。

試求：直桿橫截面上的絕對值最大的正應(yīng)力。拉、壓桿件橫截面上的應(yīng)力

第5章軸向拉伸與壓縮

解：1．

作軸力圖由于直桿上作用有4個軸向載荷，而且AB段與BC段桿橫截面面積不相等，為了確定直桿橫截面上的最大正應(yīng)力和桿的總變形量，必須首先確定各段桿的橫截面上的軸力。

應(yīng)用截面法，可以確定AD、DEB、BC段桿橫截面上的軸力分別為：FNAD＝－2FP＝－120kNFNDE＝FNEB＝－FP＝－60kNFNBC＝FP＝60kN拉、壓桿件橫截面上的應(yīng)力

第5章軸向拉伸與壓縮

2．計算直桿橫截面上絕對值最大的正應(yīng)力

橫截面上絕對值最大的正應(yīng)力將發(fā)生在軸力絕對值最大的橫截面，或者橫截面面積最小的橫截面上。本例中，AD段軸力最大；BC段橫截面面積最小。所以，最大正應(yīng)力將發(fā)生在這兩段桿的橫截面上：

拉、壓桿件橫截面上的應(yīng)力

第5章軸向拉伸與壓縮例題3

三角架結(jié)構(gòu)尺寸及受力如圖所示。其中FP＝22.2kN；鋼桿BD的直徑dl＝25．4mm；鋼梁CD的橫截面面積A2＝2.32×103mm2。

試求：桿BD與CD的橫截面上的正應(yīng)力。拉、壓桿件橫截面上的應(yīng)力

第5章軸向拉伸與壓縮

首先對組成三角架結(jié)構(gòu)的構(gòu)件作受力分析，因為B、C、D三處均為銷釘連接，故BD與CD均為二力構(gòu)件。由平衡方程

解：1．受力分析，確定各桿的軸力拉、壓桿件橫截面上的應(yīng)力

第5章軸向拉伸與壓縮其中負號表示壓力。

解：1．受力分析，確定各桿的軸力2．計算各桿的應(yīng)力應(yīng)用拉、壓桿件橫截面上的正應(yīng)力公式，BD桿與CD桿橫截面上的正應(yīng)力分別為：拉、壓桿件橫截面上的應(yīng)力

第5章軸向拉伸與壓縮拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮返回

強度條件、安全因數(shù)與許用應(yīng)力

三類強度計算問題

應(yīng)用舉例拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

強度條件、安全因數(shù)與許用應(yīng)力拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

所謂強度設(shè)計(strengthdesign)是指將桿件中的最大應(yīng)力限制在允許的范圍內(nèi)，以保證桿件正常工作，不僅不發(fā)生強度失效，而且還要具有一定的安全裕度。對于拉伸與壓縮桿件，也就是桿件中的最大正應(yīng)力滿足：這一表達式稱為拉伸與壓縮桿件的強度條件

，又稱為強度設(shè)計準則(criterionforstrengthdesign)

。其中[σ]稱為許用應(yīng)力(allowablestress)，與桿件的材料力學(xué)性能以及工程對桿件安全裕度的要求有關(guān)，由下式確定式中為材料的極限應(yīng)力或危險應(yīng)力(criticalstress)，由材料的拉伸實驗確定；n為安全因數(shù)，對于不同的機器或結(jié)構(gòu)，在相應(yīng)的設(shè)計規(guī)范中都有不同的規(guī)定。

拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

強度計算的依據(jù)是強度條件或強度設(shè)計準則。據(jù)此，可以解決三類強度問題。拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

三類強度計算問題拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

強度校核已知桿件的幾何尺寸、受力大小以及許用應(yīng)力，校核桿件或結(jié)構(gòu)的強度是否安全，也就是驗證是否符合設(shè)計準則。如果符合，則桿件或結(jié)構(gòu)的強度是安全的；否則，是不安全的。

?拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

強度設(shè)計已知桿件的受力大小以及許用應(yīng)力，根據(jù)設(shè)計準則，計算所需要的桿件橫截面面積，進而設(shè)計處出合理的橫截面尺寸。

式中N和A分別為產(chǎn)生最大正應(yīng)力的橫截面上的軸力和面積。

拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

確定許可載荷(allowableload)

根據(jù)設(shè)計準則，確定桿件或結(jié)構(gòu)所能承受的最大軸力，進而求得所能承受的外加載荷。式中FP為許用載荷。拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

應(yīng)用舉例拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

螺紋內(nèi)徑d＝15mm的螺栓，緊固時所承受的預(yù)緊力為FP＝20kN。若已知螺栓的許用應(yīng)力σ

＝150MPa，

試：校核螺栓的強度是否安全。

例題4

解：1．

確定螺栓所受軸力

應(yīng)用截面法，很容易求得螺栓所受的軸力即為預(yù)緊力：

N＝FP＝20kN

2．

計算螺栓橫截面上的正應(yīng)力

根據(jù)拉伸與壓縮桿件橫截面上的正應(yīng)力公式，螺栓在預(yù)緊力作用下，橫截面上的正應(yīng)力拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

3

．應(yīng)用強度條件進行強度校核

已知許用應(yīng)力σ

＝150MPa，而上述計算結(jié)果表明螺栓橫截面上的實際應(yīng)力所以，螺栓的強度是安全的。拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮例題5

可以繞鉛垂軸OO1旋轉(zhuǎn)的吊車中斜拉桿AC由兩根50mm×50mm×5mm的等邊角鋼組成，水平橫梁AB由兩根10號槽鋼組成。AC桿和AB梁的材料都是Q235鋼，許用應(yīng)力σ

＝150MPa。當行走小車位于A點時(小車的兩個輪子之間的距離很小，小車作用在橫梁上的力可以看作是作用在A點的集中力)，桿和梁的自重忽略不計。

求：允許的最大起吊重量FW（包括行走小車和電動機的自重）。拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

解：1．受力分析

因為所要求的是小車在A點時所能起吊的最大重量，這種情形下，AB梁與AC兩桿的兩端都可以簡化為鉸鏈連接。因而，可以得到吊車的計算模型。其中AB和AC都是二力桿，二者分別承受壓縮和拉伸。FW拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

解：2．確定二桿的軸力

以節(jié)點A為研究對象，并設(shè)AB和AC桿的軸力均為正方向，分別為FN1和FN2。根據(jù)節(jié)點A的受力圖，由平衡條件

FWFW拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

解：3．

確定最大起吊重量

對于AB桿，由型鋼表查得單根10號槽鋼的橫截面面積為12.74cm2，注意到AB桿由兩根槽鋼組成，因此，桿橫截面上的正應(yīng)力

將其代入強度設(shè)計準則，得到

拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

解：3．

確定最大起吊重量由此解出保證AB桿強度安全所能承受的最大起吊重量拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮將其代入強度設(shè)計準則，得到

由此解出保證AC桿強度安全所能承受的最大起吊重量對于AC桿

解：3．

確定最大起吊重量拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

解：3．

確定最大起吊重量

為保證整個吊車結(jié)構(gòu)的強度安全，吊車所能起吊的最大重量，應(yīng)取上述FW1和FW2中較小者。于是，吊車的最大起吊重量:

FW＝57.6kN

拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮

4．本例討論其中A1為單根槽鋼的橫截面面積。

根據(jù)以上分析，在最大起吊重量FW＝57.6kN的情形下，顯然AB桿的強度尚有富裕。因此，為了節(jié)省材料，同時還可以減輕吊車結(jié)構(gòu)的重量，可以重新設(shè)計AB桿的橫截面尺寸。根據(jù)強度設(shè)計準則，有

拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮其中A1為單根槽鋼的橫截面面積。

4．本例討論由型鋼表可以查得，5號槽鋼即可滿足這一要求。

這種設(shè)計實際上是一種等強度的設(shè)計，是在保證構(gòu)件與結(jié)構(gòu)安全的前提下，最經(jīng)濟合理的設(shè)計。

拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮拉、壓桿件的變形分析

第5章軸向拉伸與壓縮返回例題6

變截面直桿，ADE段為銅制,EBC段為鋼制；在A、D、B、C等4處承受軸向載荷。已知：ADEB段桿的橫截面面積AAB＝10×102mm2，BC段桿的橫截面面積ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；銅的彈性模量Ec＝100GPa，鋼的彈性模量Es＝210GPa；各段桿的長度如圖中所示，單位為mm。

試求：直桿的總變形量。

拉、壓桿件的變形分析

第5章軸向拉伸與壓縮

解：1．

作軸力圖由于直桿上作用有4個軸向載荷，而且AB段與BC段桿橫截面面積不相等，為了確定直桿橫截面上的最大正應(yīng)力和桿的總變形量，必須首先確定各段桿的橫截面上的軸力。

應(yīng)用截面法，可以確定AD、DEB、BC段桿橫截面上的軸力分別為：FNAD＝－2FP＝－120kN；

FNDE＝FNEB＝－FP＝－60kN；

FNBC＝FP＝60kN。拉、壓桿件的變形分析

第5章軸向拉伸與壓縮2．計算直桿的總變形量

直桿的總變形量等于各段桿變形量的代數(shù)和。

：

在上述計算中，DE和EB段桿的橫截面面積以及軸力雖然都相同，但由于材料不同，所以需要分段計算變形量。

拉、壓桿件的變形分析

第5章軸向拉伸與壓縮

拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能

第5章軸向拉伸與壓縮返回

通過拉伸與壓縮實驗，可以測得材料在軸向載荷作用下，從開始受力到最后破壞的全過程中應(yīng)力和變形之間的關(guān)系曲線，稱為應(yīng)力－應(yīng)變曲線。應(yīng)力－應(yīng)變曲線全面描述了材料從開始受力到最后破壞過程中的力學(xué)行為。由此即可確定不同材料發(fā)生強度失效時的應(yīng)力值（稱為強度指標）和表征材料塑性變形能力的韌性指標。拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能

第5章軸向拉伸與壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線

極限應(yīng)力值——強度指標

韌性指標

結(jié)論與討論

彈性力學(xué)性能

單向壓縮時材料的力學(xué)行為拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能

第5章軸向拉伸與壓縮

彈性力學(xué)性能

拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能

第5章軸向拉伸與壓縮比例極限與彈性極限

應(yīng)力-應(yīng)變曲線上線性彈性區(qū)段的應(yīng)力最高限稱為比例極限(proportionallimit)，用σp表示。拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能

第5章軸向拉伸與壓縮比例極限與彈性極限

線性彈性階段