第十章應(yīng)力和應(yīng)變分析、強(qiáng)度理論

第十章應(yīng)力和應(yīng)變分析、強(qiáng)度理論1低碳鋼塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？鑄鐵1、問(wèn)題的提出10.1

應(yīng)力狀態(tài)概述2脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)為什么沿45o螺旋面斷開(kāi)？低碳鋼鑄鐵10.1

應(yīng)力狀態(tài)概述3FlaS13S平面zMzT4321yx目錄10.1

應(yīng)力狀態(tài)概述4yxz單元體上沒(méi)有切應(yīng)力的面稱(chēng)為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力，分別用表示，并且該單元體稱(chēng)為主應(yīng)力單元。10.1

應(yīng)力狀態(tài)概述5空間（三向）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：一個(gè)主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)：兩個(gè)主應(yīng)力為零10.1

應(yīng)力狀態(tài)概述6xyα一.斜截面上的應(yīng)力dAαnt

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法1.在微元體上取斜截面α7xya2.正負(fù)號(hào)規(guī)則正應(yīng)力：拉為正；反之為負(fù)切應(yīng)力：使微元順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。α角：由x軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時(shí)為正；反之為負(fù)。αntx

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法83.列平衡方程推導(dǎo)公式dAαnt

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法9利用切應(yīng)力雙生互等定理，即τxy=τyx，經(jīng)整理后得

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法10利用三角函數(shù)公式并注意到化簡(jiǎn)得

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法11因?yàn)樗?.兩個(gè)重要結(jié)論

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法12因?yàn)樗?/p>

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法13結(jié)論（1）表示任意兩個(gè)相互垂直微面上的正應(yīng)力之和保持不變；結(jié)論（2）表示任意兩個(gè)相互垂直微面上的切應(yīng)力在數(shù)值上相等，即切應(yīng)力互等定理。

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法14二.應(yīng)力圓將斜截面上應(yīng)力公式可以看出這個(gè)方程恰好表示一個(gè)圓，這個(gè)圓稱(chēng)為應(yīng)力圓改寫(xiě)為

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法15RC1.應(yīng)力圓：

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法162.應(yīng)力圓的畫(huà)法D(sx,txy)E(sy,tyx)cRxy（1）建立坐標(biāo)系：以σ為橫軸，τ為縱軸（2）圓心C坐標(biāo)：（3）以圓半徑R作圓

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法17點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。3、幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系E(sy,tyx)xyD(sx,txy)c

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法18圓上任意一點(diǎn)H的坐標(biāo)—代表平面單元體上任意斜面α的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα；圓上D點(diǎn)的坐標(biāo)—代表平面單元體上x(chóng)面（α=00）上的正應(yīng)力σx和切應(yīng)力τxy；圓上E點(diǎn)的坐標(biāo)—代表平面單元體上y面（α=900）上的正應(yīng)力σy和切應(yīng)力τyx；

很明顯H點(diǎn)是D點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α圓心角而至，所以應(yīng)力圓上的點(diǎn)與α截面上的應(yīng)力有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。xyD(sx,txy)cE(sy,tyx)

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法19由上面分析可知，單元體上夾角為β的任意兩個(gè)斜面上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)于應(yīng)力圓上圓心角之差為2β的圓周上的兩個(gè)點(diǎn)

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法201、解析法：確定正應(yīng)力極值設(shè)α＝α0

時(shí)，上式值為零，即三.主應(yīng)力和主平面即α＝α0

時(shí)，切應(yīng)力為零

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法21由上式可以確定出兩個(gè)相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。所以，最大和最小正應(yīng)力分別為：主應(yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法222、圖解法：確定正應(yīng)力極值從圓上D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α0角度到A點(diǎn)、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（1800-2α0）角度到B點(diǎn)，得到應(yīng)力圓與橫軸的兩個(gè)交點(diǎn)，注意A、B兩點(diǎn)的切應(yīng)力為零，正應(yīng)力分別取最大值和最小值，即：xyD(sx,txy)cE(sy,tyx)AB

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法233、有關(guān)說(shuō)明：如果將平面應(yīng)力單元看參成是三維應(yīng)力單元的特例（σz=0），結(jié)合本章開(kāi)始時(shí)的討論，主應(yīng)力以它們的數(shù)值大小排序（σmin＞0），有σ1=σmax，σ2=σmin，σ3=σz=0；若（σmin＜0），則有σ1=σmax，σ2=σz=0

，σ3=σmin。三個(gè)主應(yīng)力所在的平面成稱(chēng)為主平面，主平面是相互垂直的；僅有主應(yīng)力的應(yīng)力單元稱(chēng)為主單元體；X截面（D點(diǎn)）與σ1所在平面（A點(diǎn)）的夾角α0決定了主平面的方位；負(fù)號(hào)表示由D點(diǎn)順時(shí)針旋到A點(diǎn)

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法244、切應(yīng)力的極值：應(yīng)力圓的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)就是最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力所在的微面，其上的正應(yīng)力都是（σx+σy)/2,切應(yīng)力之值就是應(yīng)力圓的半徑，即最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力所在的平面與x截面的夾角為450，與主平面的夾角為（α0

±450

）5、解析法與圖解法的比較：解析法不如圖解法直觀

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法25試求（1）斜面上的應(yīng)力；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題1：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法26解：（1）斜面上的應(yīng)力

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法27（2）主應(yīng)力、主平面

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法28主平面的方位：代入表達(dá)式可知主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法29（3）主應(yīng)力單元體：

10.3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法301.定義三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)

三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介31由三向應(yīng)力圓可以看出：結(jié)論：代表單元體任意斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)，必定在三個(gè)應(yīng)力圓圓周上或圓內(nèi)。2130

三向應(yīng)力狀態(tài)321.基本變形時(shí)的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形2）純剪切胡克定律

10.4

廣義胡克定律332、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法

10.4廣義胡克定律34

10.4廣義胡克定律

若主應(yīng)變用實(shí)測(cè)方法測(cè)出后，即可用上述三式求得主應(yīng)力。353、廣義胡克定律的一般形式

10.4廣義胡克定律

若應(yīng)變?chǔ)舩、εy、εz用實(shí)測(cè)方法測(cè)出后，即可用上述三式求得正應(yīng)力σx、σy、σz

。364、廣義胡克定律的一般形式——平面應(yīng)力狀態(tài)

10.4廣義胡克定律

雖然σz

=0（平面應(yīng)力），但εz≠0，由上式解出應(yīng)力分量σx、σy。374、廣義胡克定律的一般形式——平面應(yīng)力狀態(tài)

10.4廣義胡克定律若實(shí)測(cè)出應(yīng)變?chǔ)舩、εy，即可用上述三式求得正應(yīng)力σx、σy，進(jìn)而求出主應(yīng)力。3810.5強(qiáng)度理論概述（拉壓）（彎曲）（正應(yīng)力強(qiáng)度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應(yīng)力強(qiáng)度條件）1.桿件基本變形下的強(qiáng)度條件概述39滿足是否強(qiáng)度就沒(méi)有問(wèn)題了？40強(qiáng)度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過(guò)判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說(shuō)，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，不斷完善，在一定范圍與實(shí)際相符合，上升為理論。為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計(jì)算方法。41構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式

(1)脆性斷裂：材料無(wú)明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論：最大切應(yīng)力理論和畸變能密度理論（形狀改變比能理論）

(2)塑性屈服（流動(dòng)）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關(guān)于斷裂的強(qiáng)度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論42一、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）材料發(fā)生斷裂的主要因素是最大拉應(yīng)力達(dá)到極限值－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力－極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得10.6四種常用強(qiáng)度理論（σ1＞0）43斷裂條件強(qiáng)度條件一、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)44一、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）適用條件：（1）脆性材料在任何應(yīng)力狀態(tài)下；（2）若存在壓應(yīng)力，當(dāng)最大壓應(yīng)力小于最大拉應(yīng)力時(shí)，該理論適用；（3）塑性材料在三向（或接近三向）等拉應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的場(chǎng)合。45二、最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)變（線變形）達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的破壞伸長(zhǎng)應(yīng)變數(shù)值。－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變－極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得（ε1＞0）（單向拉伸）46實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。強(qiáng)度條件斷裂條件即二、最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）47二、最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）適用條件：（1）脆性材料在單向壓縮時(shí)沿縱向開(kāi)裂的脆性斷裂；（2）一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料；（3）二向或三向受拉時(shí)，此理論與實(shí)際情況不符，不能適用；48無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。三、最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力－極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得（單向拉伸）49屈服條件強(qiáng)度條件三、最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)50實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實(shí)。局限性：

2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象，1、未考慮的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)15%。三、最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）51無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的最大形狀改變比能達(dá)到一個(gè)極限值。四、畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的畸變能密度－畸變能密度的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得（單向拉伸）52屈服條件強(qiáng)度條件實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。四、畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）53五、莫爾（Mohr)強(qiáng)度理論

該理論是以各種應(yīng)力狀態(tài)下材料的破