第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子2.2LTI系統(tǒng)的算子符號表示與傳輸算子2.3LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.4LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.5卷積及其性質(zhì)2.6LTI因果系統(tǒng)的全響應(yīng)及其分解2.1LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子2.1.1建立LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有兩類建立系統(tǒng)模型的方法，一是輸入輸出描述法，二是狀態(tài)變量描述法。本章只討論輸入輸出描述法。用這種描述法，連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程；離散時間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性差分方程（將在第五章討論）。由具體電路模型可以討論系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立。圖2.1-1RLC串聯(lián)電路例2.1-1如圖2.1-1所示的RLC串聯(lián)電路，e(t)為激勵信號，響應(yīng)為i(t)，試寫出其微分方程。解這是有兩個獨立動態(tài)元件的二階系統(tǒng)，利用KVL定理列回路方程，可得上式是一個微、積分方程，對方程兩邊求導(dǎo)，并代入系數(shù)，整理為這是二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——二階線性微分方程。一般有n個獨立的動態(tài)元件組成的系統(tǒng)就是n階系統(tǒng)(或n個一次線性微分方程組)。一般電路系統(tǒng)的階數(shù)等于獨立的uC(t)與iL(t)的個數(shù)之和，其中獨立的uC(t)不能用其它uC(t)(可含電源)表示；獨立的iL(t)不能用其它iL(t)(可含電源)表示。例2.1-2如圖2.1-2所示電路，判斷系統(tǒng)階數(shù)。圖2.1-2例2.1-2電路解(1)R1i1(t)+uC1(t)+uC2(t)=e(t)，uC2(t)=uR2(t)，有兩個獨立的uC(t)，所以該系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。(2)uC1(t)=uC2(t)+uC3(t)，是通過其它uC(t)表示的，是非獨立的uC(t)；但uC2(t)≠uC3(t)，有兩個獨立的uC(t)，所以該系統(tǒng)也是二階系統(tǒng)。2.1.2系統(tǒng)微分方程求解——經(jīng)典法一般n階LTI系統(tǒng)的微分方程為初始條件為{y(0+),y′(0+),…,yn-1(0+)}。由上式可得系統(tǒng)的特征方程為αn+a1αn-1+...+an-1α+an=0

(α-α1)(α-α2)...(α-αn)=0

(2.1-1)由特征方程可求得特征根。假設(shè)特征根均為單根α1、α2、...、αn，由其得到通解yh(t)的一般形式(2.1-2)式中αi為特征根。微分方程特解的形式與激勵形式相同，如表2-1所示，代入原方程中得到具體系數(shù)。微分方程的解由通解與特解兩部分組成，即完全解為(2.1-3)由n個初始條件{y(0+),y′(0+),...,yn-1(0+)}確定n個Ci系數(shù)。這種由通解與特解求解系統(tǒng)響應(yīng)的方法稱為經(jīng)典法，注意到“高等數(shù)學(xué)”給出的初始條件一般是全響應(yīng)(第一類)標準初始條件{y(0+),y′(0+),...,yn-1(0+)}。用經(jīng)典法求解線性微分方程是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，本書不再詳述。表2-1典型激勵對應(yīng)的特解2.2LTI系統(tǒng)的算子符號表示與傳輸算子2.2.1用算子符號表示微分方程n階LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n階常系數(shù)線性微分方程。式(1.6-6)給出n階線性微分方程的一般形式書寫起來不方便，為了形式上簡潔，可以將微、積分方程中的微、積分運算用算子符號p與1/p表示，由此得到的方程稱為算子方程。

微分算子(2.2-1)

(2.2-2)積分算子(2.2-3)這樣，例2.1-1電路的微分方程可以表示為p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t)式(1.6-6)的n階線性微分方程可以用算子表示為

a0pny(t)+a1pn-1y(t)+...+an-1

py(t)+any(t)

=b0pmf(t)+b1pm-1f(t)+...+bm-1

pf(t)+bmf(t)

(2.2-4)式(2.2-4)是算子方程。算子方程中的每一項表示的是運算關(guān)系，而不是代數(shù)運算。模仿代數(shù)運算，還可以將上式簡化為(a0pn+a1pn-1+...+an-1p+an)y(t)

=(b0pm+b1pm-1+...+bm-1p+bm)f(t)(2.2-5)若再令D(p)=a0pn+a1pn-1+...+an-1p+ao(2.2-6a)N(p)=b0pm+b1pm-1+...+bm-1p+bm

(2.2-6b)則稱D(p)、N(p)為算子多項式，式(2.2-5)可進一步簡寫為D(p)y(t)=N(p)f(t)(2.2-7)式(2.2-7)是n階線性微分方程的算子方程。在這里，我們利用了提取公因子的代數(shù)運算規(guī)則。式(2.2-7)還可以進一步改寫為(2.2-8)式中分母多項式D(p)表示對輸出y(t)的運算關(guān)系，分子多項式N(p)表示對輸入f(t)的運算關(guān)系，而不是兩個多項式相除的簡單代數(shù)關(guān)系。算子表示的是微、積分運算，因此代數(shù)運算規(guī)則不能簡單照套，下面具體討論算子的運算規(guī)則。(1)可進行類似代數(shù)運算的因式分解或因式相乘展開。(p+a)(p+b)x=［p2+(a+b)p+ab］x(2.2-9)證這樣例2.1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)還可以表示為(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)(2)算子方程左、右兩端的算子符號p不能隨便消去。由，解出x=y+C而不是x=y，兩者相差一個任意常數(shù)C，所以不能由px=py得到x=y，即px=py，但x≠y。這一結(jié)論可推廣到一般的算子方程：D(p)x=D(p)y，但x≠y

(3)p、1/p位置不能互換。因為所以(2.2-10)而因此(2.2-11)式(2.2-10)、(2.2-11)分別說明，形式上先“除”后“乘”即先積分后微分的運算次序，算子可消去；形式上先“乘”后“除”即先微分后積分的運算次序，算子不可消去。

2.2.2用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型利用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型比較方便，這種方法簡稱算子法。它是先將電路中所有動態(tài)元件用算子符號表示，得到算子電路；再利用廣義的電路定律，建立系統(tǒng)的算子方程；最后將算子方程轉(zhuǎn)換為微分方程。電感的算子表示可由其電壓電流關(guān)系得到，因為(2.2-12)式中,Lp是電感算子符號，可以理解為廣義的電感感抗值，式(2.2-12)可以理解為廣義歐姆定律。同理，由電容上的電壓電流關(guān)系得到(2.2-13)式中,

1/Cp是電容算子符號，可以理解為廣義的電容容抗值，式(2.2-13)也可以理解為廣義歐姆定律。將動態(tài)元件用算子符號表示，可以得到算子電路。下面舉例說明由算子電路列寫系統(tǒng)的微分方程的方法。圖2.2-1例2.2-1的算子電路例2.2-1如圖2.2-1所示RLC串聯(lián)電路，輸入為e(t)，輸出為電流i(t),用算子法列出算子方程與微分方程。解

將圖2.2-1中的電感、電容用算子符號表示，得到算子電路如圖2.2-2所示，利用廣義的KVL,列出算子方程式兩邊同時作微分運算（“前乘”p），得算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)由上面的算子方程寫出微分方程為結(jié)果與例2.1-1相同。例2.2-2

如圖2.2-2(a)電路，f(t)為激勵信號，響應(yīng)為i2(t)，試用算子法求其算子方程與微分方程。解將圖2.2-2(a)中的電感用算子符號表示如圖2.2-2(b)所示，利用廣義網(wǎng)孔法列出兩個算子方程(3p+1)i1(t)-pi2(t)=f(t)

-pi1(t)+(p+3)i2(t)=0

利用克萊姆法則，解出由式(2.2-6)與(2.2-7)，可寫成(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)微分方程為也可以寫成y″(t)+5y′(t)+1.5y(t)=0.5f′(t)圖2.2-2例2.2-2電路與算子電路

例2.2-3如圖2.2-3(a)所示電路輸入為e(t)，輸出為i1(t)、i2(t)，用算子法求其算子方程與微分方程。已知L1=1H，L2=2H，R1=2Ω，R2=1Ω，C=1F。圖2.2-3例2.2-3電路與算子電路解將圖2.2-3中的電感、電容分別用算子符號表示如圖2.2-3(b)所示，利用廣義網(wǎng)孔法,列算子方程組為避免在運算過程中出現(xiàn)p/p因子，可先在上面的方程組兩邊同時作微分運算,即“前乘”p（當(dāng)分子分母同時出現(xiàn)p時可約），得到

(p2+2p+1)i1(t)-i2(t)=pe(t)

-i1(t)+(2p2+p+1)i2(t)=0

利用克萊姆法則，解出由式(2.2-6)與(2.2-7)，可得(2p3+5p2+5p+3)i1(t)=(2p2+p+1)e(t)微分方程為用相同的方法，可以得到微分方程為2.2.3傳輸（轉(zhuǎn)移）算子H(p)

由式(2.2-8)有我們定義傳輸（轉(zhuǎn)移）算子H(p)為(2.2-14)這樣，系統(tǒng)的輸出可以表示為y(t)=H(p)f(t)(2.2-15)例2.2-4求例2.2-1激勵為e(t)，響應(yīng)為i(t)的系統(tǒng)傳輸算子H(p)。

解

例2.2-1的算子方程為(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)則由

得到

例2.2-5求例2.2-2激勵為f(t)，響應(yīng)為i2(t)的系統(tǒng)傳輸算子H(p)。

解

例2.2-2的算子方程為(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)則由得到例2.2-6求例2.2-3激勵為f(t)，響應(yīng)為i1(t)時的系統(tǒng)傳輸算子H1(p)；激勵為f(t)，響應(yīng)為i2(t)時的系統(tǒng)傳輸算子H2(p)。

解

由可得我們注意到此例H1(p)與H2(p)的分母多項式相同。由H(p)的定義，不難看出系統(tǒng)傳輸算子的分母多項式是系統(tǒng)的特征多項式。它僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，與激勵以及激勵加入的端口無關(guān)。所以同一系統(tǒng)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)一定，無論激勵以及激勵加入的端口如何改變，其傳輸算子的分母多項式都不會改變。2.3LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.3.1零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)與激勵無關(guān)，其數(shù)學(xué)模型是齊次微分方程。將f(t)=0，代入式(2.2-7)的算子方程，得到D(p)y(t)=0(2.3-1)式(1.9-1)中D(p)是系統(tǒng)的特征多項式，D(p)=0是系統(tǒng)的特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，稱為系統(tǒng)的特征根。首先討論一階齊次微分方程的一般情況，再討論二階齊次微分方程的一般情況，最后是n階齊次微分方程的一般情況。一階齊次微分方程為

(p-λ)y(t)=0

y(0-)

(2.3-2)由系統(tǒng)的特征方程p-λ=0，得特征根p=λ，其解（零輸入響應(yīng)）的一般形式為y(t)=y(0-)eλt

t>0

(2.3-3)由式(2.3-3)可知，此時解的一般模式取決于特征根λ，而解的系數(shù)由初始條件確定。二階齊次微分方程的一般算子形式為

(p2+a1p+a0)y(t)=0

y(0-),y′(0-)

(2.3-4)由p2+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)=0，得到二階系統(tǒng)的兩個特征根λ1、λ2。與一階齊次微分方程相同，二階齊次微分方程解的模式取決于兩個特征根λ1、λ2，其表達式為

(2.3-5)式中,系數(shù)C1、C2由兩個初始條件y(0-)、y′(0-)確定。y(0-)=C1+C2

y′(0-)=λ1C1+λ2C2

(2.3-6)解此方程組，求出C1、C2，從而確定了二階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。以上是二階系統(tǒng)特征根不同的情況，如果p2+a1p+a0=(p-λ)2=0，特征根相同，則是二階重根，此時二階齊次微分方程解的形式為y(t)=C1eλt+C2teλt

t>0(2.3-7)系數(shù)C1、C2仍由兩個初始條件y(0-),y′(0-)確定y(0-)=C1

y′(0-)=λC1+C2

n階齊次微分方程的算子形式為(pn+an-1pn-1+...+a1p+a0)y(t)=0

y(0),y′(0)y″(0),...,yn-1(0)

(2.3-8)式中，y(0),y′(0),y″(0),…，yn-1(0)為第二類標準初始條件。由特征方程D(p)=pn+an-1pn-1+...+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)...(p-λn)=0

得到n個特征根λ1、

λ2、

...、λn，n階齊次方程解的模式取決于這n個特征根，表達式為(2.3-9)n個系數(shù)C1、C2、...、Cn由n個初始條件y(0)、y′(0)y″(0)、...、yn-1(0)確定。y(0)=C1+C2+...+Cn

y′(0)=λ1C1+λ2C2+...+λnCn…

yn-1(0)=λ1n-1C1+λ2n-1

C2+...+λnn-1Cn

(2.3-10)式(2.3-10)可用矩陣形式表示為(2.3-11)常數(shù)C1、...、Cn可用克萊姆法則解得，或用逆矩陣表示為例2.3-1已知系統(tǒng)的傳輸算子H(p)=

2p/(p+3)(p+4)

，初始條件yzi(0)=1，

，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

解

特征根λ1=-3,λ2=-4由式(2.3-8)，零輸入響應(yīng)形式為yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t

t>0將特征根及初始條件y(0)=1，y′(0)=2代入式(2.3-6)

1=C1+C2

2=-3C1-4C2

解出C1=6

C2=-5

yzi(t)=6e-3t-5e-4t

t>0例2.3-2已知電路如圖2.3-1所示，開關(guān)K在t=0時閉合，初始條件i2(0-)=0，i′2(0-)=-1A/s。求零輸入響應(yīng)i2(t)。解

先求e(t)→i2(t)時的H(p)

(p+1)i1-i2=e(t)

-pi1+(p+1)i2=0

圖2.3-1例2.3-2電路解出代入初始條件2.3.2初始條件標準化第一類標準初始條件y(0+)、y′(0+)、...、yn-1(0+)是全響應(yīng)初始條件。它包含兩部分：標準零輸入初始條件yzi(0+)、y′zi(0+)、...、yn-1zi(0+)，以及標準零狀態(tài)初始條件yzs(0+)、y′zs(0+)、...、yn-1zs(0+)。利用電容電壓及電感電流一般不會突變，即

iL(0-)=iL(0+)、vC(0-)=vC(0+)，以及具體電路方程，可將系統(tǒng)的非標準初始條件轉(zhuǎn)變?yōu)闃藴驶跏紬l件。下面舉例說明如何將初始條件標準化。圖2.3-2例2.3-3電路例2.3-3

已知電路如圖2.3-2，且iL(0-)=1A，vC(0-)=10V，求izi(t)。解D(p)=(p+2)(p+3),λ1=-2,λ2=-3

izi(t)=C1e-2t+C2e-3t

t>0標準初始條件應(yīng)為izi(0+)與izi′(0+)，這需要將非標準的初始條件iL(0-)=1A，vC(0-)=10V標準化，即要將iL(0-)、vC(0-)轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆憫?yīng)的初始條件i(0+)、i′(0+)。因為i(t)=iL(t)，并且電感電流一般不會突變，所以有iL(0-)=iL(0+)=i(0+)=1A；而i′(0+)就要由0+電路解出，列0+電路方程為令t=0+代入上式，得5i(0+)+i′(0+)+vC(0+)=0

將vC(0-)=vC(0+)，且f(t)=0代入上式，有5+10+i′(0+)=0由上式解得標準初始條件為i(0+)=1A及

i′(0+)=-15A/s，解出代入izi(t)得到

izi(t)=-12e-2t+13e-3t

t>0圖2.3-3例2.3-4電路例2.3-4

電路如圖2.3-3所示，已知iL(0-)=1A，vC(0-)=1V，求i2zi(0+)，i′2zi(0+),i2zi(t)。

解

此題也有非標準化初始條件轉(zhuǎn)化為標準化初始條件的問題。由回路方程組：將e(t)=0、t=0+、i1=iL以及R、L、C參數(shù)值代入，得到i′1

(0+)+i1(0+)-i2(0+)=0(A)

-i1(0+)+i2(0+)+vC(0+)=0(B)

由式(A)，i2(0+)=i1(0+)-vC(0+)=0,代入式(B)i′1

(0+)+i1(0+)=0i′1

(0+)=-i1(0+)=-1A/s對式(B)求導(dǎo)-i′1

(0+)+i′2

(0+)+v′C

(0+)=0因為

，代入上式得到標準化初始條件：，與例2.3-2的標準化初始條件相同，解得結(jié)果相同，不再重復(fù)。例2.3-5電路如圖2.3-4(a)所示，開關(guān)在t=0時，由“1”到“2”。求i(0)，i′(0)及電流i(t)的零輸入響應(yīng)。解圖2.3-4(a)是有兩個動態(tài)元件的二階系統(tǒng)，其中圖2.3-4例2.3-5電路換路后的算子電路如圖2.3-4(b)所示。列網(wǎng)孔算子方程整理將i1(t)=i(t)代入上式，解得因是二階系統(tǒng)，所以因為所給出的是非標準初始條件，所以要將非標準初始條件轉(zhuǎn)化為標準初始條件。初始值等效電路如圖2.3-5所示（電容相當(dāng)于短路，電感相當(dāng)于開路）。圖2.3-5例2.3-5零輸入等效電路由圖2.3-5可得所以由izi(0+)=C1+C2=-1.2

i′zi

(0+)=-2C1-5C2=2

解出最后

以上初始條件標準化是電容電壓及電感電流不會突變的一般情況，對電容電壓及電感電流有突變（電容電流或電感電壓有沖激信號時）的特例，可利用電荷守恒與磁鏈守恒定理進行標準化的工作，有興趣的讀者可參閱有關(guān)書籍。2.4LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

2.4.1單位沖激響應(yīng)h(t)

輸入為單位沖激信號δ(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)，如圖2.4-1所示。h(t)由傳輸算子表示為h(t)=H(p)δ(t)

(2.4-1a)

或記為δ(t)→h(t)(2.4-1b)圖2.4-1單位沖激響應(yīng)n階線性系統(tǒng)的傳輸算子為(2.4-2)為分析簡便，更突出求解單位沖激響應(yīng)的基本方法，假設(shè)H(p)的分母多項式D(p)均為單根，將分母多項式D(p)分解，并代入式(2.4-1a)，得到將其展開為部分分式之和(2.4-3a)(2.4-3b)式中(2.4-3c)式(2.4-3b)中的系數(shù)k1~kn由待定系數(shù)法確定，上式表明一個n階系統(tǒng)可以分解為n個一階子系統(tǒng)之和。首先討論一階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的一般表示，再將結(jié)果推廣至高階系統(tǒng)。式(2.4-3c)是一階子系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的算子表示。由式(2.4-3c)，分別得到一階系統(tǒng)的算子方程及微分方程為對式(2.4-4b)的微分方程求解，先在式(2.4-4b)的等式兩邊同時乘以

(2.4-4a)(2.4-4b)得到了hi(t)

的全微分，即對上式兩邊同時積分由于因果系統(tǒng)的hi(0-)=0，因此一階子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的一般項為(2.4-5)代入式(2.4-3b)，得到n階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為(2.4-6)例2.4-1求例2.2-2系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)。

解

例2.2-2的傳輸函數(shù)由待定系數(shù)法分解為利用式(2.4-5)，可得

h(t)=(3e-3t-2e-2t)u(t)圖2.4-2例2.4-2電路例2.4-2如圖2.4-2所示電路，輸入為電流源i(t)，輸出為電容電壓vC(t)，試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。

解

由廣義KCL列算子節(jié)點方程表2-2列出了部分H(p)與其對應(yīng)的h(t)，可以直接應(yīng)用。表2-2H(p)所對應(yīng)的h(t)2.4.2系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（儲能）為零時，其響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。利用系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)以及LTI系統(tǒng)的時不變性、比例性以及積分特性，我們可以得到因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。根據(jù)LTI系統(tǒng)的時不變性，當(dāng)輸入移位τ時，δ(t)→h(t)輸出也移位τ，可以得到δ(t-τ)→h(t-τ)(2.4-7)根據(jù)LTI系統(tǒng)的比例性，當(dāng)輸入乘以強度因子f(τ)時，輸出也乘以強度因子f(τ)，又得到f(τ)δ(t-τ)→f(τ)h(t-τ)(2.4-8)最后利用LTI系統(tǒng)的積分特性，若輸入信號是原信號的積分，輸出信號亦是原信號的積分，可以得到式(2.4-9)得到的正是因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。我們注意到，這種求解響應(yīng)的方法與以往求解微分方程不同，故稱之為時域法；又由于式(2.4-9)是數(shù)學(xué)卷積運算的一種形式，因此也稱卷積法。當(dāng)已知f(t)、h(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可用式(2.4-9)的卷積計算。卷積計算時，積分變量為τ，t僅是參變量，計算時按常數(shù)處理。即(2.4-9)卷積計算的具體步驟：第一步是變量轉(zhuǎn)換，將f(t)變?yōu)閒(τ)，h(t)變?yōu)閔(t-τ)；第二步是將f(τ)與h(t-τ)兩個函數(shù)相乘；第三步確定積分上、下限，也就是找到f(τ)h(t-τ)相乘后的非零值區(qū)；最后，對f(τ)h(t-τ)積分得出零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。圖2.4-3例2.4-3電路例2.4-3

如圖2.4-3所示電路，已知激勵f(t)=u(t)，用時域法求i(t)。

解

(pL+R)i(t)=f(t)將f(t)、h(t)代入式(2.4-9)從以上求解過程，可以看到時域法是利用系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，借助卷積積分來完成系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解。2.5卷積及其性質(zhì)

2.5.1卷積卷積積分指的是兩個具有相同自變量t的函數(shù)f1(t)與f2(t)相卷積后成為第三個相同自變量t的函數(shù)y(t)。這個關(guān)系表示為(2.5-1)式(2.5-1)是卷積的一般形式，與2.4節(jié)式(2.4-9)公式比較，若令f1(τ)=f(τ)，f2(t-τ)=h(t-τ)，則變量置換、相乘、積分等運算相同,僅積分限不同。下面說明兩者不同的原因，即當(dāng)f1(t)、f2(t)受到某種限制時，由卷積的一般公式可以得到與式(2.4-9)相同的表示式。設(shè)f1(t)為因果信號，即f1(t)=f1(t)u(t)，而f2(t)不受此限，則有

(2.5-2)再設(shè)f2(t)為因果信號，即f2(t)=f2(t)u(t)，但f1(t)不受此限，則

(2.5-3)最后設(shè)f1(t)、f2(t)均為有始信號，即f1(t)=f1(t)u(t)，f2(t)=f2(t)u(t)，將上面的結(jié)果代入式(2.5-1)，不難得到

此式與式(2.4-9)相同，表明式(2.4-9)正是在因果信號、因果系統(tǒng)條件下卷積公式的特例。

2.5.2任意函數(shù)與δ(t)、u(t)卷積

(1)f(t)*δ(t)=f(t)(2.5-4)

證

從f(t)與δ(t)卷積結(jié)果可知δ(t)是卷積的單位元。(2)f(t)*δ(t-t1)=f(t-t1)(2.5-5)

證

由式(2.5-5)可知，任意函數(shù)與δ(t-t1)卷積，相當(dāng)于該信號通過一個延時（移位）器，如圖2.5-1所示。圖2.5-1(3)(2.5-6)由式(2.5-6)可知，任意函數(shù)與u(t)卷積，相當(dāng)于信號通過一個積分器，如圖2.5-2所示。圖2.5-2

2.5.3卷積的性質(zhì)

1.時移f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0)

=f1(t-t0-t1)*f2(t)

=f1(t)*f2(t-t0-t1)(2.5-7)證令τ-t0=x，代入上式，得同理可證式(2.5-7)的其它形式。當(dāng)f1(t)、f2(t)、f3(t)分別滿足可積條件時，一些代數(shù)性質(zhì)也適合卷積運算。2.交換律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(2.5-8)證（令t-τ=x,dτ=-dt）（再令x=τ）f2(t)*f1(t)也稱為卷積的第二種形式，式(2.5-8)實際應(yīng)用意義如圖2.5-3所示。圖2.5-3交換律的實用定義

3.分配律f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)(2.5-9)證式(2.5-9)實際應(yīng)用意義如圖2.5-4所示。圖2.5-4分配律的實用定義

4.結(jié)合律f1(t)*［f2(t)*f3(t)］=［f1(t)*f2(t)］*f3(t)(2.5-10)證令τ-λ=x，τ=λ+x，dτ=dx，代入上式式(2.5-10)實際應(yīng)用意義如圖2.5-5所示。圖2.5-5結(jié)合律的實用定義

2.5.4卷積的圖解法卷積的圖解法是計算卷積的基本方法，優(yōu)點是可以直觀確定積分限、積分條件，并且作圖方便。圖解法具體步驟為(1)f(t)→f(τ)，函數(shù)圖形不變，僅t→τ。(2)h(t)→h(t-τ)，它包括兩部分運算:①折疊h(t)→h(τ)→h(-τ)；

②移位，t是h(-τ)與h(t-τ)之間的“距離”。(3)將折疊移位后的圖形h(t-τ)與f(τ)相乘。(4)求h(t-τ)與f(τ)相乘后其非零值區(qū)的積分（面積）。舉例說明圖解法的具體應(yīng)用方法。t<0左移t>0右移例2.5-1

f(t)、h(t)如圖2.5-6所示，求y(t)=f(t)*h(t)。圖2.5-6例2.5-1的f(t)、h(t)解具體計算如圖2.5-7所示。圖2.5-7例2.5-1圖解法示意圖圖2.5-7例2.5-1圖解法示意圖2.5.5卷積的微分、積分性質(zhì)與信號的運算相似，卷積也有微分、積分性質(zhì)，但與信號的微分、積分運算有所區(qū)別。(1)微分(2.5-11)證由卷積的第二種形式，同理可證式(2.5-11)表示對兩個函數(shù)的卷積函數(shù)微分，等于對其中一個被積函數(shù)微分后再卷積。(2)積分(2.5-12)證由卷積的第二種形式同理可證式(2.5-12)表示對兩個函數(shù)的卷積函數(shù)積分，等于對其中一個被積函數(shù)積分后再卷積。應(yīng)用類似的推導(dǎo)，可導(dǎo)出卷積的高階導(dǎo)數(shù)和多重積分的運算規(guī)律。(3)微、積分性。若y(t)=f1(t)*f2(t)

則y(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t)(2.5-13)其中,i、j取正整數(shù)時為導(dǎo)數(shù)的階次；i、j取負整數(shù)時為重積分的階次。特別地,(2.5-14)證利用式(2.5-14)的結(jié)果，可由f(t)與h(t)的卷積公式，推出f′(t)與階躍響應(yīng)g(t)的卷積公式，即(2.5-15)式中，g(t)是系統(tǒng)對單位階躍信號的零狀態(tài)響應(yīng)，也簡稱單位階躍響應(yīng)。例2.5-2

f(t)、h(t)如圖2.5-6所示，用微、積分性質(zhì)求y(t)=f(t)*h(t)。f′(t)和g(t)如圖2.5-8所示。圖2.5-8例2.5-2的f′(t)和g(t)y(t)=f(t)*h(t)=f′(t)*g(t)

=E［δ(t-1)-δ(t-2)］*

1/2

(1-e-2t)u(t)

=E/2

(1-e-2(t-1))u(t-1)-E/2

(1-e-2(t-2))u(t-2)

=E/2

(1-e-2(t-1))［u(t-1)-u(t-2)］+E/2(e-2(t-2)-e-2(t-1))u(t-2)

E/2

(1-e-2(t-1))1<t<2