第四章摩擦問題

第四章摩擦

第一節(jié)工程中的摩擦問題現(xiàn)實(shí)生活中，絕對光滑的表面是不存在的，兩物體之間具有相對運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢時(shí)，接觸面之間都有摩擦。特殊情況下，摩擦力可以不計(jì)。摩擦問題的兩重性：有利：制動(dòng)、傳動(dòng)、走路不利：產(chǎn)生阻力、消耗能量、降低效率

按照物體表面相對運(yùn)動(dòng)情況，摩擦可分為滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦?；瑒?dòng)摩擦又分為：

動(dòng)滑動(dòng)摩擦：兩接觸面具有相對滑動(dòng)。靜滑動(dòng)摩擦：兩接觸面具有相對滑動(dòng)趨勢。第七講

第二節(jié)滑動(dòng)摩擦1、定義：兩個(gè)相互接觸的物體，當(dāng)它們之間產(chǎn)生了相對滑動(dòng)或者有相對滑動(dòng)的趨勢，在接觸面之間就產(chǎn)生了阻礙相對滑動(dòng)的阻力，該阻力稱為滑動(dòng)摩擦力。2、滑動(dòng)摩擦力的方向：與被研究對象相對滑動(dòng)或滑動(dòng)趨勢的方向相反。⑴、有相對滑動(dòng)趨勢時(shí)-----靜滑動(dòng)摩擦力Fs：

兩個(gè)相互接觸的物體，所受的運(yùn)動(dòng)方向的外力較小，物體有相對滑動(dòng)趨勢，尚保持相對靜止，此時(shí)接觸面間產(chǎn)生的滑動(dòng)摩擦力，稱為靜摩擦力（Fs).G摩擦力3、滑動(dòng)摩擦力大小的三種情況（三種滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）：x如何確定摩擦力的具體值？注意：

Fs的大小是個(gè)不定值，隨著外力的變化而變化。其方向由外力系的合力方向決定，可以假設(shè)。

Fs=∑Fx且0≤Fs≤FmaxG摩擦力x⑵、臨界平衡狀態(tài)時(shí)-----最大靜滑動(dòng)摩擦力Fmax

：

當(dāng)外力增加到某個(gè)值時(shí)，物體處于將動(dòng)未動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)，這時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大值稱為最大靜摩擦力，以Fmax表示。靜摩擦定律：最大靜摩擦力的大小與法向約束力成正比。Fmax=fsN

其中：fs

稱為靜摩擦系數(shù)⑶、有相對滑動(dòng)時(shí)-----動(dòng)滑動(dòng)摩擦力Fd：

當(dāng)物體接觸面間有相對滑動(dòng)時(shí)，出現(xiàn)的滑動(dòng)摩擦力，稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，它的方向與兩物體間相對滑動(dòng)的方向相反。

Fd=fN

其中：f

稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)。一般情況，f

＜fs

，要求不高時(shí)，f

=fs。G摩擦力x第三節(jié).帶有摩擦的平衡問題

帶有摩擦的平衡問題的解法與平面一般力系的解法基本相同,只是在分析受力時(shí)要考慮摩擦力,并正確地判斷出摩擦力的方向,考慮臨界狀態(tài)并補(bǔ)充摩擦定律.①選取研究對象,作受力圖②考察該物體可能的運(yùn)動(dòng)趨勢,分別考慮每一運(yùn)動(dòng)趨勢,畫出對應(yīng)的摩擦力,③建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,列平衡方程.④在臨界狀態(tài)并補(bǔ)充摩擦定律Fmax=fsN

補(bǔ)充方程的數(shù)目應(yīng)與未知摩擦力的數(shù)目相同

由于摩擦力具有一定的范圍，有摩擦?xí)r平衡問題的解也有一定范圍，而非一個(gè)確定的值例5-1在一個(gè)可調(diào)整傾角上放一物體重為W,接觸面間的摩擦系數(shù)為f,試求物體剛開始下滑時(shí)可調(diào)整斜面的傾角

.

WxyoNFmaxα解:(1).選物體為研究對象.畫受力圖(2).列平衡方程.求未知量

根據(jù)題意此時(shí)摩擦力應(yīng)為Fmax.選取坐標(biāo)軸如圖所示,列平衡方程(3).分析討論

傾角僅僅與摩擦系數(shù)f有關(guān),而與被測物體的重量無關(guān).將物體放在斜面上,改變斜面傾角,記錄下物體剛剛開始下滑時(shí)的角度,

那么tg就是物體與斜面間的摩擦系數(shù).例5-2

在斜面上放一物體重為Q,接觸面間的摩擦系數(shù)為f,斜面的傾斜角為

時(shí),物體將向下運(yùn)動(dòng).如此時(shí)在物體上加有水平力P,則能使物體在斜面上維持平衡,試求力P的值的范圍。xyoF1maxαN1Q解:

如果力P太小,物體將向下滑動(dòng);但如力P太大,又使物體向上滑動(dòng).1、首先求出使物體不致下滑時(shí)所需的力P的最小值Pmin。由于物體有向下滑動(dòng)的趨勢，所以摩擦力應(yīng)沿斜面向上。物體的受力圖如圖所示。Q設(shè)物體處于臨界平衡狀態(tài),于是根據(jù)平衡方程和靜滑動(dòng)摩擦定律可列出:2、其次求出物體不致上滑時(shí)所需的力P

的最大值Pmax。由于物體有向上滑動(dòng)的趨勢，所以摩擦力應(yīng)沿斜面向下。物體受力圖如圖所示，根據(jù)平衡方程和靜滑動(dòng)摩擦定律可列出:xyoαN2QF2max3、綜上得出:要維持物體平衡時(shí),力P的值應(yīng)滿足的條件是:其大?。?/p>

方向：第四節(jié)摩擦角與自鎖現(xiàn)象GxφGxφf2、摩擦角φf:

隨著摩擦力的增大，φ角逐漸增大，當(dāng)摩擦力達(dá)到最大值Fmax時(shí)，全約束力FR作用線與接觸面法線間的夾角φf稱為摩擦角。摩擦角只與fS有關(guān)，它表示全約束力偏離接觸面法線的最大角度1、全約束力FR：法向約束力FN與摩擦力Fs

的合力稱為接觸面對物體的全約束力。4、自鎖現(xiàn)象：3、摩擦錐：Gxφf摩擦錐α自鎖條件：α≤

φf

主動(dòng)力的合力FA的作用線與接觸面法線的夾角為α，當(dāng)主動(dòng)力的合力FA的作用線在摩擦角以內(nèi)，則無論合力FA有多大，全約束力FR總能與之平衡，物體必定保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。若物體沿接觸面各個(gè)方向的靜摩擦因數(shù)fs相等，則全約束力FR繞接觸面法線方向旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)以接觸點(diǎn)為頂點(diǎn)、以φf

為半頂角的錐面。

例5-3

桿AB的A端置于光滑水平面上，AB與水平面夾角為20°，桿重為P=50KN。B處有摩擦。當(dāng)桿在此處臨界平衡時(shí)，試求摩擦角。解：以AB為研究對象，畫受力圖，N為B處的法向約束力。NNAxyFS例5-4圖示一折疊梯放在地面上，與地面的夾角θ=60。腳端A與B和地面的摩擦因數(shù)分別為

。在折疊梯的AC側(cè)的中點(diǎn)處有一重為G=500N的重物。不計(jì)折疊梯的重量，問它是否平衡？如果平衡，計(jì)算兩腳與地面的摩擦力。

處理此類問題時(shí)首先假定系統(tǒng)為平衡。由于系統(tǒng)不一定處于靜摩擦的臨界情況，可通過平衡方程求得這些未知的靜摩擦力。所得的結(jié)果必須與極限靜摩擦力進(jìn)行比較，以確認(rèn)上述系統(tǒng)平衡的假定是否成立。

解：⑴、以整體為對象，受力分析，畫受力圖，令等邊三角形的邊長為b，建立如圖坐標(biāo)系，列平衡方程：

⑵、以桿BC為對象，由于不計(jì)桿件的重量，該桿為二力桿，即摩擦力與法向約束力的合力與鉸C的約束力均沿桿的軸線。由圖B

的矢量幾何，有：⑶、再以整體為對象，列平衡方程

⑷、判斷系統(tǒng)是否處于靜平衡：腳端A與B的最大靜摩擦力分別為：

腳端A與B的實(shí)際摩擦力均小于最大靜摩擦力，可見折梯處于平衡的假定成立。yxwP1αβA例5-5、勻質(zhì)箱體A寬b=1m，高h(yuǎn)=2m，重w=200KN，放在傾角α=20°的斜面上，摩擦系數(shù)f=0.2。在箱體上C點(diǎn)系一軟繩，BC=a=1.8m，β=30°，繩上作用拉力p。試求箱體保持平衡時(shí)拉力p的大小。BCD解：⑴、設(shè)箱體在拉力p1作用下處于向下滑動(dòng)趨勢的臨界平衡狀態(tài)，畫受力圖，建立直角坐標(biāo)系，列平衡方程：分析：箱體在拉力p作用下，可能有四種運(yùn)動(dòng)趨勢：向下滑動(dòng)、向上滑動(dòng)、繞右下角D點(diǎn)側(cè)翻、繞左下角B點(diǎn)側(cè)翻。NF補(bǔ)充方程：F=fN

解得：p1=40KN⑵、設(shè)箱體在拉力p2作用下處于向上滑動(dòng)趨勢的臨界平衡狀態(tài)，畫受力圖，建立直角坐標(biāo)系，列平衡方程：yxwP2αβABCDNF補(bǔ)充方程：F=fN

解得：P2=109.7KN⑶、設(shè)箱體在拉力P3作用下處于繞右下角D點(diǎn)向下側(cè)翻的臨界平衡狀態(tài)，畫受力圖，建立直角坐標(biāo)系，列平衡方程：yxwP3αβABCDNF⑷、設(shè)箱體在拉力P4作用下處于繞左下角B點(diǎn)向上側(cè)翻的臨界平衡狀態(tài)，畫受力圖，建立直角坐標(biāo)系，列平衡方程：yxwP4αβABCDNF⑸、結(jié)論：由于軟繩不能產(chǎn)生壓力，故P3=-24KN的情況不存在。而當(dāng)P2=109.7KN時(shí)，箱體已經(jīng)發(fā)生側(cè)翻?？v上分析，箱體平衡狀態(tài)的條件：40KN≤P≤104.2KN第五節(jié)滾動(dòng)摩擦

GOA1、滾動(dòng)摩擦產(chǎn)生的原因：

使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力。圓柱體放在水平面上，受力如圖，F(xiàn)與Ff形成一個(gè)力偶，即使F很小，也將使圓柱體發(fā)生滾動(dòng)。當(dāng)力F不太大時(shí)，圓柱體保持平衡，說明必有一個(gè)阻力矩Mf

作用在物體上，與力偶（F，F(xiàn)f）平衡。GOABGOA將這些力系向A點(diǎn)簡化，得到一個(gè)主矢FR和一個(gè)主矩Mf，主矢FR分解成法向約束力N和滑動(dòng)摩擦力Ff（此處Ff＜

Fmax).主矩Mf

稱為滾動(dòng)摩阻力偶矩，簡稱為滾阻力偶。

Mf從何而來？分析滾動(dòng)摩擦，必須考慮變形的影響。物體接觸面上受力情況較復(fù)雜。GOA2、滾動(dòng)摩阻定律：最大滾動(dòng)摩阻力偶矩Mmax與滾子半徑無關(guān)，而與支承面的法向約束力N的大小成正比。

Mmax=δNδ稱為滾動(dòng)摩阻系數(shù)，其量綱為長度單位。將隨主動(dòng)力F的增大而增大，當(dāng)力F增加到某個(gè)值時(shí)，滾子將處于將滾未滾得臨界平衡狀態(tài)，此時(shí)滾動(dòng)摩阻力偶矩達(dá)到最大值，成為最大滾動(dòng)摩阻力偶矩，記為Mmax

注意：滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf

的大小也是個(gè)不定值，隨著主動(dòng)力矩的變化而變化，其方向與滾動(dòng)的趨勢相反0≤Mf≤Mmax。3、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析：若力F要使?jié)L子滑動(dòng)，則F要達(dá)到最大靜摩擦力值，即F=Fmax=fsN若力F要使?jié)L子滾動(dòng)，則需滿足力F對A點(diǎn)的矩達(dá)到最大滾動(dòng)摩阻力偶矩Fr=δN

GOA（1）滑動(dòng)條件（2）滾動(dòng)條件例5-6

輪胎半徑為r=40cm，載重W=2000N，軸傳來的推力為P，設(shè)滑動(dòng)摩擦系數(shù)f=0.6，滾動(dòng)摩阻系數(shù)δ=0.24cm，試求推動(dòng)此輪胎前進(jìn)的力P。解:(1)選輪子為研究對象,畫出輪子的受力圖.輪子受力有載重W、推力P、法向約束力N、滑動(dòng)摩擦力F、滾動(dòng)摩阻力偶矩M，這是一個(gè)平面力系。(2)列平衡方程,求未知量

輪子前進(jìn)有兩種可能:一.向前滾動(dòng)二.向前滑動(dòng)(a).分析向前滾動(dòng)情況:輪子剛剛開始向前滾動(dòng)時(shí)，滾動(dòng)摩阻力偶矩為

M=Mmax=δN.列平衡方程:∑X=0P-F=0P=F∑Y=0N-W=0N=W

∑Ma=0M-Pr=0M=Pr→Pr=δ

N→P=δW/r=0.242000/40=12N

所以只要12N的力就可以使輪子向前滾動(dòng).(b).分析向前滑動(dòng)情況:

輪子剛開始滑動(dòng)，則摩擦力F=Fmax=fN,所以P=f

W=0.62000=1200N。而當(dāng)推力P=12N時(shí)，輪子就已經(jīng)向前滾動(dòng)了.(3)分析討論：此題說明滾動(dòng)要比滑動(dòng)省力得多，所以通常以滾動(dòng)代替滑動(dòng)。

例5-7、重為P1=980N，半徑為r=10cm的滾子A與重P2=490N的板塊B，通過繩索相連，板塊B與滾子A以及斜面間的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)f=0.1，A與B間的滾動(dòng)摩阻系數(shù)δ=0.05cm，斜面傾角α=30°，繩索與斜面平行。試求作用在板塊B上、平行于斜面并能拉動(dòng)B的拉力的最小值。問題：板塊B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滾子A在板塊上是先滾動(dòng)還是先滑動(dòng)？解：⑴設(shè)滾子A在板塊B上作純滾動(dòng)，此時(shí)，靜摩擦力尚未達(dá)到最大值。⑵

取滾子A為研究對象，畫受力圖，建立坐標(biāo)系，列平衡方程：不是o點(diǎn)補(bǔ)充方程⑶取板塊B為研究對象，畫受力圖，建立坐標(biāo)系，列平衡方程：補(bǔ)充方程⑷、如果假設(shè)滾子在板塊上先發(fā)生滑動(dòng)，取滾子A為研究對象,受力如圖所示補(bǔ)充方程⑷、取板塊B為研究對象，畫受力圖：補(bǔ)充方程故⑴處假設(shè)是正確的。第七版.P127：4—2、21、27*.

以梯子AB為研究對象,受力如圖所示,設(shè)人所能達(dá)到的最高點(diǎn)為C點(diǎn)當(dāng)梯子剛滑動(dòng)時(shí),A、B點(diǎn)均達(dá)到最大靜摩擦力，補(bǔ)充方程聯(lián)立以上五個(gè)方程，解得4.2考慮滑動(dòng)摩擦的平衡問題以桿ABD為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程解：當(dāng)力偶矩較小時(shí)，圓柱可能的運(yùn)動(dòng)形式有兩種，一種是在E點(diǎn)先滑動(dòng)，一種是在B點(diǎn)先滑動(dòng)，應(yīng)分別研究。4.21考慮滑動(dòng)摩擦的平衡問題再以圓柱為研究對象，受力如圖所