第四章數(shù)據(jù)特征的度量

*第4章數(shù)據(jù)特征的度量4.1總規(guī)模度量—總量指標(biāo)4.2比較度量—相對(duì)指標(biāo)4.3集中趨勢(shì)的度量—平均指標(biāo)4.4離散程度的度量—變異指標(biāo)4.5成數(shù)的度量4.6偏態(tài)與峰度的度量*

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)經(jīng)過統(tǒng)計(jì)整理后，可以匯總得到反映客觀現(xiàn)象特征的一系列統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，這些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)都是總量指標(biāo)。為進(jìn)一步掌握數(shù)據(jù)分布的特征和規(guī)律，進(jìn)行更深入的分析還需要在此基礎(chǔ)上計(jì)算一系列的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，以顯示出現(xiàn)象在具體時(shí)間、地點(diǎn)條件下的相對(duì)水平、集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)等。*數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢(shì)(位置)偏態(tài)和峰度（形狀）離中趨勢(shì)

(離散程度)*4.1總規(guī)模度量-總量指標(biāo)

4.1.1總量指標(biāo)的一般問題

4.1.2總量指標(biāo)的種類

4.1.3總量指標(biāo)的計(jì)算要求*一.概念總量指標(biāo)是反映客觀現(xiàn)象總體在一定時(shí)間、地點(diǎn)和條件下發(fā)展的總規(guī)模、總水平的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。其表現(xiàn)形式通常是絕對(duì)數(shù)，所以也稱為絕對(duì)指標(biāo)。二.作用

1.總量指標(biāo)是認(rèn)識(shí)客觀現(xiàn)象總體數(shù)量特征的起點(diǎn)，可以反映一個(gè)國(guó)家、地區(qū)、部門或單位的基本情況；2.總量指標(biāo)是進(jìn)行宏觀調(diào)控、編制計(jì)劃和實(shí)行社會(huì)經(jīng)濟(jì)管理的重要依據(jù)；3.總量指標(biāo)是計(jì)算相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo)的基礎(chǔ)。

4.1.1總量指標(biāo)的一般問題*一.總量指標(biāo)按其反映現(xiàn)象總體內(nèi)容的不同，分為總體單位總量和總體標(biāo)志總量，簡(jiǎn)稱為單位總量和標(biāo)志總量。單位總量是指總體內(nèi)所有單位的總個(gè)數(shù)，表示總體本身的規(guī)模大小。標(biāo)志總量是指總體中各單位某一數(shù)量變量（標(biāo)志）值的總和。

一個(gè)總體只能存在一個(gè)單位總量，而標(biāo)志總量可有多個(gè)。

4.1.2總量指標(biāo)的種類*二.總量指標(biāo)按其反映客觀現(xiàn)象的時(shí)間狀態(tài)不同，可分為時(shí)期指標(biāo)和時(shí)點(diǎn)指標(biāo)。時(shí)期指標(biāo)指反映某種現(xiàn)象在一段時(shí)期內(nèi)發(fā)展過程的累積結(jié)果的總量指標(biāo)。時(shí)期指標(biāo)的指標(biāo)值可以累計(jì)相加，其數(shù)值的大小和時(shí)期的長(zhǎng)短有直接關(guān)系，一般通過連續(xù)調(diào)查匯總求得；時(shí)點(diǎn)指標(biāo)是反映現(xiàn)象在某一時(shí)刻（或瞬間）上所處狀況的總量指標(biāo)。時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的數(shù)值不能累計(jì)相加，其數(shù)值的大小和時(shí)點(diǎn)的間隔長(zhǎng)短沒有直接關(guān)系，一般通過一次性調(diào)查取得。

*例：指出下列指標(biāo)哪些是時(shí)期指標(biāo)，哪些是時(shí)點(diǎn)指標(biāo)。

1、2007年旅游入境人數(shù)

2、2007年全國(guó)出生人數(shù)

3、2007年全國(guó)人口數(shù)

4、2007年末銀行存款余額

5、2007年末商品庫(kù)存量時(shí)期時(shí)期時(shí)點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí)點(diǎn)*1.實(shí)物量指標(biāo)（1）定義：實(shí)物量指標(biāo)是根據(jù)事物的自然屬性或物理屬性而采用自然單位、度量衡單位、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物單位和復(fù)合單位計(jì)算的總量指標(biāo)。（2）計(jì)量單位：自然單位：按被研究現(xiàn)象的自然狀態(tài)計(jì)量的單位。如人口以“人”為單位，汽車以“輛”為單位。度量衡單位：根據(jù)國(guó)內(nèi)或國(guó)際上通行的度量衡制度對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行計(jì)量的單位。如糧食以“噸”為單位，棉布以“米”為單位。三.總量指標(biāo)按采用的計(jì)量單位不同，分為實(shí)物量指標(biāo)、價(jià)值量指標(biāo)和勞動(dòng)量指標(biāo)。*標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物單位：在同一性質(zhì)或同一用途的產(chǎn)品中挑選一種產(chǎn)品作為標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品,其它產(chǎn)品則按照一定的換算系數(shù)換算為以標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的實(shí)物單位來表示的一種計(jì)量單位。如能源以“標(biāo)準(zhǔn)煤”為單位。復(fù)合單位：把兩種或兩種以上的單位結(jié)合起來度量數(shù)量的單位。如貨運(yùn)量“噸公里”為單位。用來反映用一種計(jì)量單位較難準(zhǔn)確反映其使用價(jià)值的現(xiàn)象。（3）優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：可以直接反映事物的使用價(jià)值或現(xiàn)象的具體內(nèi)容；缺點(diǎn)：綜合性較差，無法進(jìn)行匯總。*2.價(jià)值量指標(biāo)（1）定義：用貨幣作為計(jì)量單位反映社會(huì)物質(zhì)財(cái)富和勞動(dòng)成果的總量指標(biāo)。（2）優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：具有最廣泛的綜合性和概括能力；缺點(diǎn)：掩蓋了事物的使用價(jià)值，比較抽象；有些現(xiàn)象不能用貨幣單位計(jì)量（人口、自然資源）；將實(shí)物指標(biāo)過渡到價(jià)值指標(biāo)需要借助于價(jià)格，價(jià)格的選擇是個(gè)需要注意的問題，不同時(shí)期的價(jià)值量指標(biāo)需要剔除價(jià)格變動(dòng)的影響。*3.勞動(dòng)量指標(biāo)（1）定義：是用勞動(dòng)時(shí)間為計(jì)量單位計(jì)算的總量指標(biāo)，常用的勞動(dòng)量單位有工日、工時(shí)等，它也是一種復(fù)合計(jì)量單位。（2）作用：分析勞動(dòng)資源和勞動(dòng)時(shí)間的利用程度；編制和檢查生產(chǎn)作業(yè)計(jì)劃的依據(jù)；為核算企業(yè)工人工資和勞動(dòng)生產(chǎn)率提供依據(jù)，一般只在企業(yè)使用。*1.明確總量指標(biāo)的含義和范圍；

2.計(jì)算實(shí)物量指標(biāo)時(shí)，要注意現(xiàn)象的同類性；3.同一總量指標(biāo)盡量使用統(tǒng)一的計(jì)量單位。

4.1.3總量指標(biāo)的計(jì)算要求*4.2比較度量-相對(duì)指標(biāo)

4.2.1相對(duì)指標(biāo)的一般問題

4.2.2相對(duì)指標(biāo)的表現(xiàn)形式

4.2.3相對(duì)指標(biāo)的種類和計(jì)算方法

4.2.4計(jì)算和運(yùn)用相對(duì)指標(biāo)應(yīng)注意的問題*

總量指標(biāo)可以綜合反映客觀現(xiàn)象的總規(guī)模、總水平，但不宜深入說明事物發(fā)展的程度和差別，也不能直接反映事物間數(shù)量聯(lián)系的程度。很多情況下，都需要將有關(guān)指標(biāo)聯(lián)系起來進(jìn)行比較，計(jì)算各種相對(duì)指標(biāo)，才能對(duì)計(jì)劃完成與否、工作質(zhì)量好壞、經(jīng)濟(jì)效益高低、事物發(fā)展速度快慢等作出有效的判斷。比較度量-相對(duì)指標(biāo)*一.概念相對(duì)指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)相對(duì)數(shù)，是兩個(gè)有聯(lián)系的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的比值，用以反映現(xiàn)象之間的數(shù)量對(duì)比關(guān)系。二.作用

1.反應(yīng)現(xiàn)象之間的相對(duì)水平和聯(lián)系程度；2.將現(xiàn)象的絕對(duì)差異抽象化，使不能直接對(duì)比的現(xiàn)象找到可以對(duì)比的基礎(chǔ)，有助于鑒別事物和分析事物。

4.2.1相對(duì)指標(biāo)的一般問題*相對(duì)指標(biāo)的數(shù)值有無名數(shù)和有名數(shù)兩種表現(xiàn)形式：1、無名數(shù)無名數(shù)是一種抽象化的計(jì)算單位，多用系數(shù)、倍數(shù)、成數(shù)、百分?jǐn)?shù)、千分?jǐn)?shù)、翻番數(shù)等表示。2、有名數(shù)有名數(shù)是一種有具體計(jì)量單位的數(shù)值，多表現(xiàn)為復(fù)名數(shù)。一般是將對(duì)比的分子指標(biāo)數(shù)值與分母指標(biāo)數(shù)值的計(jì)量單位加以綜合以雙重計(jì)量單位表示。

4.2.2相對(duì)指標(biāo)的表現(xiàn)形式*

一、種類計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)—檢查、監(jiān)督計(jì)劃執(zhí)行情況

結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)—反映總體內(nèi)部的構(gòu)成比例相對(duì)指標(biāo)—反映總體各部分之間的比例關(guān)系比較相對(duì)指標(biāo)—評(píng)價(jià)不同單位的實(shí)力、優(yōu)劣強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)—反映現(xiàn)象強(qiáng)度、密度和普遍程度動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)—反映現(xiàn)象發(fā)展變化的程度

4.2.3相對(duì)指標(biāo)的種類和計(jì)算方法*二.相對(duì)指標(biāo)的計(jì)算方法（一）結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)

結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)就是在統(tǒng)計(jì)分組的基礎(chǔ)上，將總體中某一部分?jǐn)?shù)值與總體全部數(shù)值對(duì)比得到的相對(duì)指標(biāo)。用來反映總體內(nèi)部構(gòu)成情況。*第六次人口普查數(shù)據(jù)2010年全國(guó)第六次人口普查數(shù)據(jù)現(xiàn)實(shí)，全國(guó)總?cè)丝跒?370536875人，其中，大陸31個(gè)省、自治區(qū)、直轄市和現(xiàn)役軍人人口為1339724852人；香港特別行政區(qū)人口為7097600人；澳門特別行政區(qū)人口為552300人；臺(tái)灣地區(qū)人口為23162123人；大陸31個(gè)省、自治區(qū)、直轄市和現(xiàn)役軍人的人口中，男性人口為686852572人，占51.27%；女性人口為652872280人，占48.73%；

0-14歲人口為222459737人，占16.60%；15-59歲人口為939616410人，占70.14%；60歲及以上人口為177648705人，占13.26%，其中65歲及以上人口為118831709人，占8.87%；*

具有大學(xué)(指大專以上)文化程度的人口為119636790人；具有高中(含中專)文化程度的人口為187985979人；具有初中文化程度的人口為519656445人；具有小學(xué)文化程度的人口為358764003人(以上各種受教育程度的人包括各類學(xué)校的畢業(yè)生、肄業(yè)生和在校生)；文盲人口(15歲及以上不識(shí)字的人)為54656573人；

居住在城鎮(zhèn)的人口為665575306人，占49.68%；居住在鄉(xiāng)村的人口為674149546人，占50.32%。*理解：結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)是在統(tǒng)計(jì)分組的基礎(chǔ)上進(jìn)行的計(jì)算；一般用百分?jǐn)?shù)、系數(shù)或成數(shù)表示；分子、分母不能調(diào)換；各組的比重之和為100%或1。*（二）比例相對(duì)指標(biāo)

比例相對(duì)指標(biāo)是同一總體中各組成部分之間數(shù)值對(duì)比得到的相對(duì)指標(biāo)。用以反映總體各組成部分之間的比例關(guān)系和協(xié)調(diào)平衡程度。[例]

我國(guó)第六次人口普查結(jié)果表明，男性人口為686852572人，女性人口為652872280人，則*理解：強(qiáng)調(diào)同一總體內(nèi)的部分與部分?jǐn)?shù)值的比較；對(duì)比的結(jié)果表示所研究總體中的一部分與另一部分的比例關(guān)系，用以研究現(xiàn)象的比例是否合理、協(xié)調(diào)；分子、分母可以調(diào)換。*（三）比較相對(duì)指標(biāo)

比較相對(duì)指標(biāo)是不同空間（單位、地區(qū)、企業(yè)、國(guó)家等）同一時(shí)間的同一指標(biāo)數(shù)值對(duì)比得到的相對(duì)數(shù)。說明某一現(xiàn)象在不同空間的差異情況。其計(jì)算公式為：[例]2011年山東省GDP為45361.85億元，同期廣東省為53210.28億元，西藏自治區(qū)為605.83億元，則山東省GDP為廣東省的85.25%，為西藏自治區(qū)的74.88倍。*理解：比較相對(duì)數(shù)強(qiáng)調(diào)的是不同總體（或不同空間）同一指標(biāo)數(shù)值的比值；分子、分母可以調(diào)換；計(jì)算結(jié)果可說明某現(xiàn)象在各單位發(fā)展的不平衡程度；經(jīng)常與同行業(yè)先進(jìn)水平、先進(jìn)地區(qū)進(jìn)行比較。*（四）強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)

[例]2011年我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為472881.6億元億美元，全國(guó)年平均人口數(shù)為134735萬人，則人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為35181元/人。強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)是兩個(gè)性質(zhì)不同但又有一定聯(lián)系的指標(biāo)數(shù)值對(duì)比得到的相對(duì)指標(biāo)。用來表明現(xiàn)象的強(qiáng)度、密度和普遍程度。*理解：

是不同類現(xiàn)象的對(duì)比；是惟一有單位的相對(duì)數(shù)；反映一種現(xiàn)象在另一種現(xiàn)象中的普遍程度的強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)，其分子分母可以互換，即采用正算法計(jì)算正指標(biāo)，采用倒算法計(jì)算逆指標(biāo)：正指標(biāo)：指標(biāo)數(shù)值大小與現(xiàn)象的發(fā)展程度或密度成正向變化；逆指標(biāo)：指標(biāo)數(shù)值大小與現(xiàn)象的發(fā)展程度或密度成反向變化。*【例】某市人口數(shù)為158000人，有零售商店790個(gè)，則

該市零售商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)密度是：

正指標(biāo)＝零售商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)數(shù)∕人口數(shù)＝790∕158＝5（個(gè)∕千人）

逆指標(biāo)＝人口數(shù)∕零售商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)數(shù)＝158000∕790＝200（人∕個(gè)）*計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)簡(jiǎn)稱計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)，指一定時(shí)期某一事物的實(shí)際完成數(shù)與計(jì)劃數(shù)之比，用來檢查、監(jiān)督計(jì)劃執(zhí)行情況。

計(jì)劃完成程度指標(biāo)的分子是根據(jù)實(shí)際完成情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)而得的數(shù)據(jù)，分母是下達(dá)的計(jì)劃指標(biāo)。由于計(jì)劃數(shù)總是用來衡量計(jì)劃完成情況的標(biāo)準(zhǔn)，所以該公式的分子和分母不能互相換算。公式的分子數(shù)值減分母數(shù)值則表明計(jì)劃執(zhí)行的絕對(duì)效果。（五）計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)1、概念*2、計(jì)算。（1）計(jì)劃數(shù)為總量指標(biāo)：[例]某企業(yè)2008年的計(jì)劃產(chǎn)值為1200萬元，實(shí)際完成產(chǎn)值為1350萬元，則*（2）計(jì)劃數(shù)為相對(duì)指標(biāo)：

[例]某企業(yè)2008年計(jì)劃產(chǎn)值比2007年提高10%，實(shí)際產(chǎn)值提高了15%；同時(shí)，計(jì)劃規(guī)定單位產(chǎn)品成本比上年降低4%，實(shí)際降低了6%。則*產(chǎn)值計(jì)劃完成程度若大于100％，說明超額完成計(jì)劃；若小于100％，說明沒有完成計(jì)劃，為正指標(biāo)。

單位成本計(jì)劃完成程度若大于100％，說明成本比計(jì)劃高，沒有完成計(jì)劃；若小于100％，說明成本比計(jì)劃降低，超額完成計(jì)劃，為逆指標(biāo)。*[例]某企業(yè)計(jì)劃工人勞動(dòng)生產(chǎn)率為800元/人.天，實(shí)際為920元/人.天，則（3）計(jì)劃數(shù)為平均指標(biāo)：

*（六）動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)

[例]

我國(guó)原油產(chǎn)量2010年為14764萬噸，2011年為16074.1萬噸，則指同一指標(biāo)數(shù)值在不同時(shí)期的對(duì)比，用以反映事物發(fā)展變化的程度。通常把用來作為比較基礎(chǔ)的時(shí)期稱為“基期”，把用來與基期對(duì)比的時(shí)期稱為“報(bào)告期”或“計(jì)算期”。程度。*理解：

動(dòng)態(tài)是時(shí)間上的發(fā)展，動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)是同一總體不同時(shí)間同一指標(biāo)的對(duì)比，又稱發(fā)展速度；計(jì)算結(jié)果表示同類事物的水平報(bào)告期相對(duì)基期的發(fā)展變化程度。*不同時(shí)期比較動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)強(qiáng)度相對(duì)數(shù)不同現(xiàn)象比較不同總體比較比較相對(duì)數(shù)同一總體中部分與總體比較部分與部分比較實(shí)際與計(jì)劃比較結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)比例相對(duì)數(shù)計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)同一時(shí)期比較同類現(xiàn)象比較相對(duì)指標(biāo)的比較*

1、可比性原則：嚴(yán)格保持對(duì)比兩指標(biāo)的可比性是計(jì)算和運(yùn)用相對(duì)指標(biāo)的基本要求。

2、多種相對(duì)指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用的原則。

3、同總量指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用的原則。

4.2.4計(jì)算和運(yùn)用相對(duì)指標(biāo)應(yīng)注意的問題*4.3集中趨勢(shì)的度量-平均指標(biāo)

4.3.1平均指標(biāo)的一般問題

4.3.2算術(shù)平均指標(biāo)

4.3.3調(diào)和平均指標(biāo)

4.3.4幾何平均指標(biāo)

4.3.5中位數(shù)與分位數(shù)

4.3.6眾數(shù)

4.3.7平均指標(biāo)之間的關(guān)系*一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度；測(cè)度集中趨勢(shì)就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值；不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢(shì)測(cè)度值；低層次數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值適用于高層次的測(cè)量數(shù)據(jù)，但高層次數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值并不適用于低層次的測(cè)量數(shù)據(jù)。集中趨勢(shì)

(Centraltendency)*一.平均指標(biāo)的概念平均指標(biāo)又稱平均數(shù)，用以反映總體各單位某一標(biāo)志值在一定時(shí)間、地點(diǎn)、條件下所達(dá)到的一般水平。平均指標(biāo)的特點(diǎn)在于它把總體各單位標(biāo)志值的差異抽象化了，它可能與各單位所有標(biāo)志值都不相同，但又作為代表值來反映這些單位標(biāo)志的一般水平，具有代表性和抽象性的特點(diǎn)。

4.3.1平均指標(biāo)的一般問題*二.平均指標(biāo)的種類平均指標(biāo)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)按計(jì)算方法不同按反映時(shí)間狀態(tài)不同靜態(tài)平均數(shù)動(dòng)態(tài)平均數(shù)*算術(shù)平均數(shù)是最常用的平均指標(biāo):易受極端值的影響；用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)。算術(shù)平均數(shù)是總體標(biāo)志總量與總體單位總量之比：

4.3.2算術(shù)平均數(shù)（arithemeticmean)一.概念*1、簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù):每個(gè)標(biāo)志值只出現(xiàn)一次，適合于未分組資料。

[例]某生產(chǎn)班組有10個(gè)工人，某種零件的日產(chǎn)量為：15、17、18、20、22、25、27、28、29、30件，則工人平均日產(chǎn)量為：二.種類與計(jì)算*2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，就要以各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)為權(quán)數(shù)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：*（1）單項(xiàng)式分組情況下計(jì)算算術(shù)平均數(shù)[例]假如某車間150名工人裝配同一種電子儀器，其日裝配量如表所示：*（2）組距式分組情況下計(jì)算算術(shù)平均數(shù)

*（3）權(quán)數(shù)的意義和作用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的權(quán)數(shù)除了可以用絕對(duì)數(shù)形式的頻數(shù)表示外，還可以用相對(duì)數(shù)形式的頻率表示。此時(shí)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式為：*從加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式可以看出，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的大小不僅受各組變量值的影響，還受各組頻數(shù)的影響。頻數(shù)多的標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的影響大一些，頻數(shù)少的標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的影響要小一些。頻數(shù)的多少對(duì)算術(shù)平均數(shù)的大小起著一種權(quán)衡輕重的作用，所以這里的頻數(shù)或次數(shù)稱為權(quán)數(shù)；當(dāng)各組標(biāo)志值出現(xiàn)的頻數(shù)相等時(shí)，權(quán)數(shù)就失去了權(quán)衡輕重的作用，則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：*（4）權(quán)數(shù)的選擇問題。在實(shí)際應(yīng)用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，需要注意權(quán)數(shù)的選擇。這在各組變量值是相對(duì)數(shù)或平均數(shù)時(shí)經(jīng)常遇到，下面舉例說明。

選擇相對(duì)數(shù)或平均數(shù)的分母作為權(quán)數(shù)*（5）算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對(duì)數(shù)的區(qū)別子項(xiàng)指標(biāo)與母項(xiàng)指標(biāo)的關(guān)系不同：平均指標(biāo)是在一個(gè)同質(zhì)總體內(nèi)標(biāo)志總量和單位總量的比例關(guān)系；強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)的分子分母是兩個(gè)不同總體的總量指標(biāo)。算術(shù)平均數(shù)的子項(xiàng)指標(biāo)隨著母項(xiàng)指標(biāo)的變動(dòng)而變動(dòng)，它要求標(biāo)志總量和單位總量相適應(yīng)，即標(biāo)志總量必須是總體各單位標(biāo)志值的總和；而強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)不存在此適應(yīng)性問題。請(qǐng)回答下面兩個(gè)指標(biāo)哪個(gè)是算術(shù)平均數(shù)，哪個(gè)是強(qiáng)度相對(duì)數(shù)？工人平均工資家庭人均收入*

a、各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零

b、各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和最小

（6）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)*調(diào)和平均數(shù)是各標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱倒數(shù)平均數(shù)；與算術(shù)平均數(shù)的區(qū)別僅是因?yàn)楂@得的資料不同而計(jì)算方法上的差異，其實(shí)質(zhì)是一樣的，因此常作為算術(shù)平均數(shù)的變形來使用。4.3.3調(diào)和平均數(shù)

（harmonicmean)*1、簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)。其計(jì)算公式為：

[例]設(shè)市場(chǎng)上某種蔬菜早市每公斤2.2元，午市每公斤2.0元，晚市每公斤1.8元，若早、中、晚各買1元錢蔬菜，平均每公斤蔬菜的價(jià)格是多少？*2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)

其計(jì)算公式為：其中，表示第i組的標(biāo)志值，為第i組的權(quán)數(shù)（即標(biāo)志總量）。*根據(jù)上表計(jì)算平均批發(fā)價(jià)格時(shí)，無法直接采用加權(quán)算術(shù)平均法，而應(yīng)用調(diào)和平均法，即：平均價(jià)格＝成交額∕成交量＝∑m／(∑m／x)＝36900／48000＝0.769（元）例：某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如下表，計(jì)算三種蔬

菜該日的平均批發(fā)價(jià)格。

*平均價(jià)格＝成交額∕成交量＝∑xf／∑f

＝36900／48000＝0.769（元）

如果已知的數(shù)據(jù)不是成交額數(shù)據(jù)而是成交量（如下表）*3、算術(shù)平均與調(diào)和平均的應(yīng)用條件比較算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)在本質(zhì)上是一致的，唯一的區(qū)別是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，當(dāng)計(jì)算公式中分子資料未知時(shí)，就采用算術(shù)平均計(jì)算平均指標(biāo)；分母資料未知時(shí)，就采用調(diào)和平均計(jì)算平均指標(biāo)。**n個(gè)變量值乘積的n次方根；適用于特殊的數(shù)值型數(shù)據(jù)；主要用于計(jì)算平均比率和平均發(fā)展速度。4.3.4幾何平均數(shù)

(geometricmean)*1、簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)適合于未分組數(shù)據(jù)資料，計(jì)算公式為：〔例〕某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品要經(jīng)過三個(gè)連續(xù)作業(yè)車間才能完成。若某月份第一車間粗加工產(chǎn)品的合格率為95％，第二車間精加工產(chǎn)品的合格率為93％，第三車間最后裝配的合格率為90％，則該產(chǎn)品的企業(yè)合格率（三個(gè)車間的平均合格率）為多少？

*解：由已知數(shù)據(jù)可知，各年與前一年相比的比值(即發(fā)展速度)分別為109％、116％、120％，則平均發(fā)展速度為：

即平均增長(zhǎng)速度為14.91%。[例]某水泥廠2004年的水泥產(chǎn)量為100萬噸，2005年與2004年相比增長(zhǎng)率為9％，2006年與2005年相比增長(zhǎng)率為16%，2007年與2006年相比增長(zhǎng)率為20％。求各年的年平均增長(zhǎng)率。*2.加權(quán)幾何平均數(shù)適合于分組數(shù)據(jù)資料，計(jì)算公式為：這個(gè)公式兩邊取對(duì)數(shù)，則為：**3.幾何平均數(shù)的特點(diǎn)適合于反映特定現(xiàn)象的平均水平，即現(xiàn)象的總標(biāo)志值不是各單位標(biāo)志值的和，而是各單位標(biāo)志值的積。如果數(shù)列中有一個(gè)標(biāo)志值等于0或負(fù)值，就無法計(jì)算幾何平均數(shù)。幾何平均數(shù)受極端變量值的影響，較算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)小。*根據(jù)同一組數(shù)據(jù)計(jì)算，算術(shù)平均數(shù)最大，調(diào)和平均數(shù)最小，幾何平均數(shù)居中；當(dāng)各數(shù)據(jù)完全相等時(shí)，三者相等；現(xiàn)實(shí)中，要根據(jù)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中客觀存在的數(shù)量關(guān)系選擇使用。就是說，適宜用算術(shù)平均數(shù)計(jì)算的，就不要用調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)；反之，亦然。

各數(shù)值平均指標(biāo)之間的關(guān)系*1.排序后處于中間位置上的值Me50%50%2.不受極端值的影響；3.主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)。4.3.5中位數(shù)

（median）*一、順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城市家庭對(duì)住房滿意狀況評(píng)價(jià)的中位數(shù).解：中位數(shù)的位置為：

301/2＝150.5從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中。因此

Me＝一般*二.數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)確定1.未分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的確定*原始數(shù)據(jù): 2422212620排序: 2021222426位置:123 45中位數(shù)22例：N為奇數(shù)*原始數(shù)據(jù):105 91268排序: 56891012位置: 123

4

56位置N+126+123.5中位數(shù)8+928.5例：N為偶數(shù)*2、單項(xiàng)式分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)*3、組距式分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)其中：分別表示中位數(shù)所在組的下限、上限；表示總頻數(shù)；表示中位數(shù)所在組以下各組的累計(jì)頻數(shù)；表示中位數(shù)所在組以上各組的累計(jì)頻數(shù)；為中位數(shù)所在組的頻數(shù)；為中位數(shù)所在組的組距。*【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)：*1. 排序后處于25%和75%位置上的值—四分位數(shù)2.不受極端值的影響3.主要用于定序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于定類數(shù)據(jù)QLQMQU25%25%25%25%4.3.6四分位數(shù)

（percentile）*四分位數(shù)

(位置的確定)未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：下四分位數(shù)(QL)位置=N+14上四分位數(shù)(QU)位置=3(N+1)4下四分位數(shù)(QL)位置=N4上四分位數(shù)(QL)位置=3N4*定序數(shù)據(jù)的四分位數(shù)【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城市家庭對(duì)住房滿意狀況評(píng)價(jià)的四分位數(shù)解：下四分位數(shù)(QL)的位置為：

QL位置＝(300)/4＝75

上四分位數(shù)(QL)的位置為：

QU位置＝(3×300)/4＝225從累計(jì)頻數(shù)看，QL在“不滿意”這一組別中；QU在“一般”這一組別中。因此

QL

＝不滿意

QU

＝一般*數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)原始數(shù)據(jù):

2321 3032 282526

排序:2123

2526283032

位置:1 23 45677+1QL位置=4=4=2QU位置=3(N+1)43(7+1)4==6QL=23QU=

30N+1*數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)原始數(shù)據(jù):

232130 282526排序:212325262830位置:12 3 4 56QL=21+0.75(23-21)=22.5QL位置=N+14=6+14=1.75QU位置=3(N+1)43(6+1)4==5.25QU=28+0.25(30-28)

=28.5*

數(shù)值型組距式分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)*其中：表示下四分位數(shù)所在組的下限；表示上四分位數(shù)所在組的下限；為小于下四分位數(shù)所在組的各組的頻數(shù)之和；為小于上四分位數(shù)所在組的各組的頻數(shù)之和；分別為下四分位數(shù)和上四分位數(shù)所在組的頻數(shù)；為總頻數(shù)；為組距。*數(shù)值型組距式分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)QL位置＝50/4＝12.5QU位置＝3×50/4＝37.5【例】根據(jù)第三章表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的四分位數(shù)*出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值；不受極端值的影響；可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)；主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。4.3.7眾數(shù)

（mode）*眾數(shù)

(不唯一性)

無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268

一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

9855

多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

364242*分類數(shù)據(jù)的眾數(shù)【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)解：這里的變量為“廣告類型”，這是個(gè)定類變量，不同類型的廣告就是變量值。我們看到，在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注商品廣告的人數(shù)最多，為112人，占總被調(diào)查人數(shù)的56%，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類別，即：Mo＝商品廣告*順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)【例】根據(jù)第三章表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)解：這里的數(shù)據(jù)為定序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”。甲城市中對(duì)住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即

Mo＝不滿意*

數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)單項(xiàng)式分配數(shù)列即出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值即是眾數(shù)。2.組距式分配數(shù)列眾數(shù)的確定與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān)MoMoMo*其中：表示眾數(shù)；分別表示眾數(shù)所在組的下限、上限；表示眾數(shù)所在組的頻數(shù)與前一組頻數(shù)之差；表示眾數(shù)所在組的頻數(shù)與后一組頻數(shù)之差；表示眾數(shù)所在組組距。

**對(duì)稱分布

均值=中位數(shù)=眾數(shù)左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)

均值

4.3.8平均指標(biāo)之間的關(guān)系**[例]：根據(jù)某城市住戶家庭人均月收入的抽樣調(diào)查資料計(jì)算的眾數(shù)為1040元，中位數(shù)為1128.57元，問平均數(shù)為多少？分布呈何形態(tài)？說明該城市住戶家庭月收入分布呈右偏態(tài)分布。也說明收入分配中算術(shù)平均偏向高端，多數(shù)居民家庭收入低于算術(shù)平均數(shù)。*平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良，實(shí)際中最常用數(shù)據(jù)對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布時(shí)代表性較好中位數(shù)不易受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)代表性較好眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大且有明顯峰值時(shí)代表性較好*4.4離散程度的度量-變異指標(biāo)

4.4.1變異指標(biāo)的一般問題

4.4.2變異指標(biāo)的種類和計(jì)算

*引例某車間兩個(gè)生產(chǎn)小組，每組各有10個(gè)工人，每個(gè)工人日產(chǎn)零數(shù)如下：第一組：20、22、23、25、26、26、26、26、28、29第二組：12、14、18、24、28、30、30、30、31、32

兩個(gè)組工人平均日產(chǎn)零件數(shù)都是25件，但第一組工人日產(chǎn)零件數(shù)相對(duì)比較整齊，第二組工人產(chǎn)量參差不齊，差異較大。*1、概念變異指標(biāo)又稱標(biāo)志變動(dòng)度，綜合反映總體各單位變量值的差異程度或離散程度。2、作用反映總體各單位變量值分布的離中趨勢(shì)；可以說明平均指標(biāo)對(duì)總體各單位變量值的代表性程度；可以說明現(xiàn)象變動(dòng)的均勻性或穩(wěn)定性程度；3、類型變異指標(biāo)主要有：異眾比率、四分位差、全距、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差以及變異系數(shù)。這些指標(biāo)計(jì)算方法不同，涵義不同，因此應(yīng)用場(chǎng)合也不同。

4.4.1變異指標(biāo)的一般問題*1.非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率，表示眾數(shù)的代表性大??；2.計(jì)算公式為：4.4.2異眾比率(variationratio)*解：在所調(diào)查的50人當(dāng)中，購(gòu)買其他品牌飲料的人數(shù)占70%，異眾比率比較大。因此，用“可口可樂”代表消費(fèi)者購(gòu)買飲料品牌的狀況，其代表性不是很好。*4.4.3四分位差(quartiledeviation)1.上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，也稱內(nèi)距或四分位間距，反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，其計(jì)算公式為：

QD

=QU–

QL2.不受極端值的影響；3.主要用于衡量中位數(shù)的代表性。*4.4.4全距/極差(Range)1.一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差；2.只能粗略反映總體的變動(dòng)幅度或范圍；3.易受極端值的影響；未分組數(shù)據(jù)R

=max(Xi)-min(Xi).=組距式分組數(shù)據(jù)R

最高組上限-最低組下限4.計(jì)算公式為：*4.4.5平均差(Averagedeviation)1.各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)；2.能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度；3.數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少。4.

計(jì)算公式為未分組數(shù)據(jù)

組距分組數(shù)據(jù)*【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算工人日加工零件數(shù)的平均差*4.4.6方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(Variationandstandarddeviation)1.方差是各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根；

2.最常用的離散程度測(cè)度值；

3.反映了各變量值與均值的平均差異。

*計(jì)算公式未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式*【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算工人日加工零件數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差*方差的簡(jiǎn)便計(jì)算未分組資料：分組資料：**相對(duì)位置的度量：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

(standardscore)1.給出某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中的相對(duì)位置；2.可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)；3.用于對(duì)變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理；4.計(jì)算公式為：*標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)1.均值等于0：2.方差等于1：*

標(biāo)準(zhǔn)化值*經(jīng)驗(yàn)法則經(jīng)驗(yàn)法則表明：當(dāng)一組數(shù)據(jù)為正態(tài)分布時(shí)，約有68.27%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)；約有95.45%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)；約有99.73%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。*切比雪夫不等式

(Chebyshev’sinequality)如果一組數(shù)據(jù)不是對(duì)稱分布，經(jīng)驗(yàn)法則就不再適用，這時(shí)可使用切比雪夫不等式，它對(duì)任何分布形狀的數(shù)據(jù)都適用；切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”；對(duì)于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。其中k是大于1的任意值，但不一定是整數(shù)。*對(duì)于k=2，3，4，該不等式的含義是至少有75%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)；至少有89%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)；至少有94%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。*一群牛的平均體重是180公斤，標(biāo)準(zhǔn)差是18公斤；一群羊的平均體重是15公斤，標(biāo)準(zhǔn)差是3公斤，能不能說羊的平均體重的代表性高些？為什么？

4.4.7比較多組數(shù)據(jù)的離散程度：

變異系數(shù)*

1.標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比；

2.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響；

3.測(cè)度了數(shù)據(jù)的相對(duì)離散程度；

4.用于對(duì)不同數(shù)據(jù)離散程度的比較；

5.