第2章隨機(jī)信號(hào)與噪聲

西北工業(yè)大學(xué)2015.3第2章隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2023/2/42第2章隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析－－本章是本課程的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。隨機(jī)過程研究?jī)?nèi)容：

2.1引言

2.2隨機(jī)過程的基本概念

2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程

2.4高斯隨機(jī)過程

2.5平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

2.6窄帶隨機(jī)過程

2.7正弦波加窄帶隨機(jī)過程

2.8高斯白噪聲和帶限白噪聲2023/2/432.1

引言通信----是在噪聲背景下信號(hào)通過通信系統(tǒng)的過程，分析與研究通信系統(tǒng)，總是離不開對(duì)信號(hào)和噪聲的分析?！耠S機(jī)信號(hào)：通信系統(tǒng)中用于表述信息的信號(hào)不可能是單一的、確定的，而是具有不確定性和隨機(jī)性?！耠S機(jī)噪聲：通信中存在的各種干擾和噪聲，其波形更是隨機(jī)的、不可預(yù)測(cè)的?！耠S機(jī)過程：盡管隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)噪聲是不可預(yù)測(cè)的、隨機(jī)的，但它們具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，均可表示為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。統(tǒng)計(jì)學(xué)中的有關(guān)隨機(jī)過程的理論可以運(yùn)用到隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析中來。2023/2/442.2隨機(jī)過程的基本概念

2.2.1隨機(jī)過程的概念

考察：

假設(shè)有n臺(tái)性能相同的接收機(jī)，在同樣條件下不加信號(hào)測(cè)試其輸出。（n--足夠大的正整數(shù)）

得到一系列噪聲波形—記錄x1(t)、x2(t)、x3(t)、...、xn(t)。

結(jié)果：理想時(shí)，波形似乎應(yīng)該一致，但實(shí)際不然。找不到兩個(gè)完全相同的波形！2023/2/45討論：●每一個(gè)記錄xi(t)都是一個(gè)隨機(jī)起伏的時(shí)間函數(shù)－－隨機(jī)函數(shù)。●全部隨機(jī)函數(shù)的集合－－隨機(jī)過程：

X(t)={x1(t),x2(t),…,xn(t)}●每一條曲線xi(t)都是隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)/樣本－－為確定的時(shí)間函數(shù)。●在某一特定時(shí)刻t1觀察各臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲值xi(t1)

，發(fā)現(xiàn)他們的值是不同的－－是一個(gè)隨機(jī)量（隨機(jī)變量）。角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。2023/2/46討論：●在任一給定時(shí)刻t1，每一樣本函數(shù)xi(t)都有一個(gè)確定的數(shù)值xi

(t1)。但在同一時(shí)刻，不同樣本的取值{xi(t1)，i=1，…，n}卻是一個(gè)隨機(jī)變量?！窦?，隨機(jī)過程在任意時(shí)刻t1的值X(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量?！褚虼耍挚梢园央S機(jī)過程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。2023/2/47概括：

隨機(jī)過程X(t)的含義／屬性有三點(diǎn)：（1）X(t)是t

的函數(shù)。（2）X(t)在任一時(shí)刻t1上的取值X(t1)不是確定的，是一個(gè)隨機(jī)變量。（3）X(t)的任一實(shí)現(xiàn)xi(t)是一個(gè)確定函數(shù)，隨機(jī)性體現(xiàn)在某一樣本出現(xiàn)的隨機(jī)上。概率論：隨機(jī)變量分析－－分布函數(shù)、概率密度和數(shù)字特征研究?jī)?nèi)容－－隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)描述：

1.隨機(jī)過程的分布函數(shù)

2.隨機(jī)過程的數(shù)字特征2023/2/481.隨機(jī)過程的分布函數(shù)設(shè)X(t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，它在任意時(shí)刻t1的值X(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，根據(jù)概率論的知識(shí)，隨機(jī)過程X(t)的----（1）隨機(jī)過程X(t)的一維描述----反映隨機(jī)過程在任一時(shí)刻取值的統(tǒng)計(jì)特性。

●一維分布函數(shù)

表示隨機(jī)變量X(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率。

●一維概率密度函數(shù)若上式中的偏導(dǎo)存在的話。2023/2/49（2）隨機(jī)過程X(t)的二維描述---反映隨機(jī)過程在不同時(shí)刻取值之間的關(guān)聯(lián)程度。

●二維分布函數(shù)任意給定時(shí)刻t1

、t2，和同時(shí)成立的概率：●二維概率密度函數(shù)若上式中的偏導(dǎo)存在的話。2023/2/410（3）隨機(jī)過程X(t)的多維描述●n維分布函數(shù)●n維概率密度函數(shù)2023/2/411目的/意義：

●可以把隨機(jī)過程X(t)當(dāng)作一個(gè)多元的隨機(jī)變量來看待，而用這個(gè)多元隨機(jī)變量[X(t1)，X(t2)，...，X(tn)]的分布函數(shù)或概率密度來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性?！耧@然，n越大，對(duì)隨機(jī)過程的描述越充分。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立:

對(duì)于任何n個(gè)隨機(jī)變量X(t1)，X(t2)，...，X(tn)，如果下式成立

fn(x1,x2,...,xn；t1,t2,...,tn)=f1(x1,t1)f1(x2,t2)...f1(xn,tn)則稱這些變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，否則就是不獨(dú)立的或相關(guān)的。

意義？2023/2/4122.隨機(jī)過程的數(shù)字特征引言●問題：隨機(jī)過程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善地刻畫隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。但實(shí)際中：難；不必?！翊胧河秒S機(jī)過程的數(shù)字特征來描繪隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡(jiǎn)單方便?！穹椒ǎ呵箅S機(jī)過程數(shù)字特征的方法有“統(tǒng)計(jì)平均”和“時(shí)間平均”兩種。統(tǒng)計(jì)平均：對(duì)隨機(jī)過程

X(t)某一特定時(shí)刻不同實(shí)現(xiàn)的可能取值X(ti)－－隨機(jī)變量

，用統(tǒng)計(jì)方法得出的種種平均值叫統(tǒng)計(jì)平均。時(shí)間平均：對(duì)隨機(jī)過程X(t)的某一特定實(shí)現(xiàn)xi(t)

，用數(shù)學(xué)分析方法對(duì)時(shí)間求平均得出的種種平均值叫時(shí)間平均。2023/2/413－－隨機(jī)過程在任意給定時(shí)刻t的數(shù)學(xué)期望。（1）隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望（均值）隨機(jī)過程X(t)在任意給定時(shí)刻t1的取值X(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為

式中f1

(x1,t1)－X(t1)的概率密度函數(shù)。由于t1是任取的，所以可以把t1

直接寫為t，x1改為x，這樣2023/2/414a(t)X(t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a(t)，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心，故又常被稱為統(tǒng)計(jì)平均或均值。

2023/2/415（2）方差均方值均值平方方差常記為2(t)。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫成了t

。因?yàn)? 所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t相對(duì)于均值a(t)的偏離程度。2023/2/416（3）相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差－－隨機(jī)過程不同時(shí)刻取值之間的相互關(guān)系假定：X(t1)和X(t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量。（A）自相關(guān)函數(shù)－－同一隨機(jī)過程的相關(guān)程度f2(x1,x2;t1,t2)－X(t)的二維概率密度函數(shù)?？梢钥闯觯琑(t1,t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。（B）協(xié)方差函數(shù)=R(t,τ)2023/2/417相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系：●特別：若a(t)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)（C）互相關(guān)函數(shù)－－兩個(gè)不同隨機(jī)過程X(t)、Y(t)的相關(guān)程度--統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)--相互正交●相應(yīng)地：R(t1,t2)稱為自相關(guān)函數(shù)。●特別：2023/2/418●顯然：若aX(t)或aY(t)=0，則BXY(t1,t2)=RXY

(t1,t2)（D）互協(xié)方差函數(shù)則稱X(t)和Y(t)互不相關(guān)?！裉貏e：若●統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)過程是不相關(guān)的。問：統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、互不相關(guān)、正交的關(guān)系。2023/2/419

2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程

2.3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念

1.定義

若一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，它的任意n維分布或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，即對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有則稱X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。2023/2/4202.性質(zhì)－－該定義表明：平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變。特別是：●一維分布函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)：3.數(shù)字特征●而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔

=t2–t1有關(guān)：可見：（1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a；

（2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，為R(τ)。2023/2/421嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征：（1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a；

（2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。

4.廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程把同時(shí)滿足（1）和（2）的隨機(jī)過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。意義：●具有各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程－－十分有趣，非常有用。●通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)、具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程。2023/2/4222.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性●問題的提出隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對(duì)隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測(cè)得大量的樣本。

問題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?●回答是肯定的：平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一種十分有用的特性----“各態(tài)歷經(jīng)性”（或稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替?！駰l件？2023/2/423●各態(tài)歷經(jīng)性條件設(shè)：xi(t)是平穩(wěn)過程X(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為：如果平穩(wěn)過程使下式成立則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。2023/2/424●“各態(tài)歷經(jīng)”的含義隨機(jī)過程中的任何一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)，其任一樣本都蘊(yùn)含著平穩(wěn)隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息。

●各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的特點(diǎn)－－好處在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替過程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算問題大為簡(jiǎn)化?！褡ⅲ壕哂懈鲬B(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。2023/2/425

例2-1、2-2

設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為其中，A和c均為常數(shù)；是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論X(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性?！窘狻浚?）先求X(t)的統(tǒng)計(jì)平均值。均值：－－與t無關(guān)2023/2/426

－－僅只與時(shí)間間隔有關(guān)。所以：X(t)是廣義平穩(wěn)過程。自相關(guān)函數(shù)：令t2–t1=，得到2023/2/427結(jié)論：隨機(jī)相位正弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。（2）求X(t)的時(shí)間平均值綜上，有2023/2/4282.3.3平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)－－特別重要，因?yàn)椋骸衿椒€(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等，可通過相關(guān)函數(shù)來描述?！裣嚓P(guān)函數(shù)揭示了隨機(jī)過程的頻譜特性。（1）平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：（2）平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)特別：均值為0時(shí)，有：平均功率R(0)=2—的偶函數(shù)—R()的上界，R()在

=0有最大值?！猉(t)的平均功率—X(t)的直流功率—X(t)的交流功率1）2）3）4）5）2023/2/4292）---R(τ)

的上界。證：由于

從而

所以，得對(duì)性質(zhì)2）、4）、5）證明如下。2023/2/4304）

----X(t)的直流功率。證：注：這里利用了當(dāng)τ→∞時(shí)X(t)與X(t+τ)變得沒有依賴關(guān)系，即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且認(rèn)為X(t)不含有周期分量。5）

----方差為X(t)的交流功率。證：由證畢。2023/2/4312.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度PX(ω)

－－相關(guān)函數(shù)R(τ)的又一重要性質(zhì)。

設(shè)：X(t)平穩(wěn)，R(τ)絕對(duì)可積則在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。意義：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉關(guān)系。簡(jiǎn)記為：維納-辛欽關(guān)系2023/2/432證明：由信號(hào)與系統(tǒng)課程知道，對(duì)于任意確定功率信號(hào)x(t)，其功率譜密度為式中，是x(t)的短截函數(shù)xT(t)的頻譜函數(shù)。對(duì)于功率型平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，它的任一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可以由上式確定。但一般而言，不同實(shí)現(xiàn)具有不同的譜密度。因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對(duì)所有實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即2023/2/433我們還知道，非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，也就是說，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度PX(ω)與其自相關(guān)函數(shù)R(τ)也是一對(duì)傅里葉變換，即2023/2/434討論：（1）對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的平均功率：－－從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算方法。（2）各態(tài)歷經(jīng)過程的任一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度等于過程的功率譜密度：即，任一實(shí)現(xiàn)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過程的譜特性?！咀C】對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程，有兩邊同取傅里葉變換，得此即2023/2/435【解】由例2-1已經(jīng)得知隨相信號(hào)是一個(gè)平穩(wěn)過程，且其相關(guān)函數(shù)為例2-3

試求隨相正弦波X(t)=Acos(ct+)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和和平均功率。又由得

功率譜密度

平均功率

2023/2/4362.4高斯隨機(jī)過程

－－通信中最重要也是最常見的過程。

2.4.1高斯過程的定義

若隨機(jī)過程X(t)的任意n維分布（n=1,2,…）均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。

n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式見

式（2.4.1）～（2.4.3）

特點(diǎn)：高斯過程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對(duì)于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。2023/2/437（2.4-1）

n維正態(tài)概率密度函數(shù)為（2.4-2）（2.4-3）式中，歸一化協(xié)方差矩陣的行列式歸一化協(xié)方差函數(shù)----均值、方差為行列式中元素bjk的代數(shù)余因子。

2023/2/438特別情況下，當(dāng)n=1時(shí)，式（2.4-1）簡(jiǎn)單為此即為高斯過程X(t)在時(shí)刻t1取值所得隨機(jī)變量X(t1)的一維概率密度函數(shù)，顯見其為正態(tài)的。式中，a1為X(t1)的均值，為X(t1)的方差。（2.4-4）一維時(shí)：2023/2/4392.4.2高斯過程的重要性質(zhì)－－由定義可分析出（1）高斯過程若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn)。（2）高斯過程中的隨機(jī)變量X(t1)、X(t2)、X(t3)、…之間若不相關(guān)，則它們也必是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。意義：這種情況下，隨機(jī)過程極其復(fù)雜的n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示轉(zhuǎn)化為n個(gè)簡(jiǎn)單的一維分布的乘積。（3）若干個(gè)高斯過程之和仍是高斯過程。－－從信號(hào)角度。（4）高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程。－－從系統(tǒng)角度。（2.4.5）（2.4-1）2023/2/440

則稱x為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量。

a－均值，2－方差。3.3.3高斯隨機(jī)變量高斯過程在任一時(shí)刻上的取值為高斯隨機(jī)變量。在分析系統(tǒng)抗噪聲性能時(shí)要反復(fù)用到。1.定義/概率密度函數(shù)若隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)可表示成●曲線：2023/2/441●性質(zhì)：1）對(duì)稱于直線x=a;

2）在內(nèi)單調(diào)上升，在內(nèi)單調(diào)下降，且在a點(diǎn)處達(dá)到極大值;3）

4）a表示分布中心，表示集中的程度。一定時(shí)，……。2023/2/4422.正態(tài)分布函數(shù)（1）一般表示式這個(gè)積分不易計(jì)算，常引入誤差函數(shù)或Q函數(shù)（可查表）來表述。2023/2/443（3）用誤差函數(shù)表示

正態(tài)分布函數(shù)常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。

1）誤差函數(shù)定義誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：附錄B2023/2/4442）誤差函數(shù)的性質(zhì)●誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：●互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：2023/2/4453）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)或：2023/2/446（2）用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)

Q函數(shù)定義：Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：

Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：Q函數(shù)值也可以從查表得到。2023/2/447

2.5平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

2.5.1輸出過程的表達(dá)式

線性系統(tǒng)復(fù)習(xí)：

設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為：h(t)、H(ω)。周知：線性系統(tǒng)響應(yīng)y(t)等于輸入信號(hào)x(t)與沖擊響應(yīng)h(t)的卷積，即：確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)：2023/2/448

理解：

●上式對(duì)于確知信號(hào)是沒有問題的。

●當(dāng)輸入是隨機(jī)過程X

(t)的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)時(shí)，也應(yīng)成立。即，如果把x(t)看作是輸入隨機(jī)過程X(t)的某一個(gè)樣本，則y(t)將是輸出隨機(jī)過程Y(t)的一個(gè)相應(yīng)的樣本。

●這一關(guān)系可以拓寬到包含所有樣本的隨機(jī)過程。即當(dāng)輸入是隨機(jī)過程X(t)時(shí)，便有輸出隨機(jī)過程Y(t)。且有：

隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)：2023/2/4492.5.2輸出隨機(jī)過程

Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性任務(wù)：假設(shè)X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且已知其統(tǒng)計(jì)特性，求Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性。注：考察一個(gè)實(shí)現(xiàn)就夠了。假設(shè)：X(t)

－是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程，且 均值－aX

， 自相關(guān)函數(shù)－RX()

， 功率譜密度－PX()

；求輸出過程Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性：均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。2023/2/4501.Y(t)的均值結(jié)論：●線性系統(tǒng)輸出過程的均值，是輸入過程均值與系統(tǒng)直流增益的乘積?！褫敵鲞^程的均值與時(shí)間無關(guān)。－－與t無關(guān)。對(duì)兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，有2023/2/4512.

Y(t)的相關(guān)函數(shù)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義－－僅與τ有關(guān)。綜上:

Y(t)平穩(wěn)。2023/2/452由進(jìn)行傅里葉變換，得3.Y(t)的功率譜密度令=-+

，代入上式，得到即結(jié)論：----2023/2/453由于已假設(shè)X(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和－－輸出過程也為高斯過程。注：與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變。4.Y(t)的概率分布函數(shù)結(jié)論：證：從積分原理看可以表示為：2023/2/4542.6窄帶隨機(jī)過程→窄帶過程

2.6.1窄帶隨機(jī)過程的概念

1.什么叫窄帶隨機(jī)過程？

頻譜：所占頻帶較窄，滿足Δf<<fc的隨機(jī)過程叫～。

時(shí)域：用示波器觀察，看到某個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形－－幅度和相位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。2023/2/455問：窄帶隨機(jī)過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的?可以看出：●X(t)的統(tǒng)計(jì)特性由ρ(t)和(t)或ac(t)和as(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。●若X(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則ρ(t)和(t)或ac(t)和as(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。2.表達(dá)式－－兩種！2023/2/4562.6.2

已知X(t)的統(tǒng)計(jì)特性，求ac(t)、as(t)的統(tǒng)計(jì)特性僅給出結(jié)論，詳細(xì)證明見教材。結(jié)論：若：X(t)是均值為0、方差為σ2、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機(jī)過程。則：（1）ac(t)、as(t)同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程；（2）ac(t)、as(t)的均值與X(t)的相同，皆為0，即

（3）ac(t)、as(t)的方差與X(t)的相同，皆為σ2

，即（4）在同一時(shí)刻（即τ=0）上得到的ac(t)及as(t)互不相關(guān)，或說統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。2023/2/4572.6.3

已知X(t)的統(tǒng)計(jì)特性，求ρ(t)、(t)的統(tǒng)計(jì)特性

僅給出結(jié)論，詳細(xì)證明見教材。結(jié)論：若：X(t)是均值為0、方差為σ2、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機(jī)過程。則：（1）其包絡(luò)ρ(t)的一維概率密度呈瑞利分布；（2）其相位(t)的一維概率密度呈均勻分布；（3）ρ(t)與(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。2023/2/4582.7正弦波加窄帶高斯噪聲2.7.1合成波的表達(dá)式信號(hào)經(jīng)過信道傳輸時(shí)，總會(huì)受到噪聲的干擾，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個(gè)BPF，用以濾除信號(hào)頻帶以外的噪聲。BPF的輸出是信號(hào)與窄帶噪聲的混合波形，最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波：其中：代表各種可能的已調(diào)載波信號(hào)，A、ωc、θ皆可視為確知量；是均值為0，方差為的窄帶高斯噪聲，其為窄帶高斯過程。

2023/2/459展開上式，有：其中：2023/2/4602.7.2

統(tǒng)計(jì)特性（1）同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論若：n(t)均值為0、方差為σ2、窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程;θ給定。則：（1）zc(t)、zs(t)同樣是窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程；（2）且－－方差相同，同于n(t)

；（3）但：E[zc(t)]=

E[zs(t)]=（4）在同一時(shí)刻（即τ=0）上得到的zc及zs互相關(guān)函數(shù)為0，即zc與zs互不相關(guān)，或說統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。2023/2/461（2）合成包絡(luò)z(t)和相位(t)的統(tǒng)計(jì)特性可以證明：

1）隨機(jī)包絡(luò)服從廣義瑞利分布（也稱萊斯（Rice）分布）2）隨機(jī)相位分布與信道中的信噪比有關(guān)，不再是均勻分布了。圖2-7

正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位分布

2023/2/462討論：正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性與信噪比γ有關(guān)。

●包絡(luò)：小信噪比時(shí)，接近于瑞利分布；大信噪比時(shí)，接近于高斯分布?！裣辔唬盒⌒旁氡葧r(shí)，接近于均勻分布，它反映這時(shí)窄帶高斯噪聲為主的情況；大信噪比時(shí)，主要集中在有用信號(hào)相位附近。2023/2/4632.8高斯白噪聲和帶限白噪聲2.8.1白噪聲

在通信系統(tǒng)的抗噪聲性能分析時(shí)，常把通信信道中的噪聲源視為高斯白噪聲。

1.定義：凡功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，稱