第二講多屬性決策分析+物元

多屬性決策分析多目標(biāo)決策與多屬性決策的劃分多目標(biāo)決策(multi-objectivedecisionmaking)

決策變量是連續(xù)型的（即備選方案有無限多個(gè)），求解這類問題的關(guān)鍵是向量優(yōu)化，即數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。多屬性決策(multi-attributedecisionmaking)

。 決策變量是離散型的（即備選方案數(shù)量為有限多個(gè)），求解這類問題的核心是對(duì)各備選方案進(jìn)行評(píng)價(jià)后排定各方案的優(yōu)劣次序，再從中擇優(yōu)。多屬性決策指標(biāo)體系多屬性多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)有兩個(gè)顯著特點(diǎn):指標(biāo)間的不可公度性 即多屬性指標(biāo)之間沒有統(tǒng)一量綱，難用同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)價(jià)。指標(biāo)之間的矛盾性 提高了這個(gè)指標(biāo)值，可能損害另一指標(biāo)值。問題： 如何解決指標(biāo)間的不可公度性和矛盾性？多屬性決策指標(biāo)體系指標(biāo)體系的基本概念多屬性決策的指標(biāo)體系

由多個(gè)相互聯(lián)系、相互依存的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按照一定層次結(jié)構(gòu)組合而成，具有特定評(píng)價(jià)功能的有機(jī)整體。 單一的評(píng)價(jià)指標(biāo)只能反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的某一具體特征，要全面、準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)一個(gè)系統(tǒng)，首先要構(gòu)建合理的指標(biāo)體系。社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)

經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)

社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)

社會(huì)性指標(biāo)

技術(shù)性指標(biāo)

資源性指標(biāo)

政策性指標(biāo)

基礎(chǔ)設(shè)施指標(biāo)

其他指標(biāo)產(chǎn)值、收入、成本、稅金、投資額、投資回收期、固定資產(chǎn)等等人員素質(zhì)、社會(huì)福利、生態(tài)環(huán)境、就業(yè)機(jī)會(huì)等產(chǎn)品性能、可靠性、工藝水平、人員素質(zhì)等礦產(chǎn)資源、水源、土地、人力等國家和地方的政策、法令、計(jì)劃等交通、供水、供電等特定決策系統(tǒng)的特有指標(biāo)，如凈現(xiàn)值多屬性決策指標(biāo)體系指標(biāo)體系設(shè)置的原則系統(tǒng)性原則指標(biāo)體系應(yīng)反映系統(tǒng)的整體性能和綜合情況，指標(biāo)體系的整體評(píng)價(jià)功能應(yīng)大于各指標(biāo)的簡單總和。指標(biāo)體系應(yīng)層次清晰，結(jié)構(gòu)合理，相互關(guān)聯(lián)，協(xié)調(diào)一致。應(yīng)抓住主要因素，既能反映直接效果，又能反映間接效果，保證決策的全面性和可信度。多屬性決策指標(biāo)體系指標(biāo)體系設(shè)置的原則可比性原則決策指標(biāo)和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的制定應(yīng)客觀實(shí)際，便于比較。指標(biāo)間應(yīng)避免顯見的包含關(guān)系，隱含的相關(guān)關(guān)系應(yīng)以適當(dāng)?shù)姆椒右韵?。不同量綱的指標(biāo)應(yīng)按特定的規(guī)則作標(biāo)準(zhǔn)化處理，化為無量綱指標(biāo)，以便于整體綜合評(píng)價(jià)。指標(biāo)處理中應(yīng)保持同趨勢(shì)化，以保證指標(biāo)間的可比性。多屬性決策指標(biāo)體系指標(biāo)體系設(shè)置的原則科學(xué)性原則定性分析與定量分析相結(jié)合。定量指標(biāo)應(yīng)注意絕對(duì)量和相對(duì)量的結(jié)合使用。實(shí)用性原則指標(biāo)應(yīng)涵義明確，數(shù)據(jù)規(guī)范，口徑一致，資料收集可靠。指標(biāo)設(shè)計(jì)應(yīng)符合國家和地方的政策法規(guī)，口徑和計(jì)算應(yīng)與通用的會(huì)計(jì)、統(tǒng)計(jì)、業(yè)務(wù)核算協(xié)調(diào)一致，便于統(tǒng)計(jì)和計(jì)算。多屬性決策指標(biāo)體系決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

將不同量綱的指標(biāo)，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，化為無量綱的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)。決策指標(biāo)的變化方向效益型（正向）指標(biāo)：越大越優(yōu)成本型（逆向）指標(biāo)：越小越優(yōu)中立型指標(biāo)：在某中間點(diǎn)最優(yōu) （如人的體重）多屬性決策指標(biāo)體系決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)有 n個(gè)決策指標(biāo)fj（1≤j≤n）

m個(gè)可行方案ai（1≤i≤m）m個(gè)方案n個(gè)指標(biāo)構(gòu)成決策矩陣：多屬性決策指標(biāo)體系決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

向量歸一化法

令：稱矩陣Y＝(yij)m×n為向量歸一標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。矩陣Y的列向量模等于1，即注：向量歸一標(biāo)準(zhǔn)化后

①0≤yij≤1； ②正、逆向指標(biāo)的方向沒有發(fā)生變化。決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

線性比例變換法在決策矩陣X中，對(duì)于正向指標(biāo)fj，取：令：對(duì)于負(fù)向指標(biāo)fj，取：令：稱矩陣Y＝(yij)m×n為線性比例標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。注：經(jīng)線性比例變換后①0≤yij≤1；②所有指標(biāo)均化為正向指標(biāo)；③最優(yōu)值為1。決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

極差變換法在決策矩陣X中，對(duì)于正向指標(biāo)fj，取：對(duì)于負(fù)向指標(biāo)fj，?。毫睿悍Q矩陣Y＝(yij)m×n為極差變換標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。注：經(jīng)極差變換后①0≤yij≤1；②所有指標(biāo)均化為正向指標(biāo)；③最優(yōu)值為1，最劣值為0。決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

標(biāo)準(zhǔn)樣本變換法在決策矩陣X中，令：其中：稱矩陣Y＝(yij)m×n為標(biāo)準(zhǔn)樣本變換矩陣。注：經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)樣本變換后標(biāo)準(zhǔn)化矩陣的樣本均值為0，方差為1。決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化定性指標(biāo)量化處理方法

將定性指標(biāo)依問題的性質(zhì)劃分為若干級(jí)別，每一級(jí)別分別賦以不同的量值。如：分五級(jí)賦以分值等級(jí)指標(biāo)很低低一般高很高正向指標(biāo)13579逆向指標(biāo)97531分值【例1】某航空公司欲購買飛機(jī)

按6個(gè)決策指標(biāo)對(duì)不同型號(hào)的飛機(jī)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。這6個(gè)指標(biāo)是，最大速度(f1)、最大范圍(f2)、最大負(fù)載(f3)、價(jià)格(f4)、可靠性(f5)、靈敏度(f6)?，F(xiàn)有4種型號(hào)的飛機(jī)可供選擇，具體指標(biāo)值如下表：

指標(biāo)(fj)機(jī)型(ai)

最大速度(馬赫)最大范圍(公里)最大負(fù)載(千克)費(fèi)用(106美元)可靠性靈敏度a12.01500200005.5一般很高a22.52700180006.5低一般a31.82000210004.5高高a491800200005.0一般一般【例1】寫出決策矩陣，并進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。解：第一步，劃分各類指標(biāo) 正向指標(biāo)：f1、f2、f3；負(fù)向指標(biāo)：f4； 定性指標(biāo)：f5、f6。第二步，將定性指標(biāo)化為定量指標(biāo)，得到如下決策矩陣:【例1】解：第三步，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理向量歸一化法

令：【例1】解：第三步，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理線性比例變換法極差變換法決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

極差變換法的改進(jìn)在決策矩陣X中，對(duì)于正向指標(biāo)fj，?。簩?duì)于負(fù)向指標(biāo)fj，?。毫睿鹤儞Q后①1≤yij≤100；②所有指標(biāo)均化為正向指標(biāo)；③最優(yōu)值為100，最劣值為1。多屬性決策指標(biāo)體系決策指標(biāo)權(quán)重的確定指標(biāo)權(quán)重

表示各指標(biāo)相對(duì)于決策目標(biāo)的重要性程度，或表示一種效益替換另一種效益的比例系數(shù)。確定指標(biāo)權(quán)重的方法

主觀賦權(quán)法：根據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)和判斷，用某種特定法則測(cè)算出指標(biāo)權(quán)重的方法?？陀^賦權(quán)法：依據(jù)決策矩陣提供的評(píng)價(jià)指標(biāo)的客觀信息，用某種特定法則測(cè)算出指標(biāo)權(quán)重的方法。決策指標(biāo)權(quán)重的確定幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法1.

相對(duì)比較法（屬于主觀賦權(quán)法）

將所有指標(biāo)按三級(jí)比例標(biāo)度兩兩相對(duì)比較評(píng)分，三級(jí)比例標(biāo)度的含義是：顯然：注意：評(píng)分時(shí)應(yīng)滿足比較的傳遞性，即若f1比f2重要，f2又比f3重要，則f1比f3重要。決策指標(biāo)權(quán)重的確定幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法1.

相對(duì)比較法（屬于主觀賦權(quán)法）

指標(biāo)fi的權(quán)重系數(shù)為確定例1中6個(gè)指標(biāo)的權(quán)重解：1.

相對(duì)比較法

指標(biāo)fi指標(biāo)fi

f1f2f3f4f5f6評(píng)分總計(jì)權(quán)重wif10.51110.50f200.50.50.500f300.50.50.500f400.50.50.500f50.51110.50f6111110.5評(píng)分值41.51.51.545.5∑：182/91/121/121/122/911/36幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法2.

連環(huán)比率法（屬于主觀賦權(quán)法）

將所有指標(biāo)以任意順序排列，不妨設(shè)為：f1,f2,…,fn。從前到后，依次賦以相鄰兩指標(biāo)相對(duì)重要程度的比率值。指標(biāo)fi與fi＋1比較，賦以指標(biāo)fi以比率值ri

（i=1，2，…，n-1）并賦以rn=1。幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法2.

連環(huán)比率法（屬于主觀賦權(quán)法）

計(jì)算各指標(biāo)的修正評(píng)分值。賦以fn的修正評(píng)分值kn＝1，根據(jù)比率值ri計(jì)算各指標(biāo)的修正評(píng)分值：ki＝ri·ki+1 （i=1，2，…，n-1）歸一化處理，求出各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)值。即【例3】確定例1中6個(gè)指標(biāo)的權(quán)重解：2.

連環(huán)比率法

指標(biāo)fi

比率值修正評(píng)分值指標(biāo)權(quán)重wif13f21f31f41/3f51/2f61∑11/21/61/61/61/25/21/51/151/151/151/52/5幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法3.

熵值法（屬于客觀賦值法）利用指標(biāo)熵值確定權(quán)重，熵越大，權(quán)重越小。

對(duì)決策矩陣X=(xij)m×n用線性比例變換法作標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y=(yij)m×n

，并進(jìn)行歸一化處理，得:計(jì)算第j個(gè)指標(biāo)的熵值，其中，k＞0，ej≥0幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法3.

熵值法（屬于客觀賦值法）

計(jì)算第j個(gè)指標(biāo)的差異系數(shù)確定指標(biāo)權(quán)重。第j個(gè)指標(biāo)的權(quán)重為【例3】確定例1中6個(gè)指標(biāo)的權(quán)重解：3.

熵值法

歸一化處理得：【例3】確定例1中6個(gè)指標(biāo)的權(quán)重解：計(jì)算第j個(gè)指標(biāo)的熵值（取k＝0.5）

得：差異系數(shù)：指標(biāo)權(quán)重為：幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法4.專家咨詢法(Delphi法)

（屬于主觀賦值法）設(shè)有n個(gè)決策指標(biāo)f1,f2,…,fn，組織m個(gè)專家咨詢，每個(gè)專家確定一組指標(biāo)權(quán)重估計(jì)值對(duì)m個(gè)專家給出的權(quán)重估計(jì)值平均，得到平均估計(jì)值計(jì)算估計(jì)值和平均估計(jì)值的偏差幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法4.專家咨詢法(Delphi法)

（屬于主觀賦值法）對(duì)偏差△ij較大的第j個(gè)指標(biāo)的權(quán)重估計(jì)值，再請(qǐng)專家i重新估計(jì)第j個(gè)指標(biāo)的權(quán)重。反復(fù)進(jìn)行以上步驟，直至偏差滿足一定要求為止。這樣就得到一組權(quán)重指標(biāo)的平均估計(jì)修正值。多指標(biāo)決策方法簡單線性加權(quán)法根據(jù)實(shí)際情況，先確定各決策指標(biāo)的權(quán)重，再對(duì)決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，求出各方案的線性加權(quán)指標(biāo)平均值，并以此作為各可行方案排序的判據(jù)。注意

標(biāo)準(zhǔn)化處理時(shí)，應(yīng)當(dāng)使所有的指標(biāo)正向化。簡單線性加權(quán)法簡單線性加權(quán)法的基本步驟用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定各決策指標(biāo)的權(quán)重，設(shè)權(quán)重向量為：

決策矩陣X=(xij)m×n標(biāo)準(zhǔn)化得Y=(yij)m×n，要求標(biāo)準(zhǔn)化之后的指標(biāo)均為正向指標(biāo)；

求出各方案的線 性加權(quán)指標(biāo)值：

選擇ui最大者為最 滿意方案，即：【例4】

用簡單線性加權(quán)法對(duì)例1的購機(jī)問題進(jìn)行決策解：①用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定各決策指標(biāo)的權(quán)重為：

用線性比例法將決策矩陣

X=(xij)m×n標(biāo)準(zhǔn)化得Y=(yij)m×n；

求出各方案的線性加權(quán)指標(biāo)值ui：

ui最大者為0.851，故滿意方案為方案4。多指標(biāo)決策方法理想解法（TOPSIS）通過構(gòu)造多指標(biāo)問題的理想解和負(fù)理想解，并以靠近理想解和遠(yuǎn)離負(fù)理想解兩個(gè)基準(zhǔn)，作為評(píng)價(jià)各可行方案的判據(jù)。理想解 是設(shè)想各指標(biāo)屬性都達(dá)到最滿意值的解。負(fù)理想解 是設(shè)想各指標(biāo)屬性都達(dá)到最不滿意值的解。 又稱雙基點(diǎn)法，逼近理想解的排序方法。理想解與負(fù)理想解

設(shè)決策問題有m個(gè)可行方案a1,a2

,…,am，兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)f1、f2，不妨設(shè)二指標(biāo)均為正向指標(biāo)。方案ai的二指標(biāo)值記為xi1,xi2，于是方案ai可以用平面f1f2上的點(diǎn)Ai(xi1,xi2)表示。記：則： 理想解為A*(x*1,x*2)；

負(fù)理想解為A-(x-1,x-2)。理想解與負(fù)理想解f1f2OA1A2A3AmA*A-問題：如何表示各方案目標(biāo)值靠近理想解和遠(yuǎn)離負(fù)理想解的程度？相對(duì)貼近度

設(shè)方案ai對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Ai到理想點(diǎn)A*和負(fù)理想點(diǎn)A-的距離分別為：定義方案ai與理想解、負(fù)理想解的相對(duì)貼近度為滿足：0≤Ci*≤1；

理想點(diǎn)Ci*＝1，負(fù)理想點(diǎn)Ci*＝0；方案逼近理想解而遠(yuǎn)離負(fù)理想解時(shí)Ci*→1。理想解法的基本步驟用向量歸一化法對(duì)決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y=(yij)m×n；用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定各決策指標(biāo)的權(quán)重wj，計(jì)算加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣：

確定理想解和負(fù)理想解正向指標(biāo)集負(fù)向指標(biāo)集理想解法的基本步驟計(jì)算各方案到理想解和負(fù)理想解的距離

計(jì)算各方案的相對(duì)貼近度Ci*，相對(duì)貼近度大者為優(yōu)，小者為劣?！纠?】用理想解法對(duì)例1的購機(jī)問題進(jìn)行決策解：①求決策矩陣的向量歸一標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y適當(dāng)?shù)姆椒ù_定各決策指標(biāo)的權(quán)重為：計(jì)算加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣：V=(wj·yij)m×n；正正 正 負(fù)！ 正 正【例5】解：③確定理想解和負(fù)理想解

計(jì)算各方案到理想解和負(fù)理想解的距離；

計(jì)算各方案的相對(duì)貼近度Ci*

：Ci*最大的方案最優(yōu)，故滿意方案為方案1。多指標(biāo)決策方法改進(jìn)的理想解法利用決策矩陣的信息，客觀地賦以各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，并以各方案到理想點(diǎn)距離的加權(quán)平方和作為綜合評(píng)價(jià)的判據(jù)，更簡便實(shí)用。設(shè)權(quán)重向量（待定）為：最優(yōu)的權(quán)重系數(shù)應(yīng)滿足：符號(hào)含義與理想解法相同改進(jìn)的理想解法注意到：

vij=wj·yij用求解條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，可以解得：改進(jìn)的理想解法的基本步驟將決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得Y=(yij)m×n確定標(biāo)準(zhǔn)化矩陣的理想解

按式（7.18）計(jì)算各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)wj (j=1,2,…,n)

計(jì)算各方案到理想解的距離平方di，并按di對(duì)方案排序：di越小，方案越優(yōu)?！纠?】用改進(jìn)的理想解法對(duì)例7.1的購機(jī)問題進(jìn)行決策解：①求決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y（以極差變換標(biāo)準(zhǔn)化矩陣為例）正正 正 負(fù)！正 正

標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y的理想解為Y*={1,1,1,0,1,1}【例6】解：按式（18）計(jì)算各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)wj

計(jì)算各方案到理想解的距離平方dj：得按dj對(duì)方案排序：di越小，方案越優(yōu)。因此最優(yōu)方案為方案1。多指標(biāo)決策方法功效系數(shù)法將各決策指標(biāo)的相異度量，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的無量綱的功效系數(shù)，再進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的多指標(biāo)決策方法。功效系數(shù)的計(jì)算 設(shè)第j個(gè)指標(biāo)的滿意值為，不允許值為功效系數(shù)為：滿意值的功效系數(shù)為100，不允許值的功效系數(shù)60。功效系數(shù)法功效系數(shù)法的基本步驟確定決策指標(biāo)體系 設(shè)決策矩陣為X=(xij)m×n，用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定指標(biāo)的權(quán)重向量

計(jì)算各指標(biāo)值的功效系數(shù)dij

計(jì)算各方案的總功效系數(shù)

以總功效系數(shù)為判據(jù)，對(duì)各方案進(jìn)行排序。 功效系數(shù)越大，方案越優(yōu)；功效系數(shù)越小，方案越劣?！纠?】用功效系數(shù)法對(duì)例1的購機(jī)問題進(jìn)行決策。解：①用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定指標(biāo)的權(quán)重向量為計(jì)算各指標(biāo)值的功效系數(shù)dij負(fù)！【例7】解：計(jì)算各指標(biāo)值的功效系數(shù)dij

計(jì)算各方案的總功效系數(shù)di

以總功效系數(shù)為判據(jù)，對(duì)各方案進(jìn)行排序。 功效系數(shù)越大，方案越優(yōu)；功效系數(shù)越小，方案越劣。因此方案3最優(yōu)。物元分析法物元分析是研究解決不相容問題的規(guī)律和方法的新興學(xué)科，是思維科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、數(shù)學(xué)三者的交叉邊緣學(xué)科。它的中心是研究“出點(diǎn)子、想辦法”的規(guī)律、理論和方法。它的數(shù)學(xué)工具是建基于可拓集合基礎(chǔ)上的可拓?cái)?shù)學(xué)。物元分析本身不是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在它的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)中還需要保留一定的開放環(huán)節(jié)。在這些環(huán)節(jié)中，人腦思維與客觀實(shí)際要在這里發(fā)揮作用。它是在經(jīng)典數(shù)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來而又有別于它們的新學(xué)科。物元決策方法物元分析和矛盾問題現(xiàn)實(shí)世界存在各式各樣的矛盾，物元分析研究處理矛盾問題的理論和方法。物元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是可拓集合論經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是經(jīng)典集合論。在經(jīng)典集合中，一個(gè)元素與某個(gè)集合的關(guān)系，要么屬于它，要么不屬于它，二者必居其一。模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是模糊集合論。在模糊集合論中，一個(gè)元素與某個(gè)集合的關(guān)系，或者屬于它，或者不屬于它，或者在一定程度上屬于它，三者必居其一。物元分析和矛盾問題物元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是可拓集合論 事物是處于不斷的運(yùn)動(dòng)和變化中的，經(jīng)典集合論不能描述事物及其性質(zhì)的可變性?？赏丶涎芯坎粚儆谀臣系帜軌蜣D(zhuǎn)化為屬于該集合的元素及其變換性質(zhì)。經(jīng)典案例：曹沖稱象、轉(zhuǎn)換橋、空城計(jì)物元決策方法物元和可拓集合的基本概念人、事統(tǒng)稱事物。事物各具不同的特征，事物的特征又由相應(yīng)的量值所規(guī)定。名稱、特征和量值是事物的三要素。定義1（物元） 設(shè)事物的名稱為N，關(guān)于特征C的量值為V，則三元有序組 R＝（N,C,V） 稱為事物的基本元，簡稱物元。N，C，V稱為物元的三要素。物元和可拓集合的基本概念

若某事物有多個(gè)(n個(gè))特征記作c1,c2,…,cn，相應(yīng)量值記作v1,v2,…,vn，則物元記為稱為n維物元，簡記為R＝（N,C,V），其中：物元和可拓集合的基本概念定義2（物元變換）

使物元R0=(N0,C0,V0)變換為物元R=(N,C,V)或若干個(gè)物元Ri=(Ni,Ci,Vi)，i=1,2,…,n

稱為物元R0的變換，記作

TR0=R

或 TR0={R1,R2,…,Rn}

物元變換可以是對(duì)事物的特征、量值或它們組合的變換。物元和可拓集合的基本概念物元變換的基本運(yùn)算

設(shè)有物元R1,R2,R3積變換 若T1R1=R2，T2R2=R3，稱使R1變?yōu)镽3的變換為變換T2與T1的積變換。記作：

T=T2T1逆變換 若T1R1=R2，稱使R2變?yōu)镽1的變換為變換T的逆變換，記作T-1。有：

T-1(T1R1)=T-1R2=R1物元和可拓集合的基本概念物元變換的基本運(yùn)算

設(shè)有物元R1,R2,R3或變換 若T1R1=R2，T2R1=R3，稱使R1變?yōu)镽2或R3的變換為變換T1與T2的或變換。記作：

T=T1∨T2與變換 若T1R1=R2，T2R1=R3，稱使R1變?yōu)镽2和R3的變換為變換T1與T2的與變換。記作：

T=T1∧T2物元和可拓集合的基本概念定義3（關(guān)聯(lián)度、關(guān)聯(lián)函數(shù)）

設(shè)?是論域U上的一個(gè)可拓子集，若對(duì)任意u∈U，都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)則稱為元素u對(duì)?的關(guān)聯(lián)度。實(shí)值函數(shù)稱為可拓子集?

的關(guān)聯(lián)函數(shù)，簡記為K(u)。物元和可拓集合的基本概念定義4（經(jīng)典域、可拓域、非域）

稱 A＝{u|u∈U,K(u)≥0}

為可拓子集?的經(jīng)典域；

稱 ＝{u|u∈U,-1≤K(u)＜0}

為可拓子集?的可拓域；

稱 ＝{u|u∈U,K(u)＜-1}

為可拓子集?的非域。物元和可拓集合的基本概念定義5（點(diǎn)與區(qū)間的距）點(diǎn)x0

與區(qū)間X＝[a,b]的距離稱為點(diǎn)與區(qū)間的距，記作：點(diǎn)與區(qū)間的距對(duì)于開區(qū)間、半開半閉區(qū)間同樣適用。物元和可拓集合的基本概念定理1

設(shè)X0,X是實(shí)數(shù)域上的兩個(gè)區(qū)間，X?X0

，且無公共端點(diǎn)，令關(guān)聯(lián)函數(shù)則

x∈X0

的充要條件是：K(x)≥0；

x∈X－X0

的充要條件是：-1≤K(x)＜0；

x

?

X的充要條件是：K(x)＜-1

。物元和可拓集合的基本概念定義6（節(jié)域） 設(shè)有物元R=(N,C,V)，事物N關(guān)于特征C的允許取值范圍為V，子集V0?V。若在某限制條件下，對(duì)任意的x,y∈V0，x變?yōu)閥，事物N不變；而對(duì)任意的x∈V0，y

?V0，x變成y，事物N變?yōu)槌鱿拗茥l件的另一事物，則稱V0為該限制條件下N關(guān)于C的節(jié)域。物元和可拓集合的基本概念定義7（問題） 給定物元R和實(shí)現(xiàn)它的條件物元r，則稱他們構(gòu)成問題P，記作：P=R*r定義8（相容問題）

給定問題P=R*r，r=(N,C,V),K(x)是N關(guān)于C取值范圍V上的關(guān)聯(lián)函數(shù)。如果物元R要實(shí)現(xiàn)，N關(guān)于C必須取值V0(R)，則K(V0(R))

稱為問題P=R*r的相容度，簡記為Kr(R)

。 當(dāng)Kr(R)≥0時(shí)，問題R*r稱為相容問題；否則，稱為不相容問題。物元決策方法及其應(yīng)用物元決策模型的建模步驟：建立物元矩陣

確定評(píng)價(jià)產(chǎn)品質(zhì)量的經(jīng)典域和節(jié)域物元矩陣，并確定待評(píng)價(jià)產(chǎn)品的物元矩陣。確定經(jīng)典域物元矩陣其中N0

表示標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品，ci

(i=1,2,···,n)表示產(chǎn)品評(píng)價(jià)指標(biāo)，X0i=[a0i,b0i](i=1,2,···,