第07講 有理數(shù)的除法（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）解析版

第07講有理數(shù)的除法（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解有理數(shù)除法的意義,理解有理數(shù)除法與乘法的互

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）逆關(guān)系

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.掌握有理數(shù)的除法法則,能運(yùn)用法則熟練地進(jìn)行有理

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)數(shù)除法運(yùn)算以及四則混合運(yùn)算.

3.通過(guò)利用有理數(shù)除法法則進(jìn)行運(yùn)算的過(guò)程,體會(huì)轉(zhuǎn)化

的數(shù)學(xué)思想

知識(shí)點(diǎn)1.有理數(shù)除法法則（重點(diǎn)）

1

（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a?（b≠0）

?

（2）方法指引：

（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．

（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕

對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混

合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．

【例1】計(jì)算

1

(1)(－15)÷(－3)；(2)12÷(－)；

4

(3)(－0.75)÷(0.25)．

解析：采用有理數(shù)的除法：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除解答．

解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；

11

(2)12÷(－)＝－(12÷)＝－48；

44

(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.

方法總結(jié)：注意先確定運(yùn)算的符號(hào)．根據(jù)“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”的法則進(jìn)行計(jì)算．本題屬于基礎(chǔ)題，考

查對(duì)有理數(shù)的除法運(yùn)算法則掌握的程度．

【變式1-1】計(jì)算(?4)÷2的結(jié)果是（）

A．?2B．2C．?6D．?8

【答案】A

第1頁(yè)共33頁(yè).

【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則求解即可.

【詳解】解：(?4)÷2=?2；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法，屬于應(yīng)知應(yīng)會(huì)題型，熟知有理數(shù)的除法法則是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2】計(jì)算：___________×(?6)=?54．

【答案】9

【分析】根據(jù)乘法法則的關(guān)系進(jìn)行解答便可．

【詳解】解：∵?54÷(?6)=9，

∴9×(?6)=?54，

故答案為：9．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘法，有理數(shù)除法，熟記乘除法運(yùn)算的互逆關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【變式1-3】．在?2，3，?4，12這四個(gè)數(shù)中，任意兩個(gè)數(shù)相除，所得的商最小是______．

【答案】?6

【分析】取異號(hào)兩數(shù)相除，商絕對(duì)值較大．

【詳解】解：根據(jù)題意得，

商最小的是：12÷(?2)=?6．

故答案為：?6．

【點(diǎn)睛】本題有理數(shù)除法，有理數(shù)大小比較，靈活應(yīng)用除法法則解題是關(guān)鍵．

【例2】計(jì)算：

249

(1)(－18)÷(－)；(2)16÷(－)÷(－)．

338

解析：本題可采用有理數(shù)的除法：除以一個(gè)數(shù)就等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)解答．

233

解：(1)(－18)÷(－)＝(－18)×(－)＝18×＝27；

322

49383832

(2)16÷(－)÷(－)＝16×(－)×(－)＝16××＝.

3849493

方法總結(jié)：此題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算，有理數(shù)的除法運(yùn)算通常利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)

化為乘法運(yùn)算來(lái)求．

4

【變式2-1】把?÷?5轉(zhuǎn)化為乘法是（）．

34

54444

A．B．?×?4C．?×D．?×?5

3353534

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法運(yùn)算可進(jìn)行求解．

44

【詳解】解：?÷?5=?×?4，

3435

故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的除法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的除法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

21

【變式】?jī)蓚€(gè)數(shù)的積是?，其中一個(gè)是?，則另一個(gè)是．

2-296______

第2頁(yè)共33頁(yè).

【答案】4

3

【分析】根據(jù)題意列出算式即可求解．

224

【詳解】解：依題意?÷?1=?×(?6)=，

9693

故答案為：4．

3

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算，根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．

【變式2-3】計(jì)算：

11

(1)(?0.5)÷(?)(2)(?1.25)÷

44

4

÷(?12)÷÷

(3)7(4)(?378)(?7)(?9)

596

(5)(?0.75)÷÷(?0.3)(6)(?3.2)÷

45

9

(7)(?)÷2.5

14

119

【答案】(1)2，(2)?5，(3)?，(4)?6，(5)2，(6)?，(7)?

21635

【分析】（1）先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后再按照有理數(shù)除法法則計(jì)算即可；

（2）先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后再按照有理數(shù)除法法則計(jì)算即可；

（3）根據(jù)有理數(shù)除法法則計(jì)算即可；

（4）根據(jù)有理數(shù)除法法則計(jì)算即可；

（5）先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后再按照有理數(shù)除法法則計(jì)算即可；

（6）先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后再按照有理數(shù)除法法則計(jì)算即可；

（7）先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后再按照有理數(shù)除法法則計(jì)算即可．

11

【詳解】（1）解：(?0.5)÷(?)=×4=2．

42

15

（2）解：(?1.25)÷=?×4=?5．

44

4411

（3）解：÷(?12)=?×=?．

771221

11

（）解：÷÷=?378××=?6．

4(?378)(?7)(?9)79

53410

（5）解：(?0.75)÷÷(?0.3)=××=2．

4453

961651

（6）解：(?3.2)÷=?×=?．

55966

9929

（7）解：(?)÷2.5=?×=?．

1414535

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算，靈活運(yùn)用有理數(shù)的除法運(yùn)算法則成為解答本題的關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)2.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算（重點(diǎn)）

有理數(shù)乘除混合運(yùn)算通常是先將除法轉(zhuǎn)化成乘法,然后按照乘法法則,確定積的符號(hào),最后求出結(jié)果.

注意：除法沒(méi)有運(yùn)算律，只有將除法轉(zhuǎn)化為乘法后，才可以利用乘法的運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算

【例3】計(jì)算：

第3頁(yè)共33頁(yè).

51431

(1)－2.5÷×(－)；(2)(－)÷(－)×(－1)．

847142

解析：(1)把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，同時(shí)把除法變成乘法，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．(2)首先把乘

除混合運(yùn)算統(tǒng)一成乘法，再確定積的符號(hào)，然后把絕對(duì)值相乘，進(jìn)行計(jì)算即可．

581581

解：(1)原式＝－××(－)＝××＝1；

254254

41434143

(2)原式＝(－)×(－)×(－)＝－(××)＝－4.

732732

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算方法，先統(tǒng)一成乘法，再計(jì)算．

【變式3-1】計(jì)算(?1)÷(?5)×?1的結(jié)果是（）

5

11

．?．．?1．

A25B25CD1

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘除運(yùn)算法則和混合運(yùn)算順序，依次計(jì)算即可

【詳解】解：(?1)÷(?5)×?1

5

11

=×?

55

1

=?．

25

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

1

【變式】計(jì)算：÷7×=．

3-2(?48)7_____________

48

【答案】?

49

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則，從左往右依次計(jì)算即可．

11148

【詳解】解：÷7×=?48××=?，

(?48)77749

48

故答案為：?．

49

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于明確運(yùn)算順序．易錯(cuò)點(diǎn)是先計(jì)算乘法然后計(jì)算除

法．

【變式3-3】計(jì)算：

(1)(?3)÷?13×0.75÷?3×(?6)；

47

1

(2)?1×(?0.1)÷×(?10)；

525

(3)(?72)×?2×?3÷?8．

3515

【答案】(1)18

(2)?5

(3)54

【分析】（1）首先確定結(jié)果的符號(hào)，再把除法變?yōu)槌朔?，先約分，后相乘進(jìn)行計(jì)算即可；

第4頁(yè)共33頁(yè).

（2）首先確定結(jié)果的符號(hào)，再把除法變?yōu)槌朔ǎs分后相乘進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）首先計(jì)算括號(hào)里面的，再計(jì)算括號(hào)外面的乘法即可．

【詳解】（1）解：(?3)÷?13×0.75÷?3×(?6)

47

437

=3××××6

743

=18；

1

（2）解：?1×(?0.1)÷×(?10)

525

11

=?××25×10

510

=?5；

（3）解：(?72)×?2×?3÷?8

3515

2315

=72×××

358

9

=48×

8

=54．

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則．

知識(shí)點(diǎn)3.有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算（重點(diǎn)）

1.有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算

在運(yùn)算時(shí)要注意按照“先乘除,后加減”的順序進(jìn)行,如有括號(hào),應(yīng)先算括號(hào)里面的.在同級(jí)運(yùn)算中,要按從左到

右的順序來(lái)計(jì)算,并能合理運(yùn)用運(yùn)算律,簡(jiǎn)化運(yùn)算

2.計(jì)算器的使用

不同品牌的計(jì)算器操作方法可能有所不同,具體操作方法應(yīng)參考計(jì)算器的使用說(shuō)明,熟悉各功能鍵.另外,還要

注意以下幾點(diǎn):

(1)計(jì)算器要平穩(wěn)放置,以免按鍵時(shí)發(fā)生晃動(dòng)和滑動(dòng)

(2)計(jì)算開(kāi)始時(shí),要先按開(kāi)啟鍵;停止使用時(shí),要注意按關(guān)閉鍵

(3)確定按鍵順序后,按照算式從左到右的順序直接輸入

(4)在輸入數(shù)據(jù)和算式時(shí),每次按鍵都要注意顯示器上是否顯示出了相應(yīng)的數(shù)字或運(yùn)算符號(hào),以免因漏按或按

不實(shí)而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

(5)每次運(yùn)算時(shí),要按一下清零鍵

6)注意負(fù)數(shù)的輸入方式.

44?8?

【例4】計(jì)算：-81′-??-÷．

99è9?

解法：原式?44??8?

1-81′?-÷??-÷①

è99?è9?

第5頁(yè)共33頁(yè).

?8?

-81′0??-÷

è9?②

0③

44?9?

-81′-′?-÷

解法2：原式99è8?①

1

-36+

2②

1

-36

2③

(1)解法1是從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的；解法2是從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的；（填寫(xiě)序號(hào)即可）

(2)請(qǐng)給出正確解答．

【答案】(1)①；③(2)解答過(guò)程見(jiàn)詳解

(1)解：解法1，步驟①中“先算加減后算乘除”不符合有理數(shù)混合運(yùn)算法則，故步驟①錯(cuò)誤；

11

解法2，-36+1-36，步驟③不符合有理數(shù)加法法則，故步驟③錯(cuò)誤．

22

故答案為：①；③．

44?9?

(2)解：原式-81′-′?-÷

99è8?

1

-36+

2

1

-35

2

3231

【變式4-11】?×÷=（）．

4542

3531

A．B．C．D．

1011203

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的四則運(yùn)算求解即可．

323133333

【詳解】解：?×÷=?×2=?=

45424104520

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的四則運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的四則運(yùn)算法則．

【變式4-2】計(jì)算：(?1)÷1+0÷8?(?5)×(?2)=__________

【答案】?11

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．

【詳解】解：原式=?1+0?10=?11，

故答案為：?11．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的乘除的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

第6頁(yè)共33頁(yè).

?1?

【變式4-3】計(jì)算：-2-10′?1-′4÷．

è5?

【答案】-4

?1?

【詳解】解：-2-10′?1-′4÷

è5?

?4?

-2-10′?1-÷

è5?

1

-2-10′

5

-2-2

-4

易錯(cuò)點(diǎn).有理數(shù)除法運(yùn)算中誤用分配律

【例5】（2023秋·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）觀察下列解題過(guò)程．

?7??377?

計(jì)算：?-÷??1--÷．

è8?è4812?

?7?3?7?7?7?7

解：原式＝?-÷?1-?-÷?-?-÷?

è8?4è8?8è8?12

?7?4?7?8?7?12

＝?-÷′-?-÷′-?-÷′

è8?7è8?7è8?7

13

＝-+1+

22

＝2

你認(rèn)為以上解題是否正確，若不正確，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解題過(guò)程．

【詳解】答：不正確，正確的解答如下，

?7??377?

解：?-÷??1--÷

è8?è4812?

?7??777?

?-÷??--÷

è8?è4812?

?7??422114?

?-÷??--÷

è8?è242424?

?7?7

?-÷?

è8?24

724

-′

87

-3．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法，掌握有理數(shù)的除法法則是關(guān)鍵．

?111?

【變式5-1】．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下列材料：計(jì)算50??-+÷．

è3412?

第7頁(yè)共33頁(yè).

111

解法一：原式50?-50?+50?50′3-50′4+50′12550．

3412

?431?2

解法二：原式50??-+÷50?50′6300．

è121212?12

?111?

解法三：原式的倒數(shù)為?-+÷?50

è3412?

?111?11111111

?-+÷′′-′+′．

è3412?503504501250300

故原式300．

(1)上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，你認(rèn)為哪個(gè)解法是錯(cuò)誤的．

?1??1322?

(2)請(qǐng)你選擇兩種合適的解法解答下列問(wèn)題：計(jì)算：?-÷??-+-÷

è42?è61437?

【答案】(1)解法一

1

(2)-

14

【詳解】（1）解：沒(méi)有除法分配律，故解法一錯(cuò)誤；

?1??1322?

（2）解：解法二：?-÷??-+-÷

è42?è61437?

?1??792812?

?-÷??-+-÷

è42?è42424242?

?1??14?

?-÷??÷

è42?è42?

?1?1

?-÷′3-；

è42?14

?1322??1?

解法三：原式的倒數(shù)為：?-+-÷??-÷

è61437?è42?

?1322?

?-+-÷′-42

è61437?

1322

′-42-′-42+′-42-′-42

61437

-14，

1

所以原式-．

14

1?3151??3151??1?

【變式5-2】．計(jì)算：-??--+÷+?--+÷??-÷

36è4121836?è4121836?è36?

(1)前后兩部分之間存在著什么關(guān)系？

(2)先計(jì)算哪部分比較簡(jiǎn)單?請(qǐng)給予解答；

(3)利用（1）中的關(guān)系，直接寫(xiě)出另一部分的結(jié)果；

第8頁(yè)共33頁(yè).

(4)根據(jù)上述分析，求出原式的結(jié)果．

【答案】(1)前后兩部分互為倒數(shù)

(2)先計(jì)算后面的部分比較簡(jiǎn)單，解答過(guò)程見(jiàn)解析

1

(3)另一部分的結(jié)果為-

15

226

(4)-

15

【分析】（1）根據(jù)倒數(shù)的定義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，即可；

（2）把后面部分的除法化為乘法，根據(jù)乘法分配律，進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)分母均為36的公因數(shù)，故先算后面

部分，較方便；

（3）根據(jù)第二問(wèn)的結(jié)果，倒數(shù)的關(guān)系，即可；

（4）根據(jù)第二問(wèn)，第三問(wèn)的結(jié)果，進(jìn)行有理數(shù)的加減，即可．

（1）

解：∵乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)

1?3151??3151?

-??--+÷′?--+÷′-361

36è4121836?è4121836?

∴前后兩部分互為倒數(shù)．

（2）

1?3151?

解：計(jì)算-??--+÷應(yīng)先通分，然后化除法為乘法，最后進(jìn)行計(jì)算；

36è4121836?

?3151??1?

計(jì)算?--+÷??-÷，先化除法為乘法，然后根據(jù)乘法分配律，進(jìn)行加減計(jì)算；

è4121836?è36?

∴先計(jì)算后面部分比較方便

計(jì)算如下：

?3151??1?

?--+÷??-÷

è4121836?è36?

?3151?

?--+÷′-36

è4121836?

3151

-36′+36′+36′-36′

4121836

-9′3+3′1+2′5-1

-15．

（3）

?3151??1?

解：∵前后兩部分互為倒數(shù)，后面部分：?--+÷??-÷-15

è4121836?è36?

第9頁(yè)共33頁(yè).

1?3151?1

∴前面部分：-??--+÷-．

36è4121836?15

（4）

1?3151??3151??1?

解：-??--+÷+?--+÷??-÷

36è4121836?è4121836?è36?

1

-+-15

15

226

-．

15

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握倒數(shù)的定義，有理數(shù)除法的運(yùn)算法則，乘法分配律等．

考點(diǎn)1：有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

1．某水果店以每箱200元的價(jià)格從水果批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)20箱櫻桃．若以每箱凈重10千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)的千

克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，稱(chēng)重的記錄如下表：

與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）-0.5-0.250+0.25+0.8+0.5

箱數(shù)143453

(1)這20箱櫻桃質(zhì)量相差最大是多少千克？

(2)這20箱櫻桃的總質(zhì)量是多少千克？

(3)水果店購(gòu)進(jìn)這批櫻桃需要付運(yùn)費(fèi)100元，要把這些櫻桃全部以零售的形式賣(mài)掉，并按照全部銷(xiāo)售后獲得

利潤(rùn)為成本的50%作為銷(xiāo)售目標(biāo)制定零售價(jià)，若第一天水果店以該零售價(jià)售出了總質(zhì)量的60%，第二天因

害怕剩余的櫻桃腐爛，決定降價(jià)把剩余的櫻桃按原零售價(jià)的七折售完，請(qǐng)計(jì)算該水果店在銷(xiāo)售這批櫻桃的

過(guò)程中共盈利或虧損多少元？（提示：成本＝總進(jìn)價(jià)＋運(yùn)費(fèi)）

【答案】(1)這20箱櫻桃質(zhì)量相差最大是1．3千克

(2)這20箱櫻桃的總質(zhì)量是205千克

(3)該水果店銷(xiāo)售這批櫻桃共盈利1312元

【詳解】（1）解：0.8--0.51.3（千克）

答：這20箱櫻桃質(zhì)量相差最大是1.3千克．

（2）20′10+-0.5+-0.25′4+0′3+0.25′4+0.8′5+0.5′3

200-0.5-1+0+1+4+1.5

205（千克）

這20箱櫻桃的總質(zhì)量是205千克．

（3）200′20+100′1+50%6150

6150?20530（元）

第10頁(yè)共33頁(yè).

205′30′60%+205′30′40%′0.73690+17225412（元）

5412-100-200′201312（元）

答：該水果店銷(xiāo)售這批櫻桃共盈利1312元．

2．為常態(tài)化開(kāi)展社會(huì)人群核酸檢測(cè)工作，我市在人群密集、流動(dòng)量大的區(qū)域布局了健康小屋（便民核酸采

樣點(diǎn)）．某采樣點(diǎn)計(jì)劃每天完成2000人次的核酸采樣，實(shí)際每天采樣的數(shù)量相比有出入，下表是十月份某

一周該采樣點(diǎn)的實(shí)際采樣人次（超過(guò)為正，不足為負(fù)，單位：人次）

星期一二三四五六七

增減+100-250+400-150-100+350+150

(1)根據(jù)記錄可知該采樣點(diǎn)前三天共完成了多少人次的核酸采樣？

(2)采樣人次最多的一天比采樣人次最少的一天多了多少人次？

(3)該采樣點(diǎn)采用十人混檢的方式收集核酸樣本（將10個(gè)人的樣本采集后放到同一根采樣管中進(jìn)行檢測(cè)），

該采樣點(diǎn)在這周至少需要多少根采樣管？

【答案】(1)6250

(2)650

(3)1450

【詳解】（1）解：(100-250+400)+3′20006250（人次）

答：該采樣點(diǎn)前三天共完成了6250人次的核酸采樣；

（2）解：(+400)-(-250)650（人次）

答：采樣人次最多的一天比采樣人次最少的一天多了650人次；

（3）解：(100-250+400-150-100+350+150)+2000′714500（人次）

14500?101450（根）

答：該采樣點(diǎn)在這周至少需要1450根采樣管

3．某市出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：

種類(lèi)里程（千米）收費(fèi)（元）

起步價(jià)3千米以內(nèi)（包括3千米）10.00

單程3千米以上，每增加1千米3.00

往返3千米以上，每增加1千米2.20

(1)一次小華乘出租車(chē)從家去動(dòng)物園，下車(chē)時(shí)付出租車(chē)費(fèi)41.8元.小華家到動(dòng)物園有多少千米？

(2)若小華從家去動(dòng)物園拍一張照片，接著立即趕回，應(yīng)該怎樣乘坐出租車(chē)最劃算？她至少要付出租車(chē)費(fèi)多

少元？

【答案】(1)13.6千米

(2)租往返的車(chē)比較劃算，63.24元

第11頁(yè)共33頁(yè).

【詳解】（1）解：41.8-10?3+3

31.8?3+3

10.6+3

13.6（千米）

答：小華家到動(dòng)物園有13.6千米．

（2）3千米以上往返的單價(jià)要比單程的單價(jià)便宜，所以應(yīng)該租往返的車(chē)比較劃算．

13.6′227.2（千米）

27.2-3′2.2+10

24.2′2.2+10

53.24+10

63.24（元）

答：租往返的車(chē)比較劃算，她至少要付出租車(chē)費(fèi)63.24元．

考點(diǎn)2：與有理數(shù)相關(guān)的新定義運(yùn)算

4．（22-23七年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）若“No”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，且1No1，2No2′1，

2022N

3No3′2′1，L，則0的值為（）

2023N0

1

A．2023NoB．2022NoC．D．2023

2023

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法和除法運(yùn)算，新定義的運(yùn)算，掌握有理數(shù)的乘法和除法運(yùn)算法則，理解新

定義的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵，根據(jù)題意列式計(jì)算即可；

2022N2022′2021′...′11

【詳解】解：0，

2023N02023′2022′...′12023

故選：C．

5．（23-24七年級(jí)上·福建龍巖·階段練習(xí)）定義“!”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1!1，2!2′12，

100!

3!3′2′16，4!4′3′2′124．…，則的值為（）

99!

100

A．B．99!C．100D．2!

99

【答案】C

【分析】此題考查了新定義運(yùn)算．根據(jù)新定義運(yùn)算，進(jìn)行求解即可．

100!1′2′3′…′98′99′100

【詳解】解：根據(jù)題意得100，

99!1′2′3′…′98′99

故選：C．

6.對(duì)于有理數(shù)a、b，定義運(yùn)算“?”如下：a?bab?(a+b)，試比較大小(-3)?43?(-4)(填“＞”“＜”

或“＝”)．

第12頁(yè)共33頁(yè).

【答案】＜

試題解析：Q-3?4=-3′4?（-3+4）-12，

3?-43′-4?3-412，

\-3?4＜3?-4.

考點(diǎn)3：有理數(shù)混合運(yùn)算的材料閱讀題

7．閱讀下題的計(jì)算方法：

?1??237?

計(jì)算：?-÷??-+÷

è24?è348?

分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．

?237??1??237?

解：?-+÷??-÷?-+÷′(-24)-16+18-21-19

è348?è24?è348?

1

所以原式-

19

?1??1293?

根據(jù)材料提供的方法，嘗試完成下面的計(jì)算：?-÷??--+-÷

è20?è45102?

1

【答案】．

25

?1293??1?

【詳解】解：?--+-÷??-÷

è45102?è20?

?1293?

?--+-÷′(-20)

è45102?

5+8-18+30

25，

1

所以，原式．

25

8．閱讀下題的計(jì)算方法：

?1??237?

計(jì)算：?-÷??-+÷

è24?è348?

分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．

?237??1??237?

解：?-+÷??-÷?-+÷′(-24)-16+18-21-19

è348?è24?è348?

1

所以原式-

19

?1??1293?

根據(jù)材料提供的方法，嘗試完成下面的計(jì)算：?-÷??--+-÷

è20?è45102?

第13頁(yè)共33頁(yè).

1

【答案】．

25

【分析】根據(jù)閱讀材料先計(jì)算所求式子的倒數(shù)，從而得出原式的結(jié)果．

?1293??1?

【詳解】解：?--+-÷??-÷

è45102?è20?

?1293?

?--+-÷′(-20)

è45102?

5+8-18+30

25，

1

所以，原式．

25

【點(diǎn)睛】本題是閱讀材料問(wèn)題，考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算和對(duì)閱讀材料問(wèn)題的運(yùn)用，掌握運(yùn)算順序，正確

判定符號(hào)計(jì)算是關(guān)鍵．

24

9．老師布置了一道題目：計(jì)算49′(-5)，有兩位同學(xué)的解法如下：

25

124912494

小明：原式-′5--249．

2555

2424?24?4

小軍：原式(49+)′(-5)49′(-5)+′(-5)-245+?-÷-249．

2525è5?5

(1)對(duì)于以上兩種解法，你認(rèn)為誰(shuí)的解法較好？

(2)上面的解法對(duì)你有何啟發(fā)，你認(rèn)為還有更好的解法嗎？如果有，請(qǐng)把它寫(xiě)出來(lái)．

15

(3)用你認(rèn)為最合適的方法計(jì)算29′(-8)．

16

【答案】(1)小軍

(2)有，見(jiàn)解析

1

(3)-239，見(jiàn)解析

2

【分析】（1）小軍的方法使用了乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算，更為方便；

24?1?

（2）可將49改寫(xiě)為?50-÷再用乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算更方便；

25è25?

15?1?

（3）將29改寫(xiě)為?30-÷后再計(jì)算即可．

16è16?

【詳解】（1）解：小軍的方法更好；

（2）解：有更好的解法：

?1?

原式?50-÷′-5

è25?

第14頁(yè)共33頁(yè).

1

-50′5+′5

25

1

-250+

5

4

-249

5

?1?

（3）原式?30-÷′-8

è16?

1

-30′8+′8

16

1

-240+

2

1

-239．

2

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，熟練掌握乘法分配率是本題的解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)4：有理數(shù)乘除法的創(chuàng)新應(yīng)用

10．（22-23七年級(jí)上·北京東城·期末）干支紀(jì)年法是中國(guó)歷法上自古以來(lái)就一直使用的紀(jì)年方法，干支是

天干和地支的總稱(chēng)．干支紀(jì)年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循環(huán)配合，每個(gè)

組合代表﹣﹣年，60年為一個(gè)循環(huán)．我們把天干、地支按順序排列，且給它們編上序號(hào)．天干的計(jì)算方法

是：年份減3，除以10所得的余數(shù)；地支的計(jì)算方法是：年份減3，除以12所得的余數(shù)．以2022年為例：

天干為：2022-3?10201LL9；地支為：2022-3?12168LL3；對(duì)照天干地支表得出，2022年為

農(nóng)歷壬寅年．

123456789101112

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

請(qǐng)你依據(jù)上述規(guī)律推斷2049年為農(nóng)歷年．

【答案】己巳

【分析】根據(jù)題意，代入求出天干、地支即可．

【詳解】解：天干為：

2049-3?102046?10204LL6，

地支為：

2049-3?122046-3?12170LL6

\2049年為農(nóng)歷己巳年．

故答案為：己巳．

【點(diǎn)睛】本題結(jié)合實(shí)際生活考查了有理數(shù)的計(jì)算；讀懂題意、建立算式是解題的關(guān)鍵．

第15頁(yè)共33頁(yè).

11.如圖A在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2．

(1)點(diǎn)B在點(diǎn)A右邊距A點(diǎn)6個(gè)單位長(zhǎng)度，求點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)；

(2)在（1）的條件下，點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到-6所在的點(diǎn)處時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間距離．

(3)在（2）的條件下，現(xiàn)A點(diǎn)靜止不動(dòng)，B點(diǎn)以原來(lái)的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間A、B兩點(diǎn)相

距4個(gè)單位長(zhǎng)度．

【答案】(1)點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是4；

(2)A，B兩點(diǎn)間的距離是14個(gè)單位長(zhǎng)度；

(3)經(jīng)過(guò)5秒或9秒A、B兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度．

【詳解】（1）解：-2+64，

故點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是4；

（2）解：-2-(-6)?22（秒），

6+(2+2)′2=14（個(gè)單位長(zhǎng)度），

故A，B兩點(diǎn)間的距離是14個(gè)單位長(zhǎng)度；

（3）解：①運(yùn)動(dòng)后的B點(diǎn)在A右邊4個(gè)單位長(zhǎng)度，

(14-4)?25（秒）；

②運(yùn)動(dòng)后的B點(diǎn)在A左邊4個(gè)單位長(zhǎng)度，

(14+4)?29（秒），

故經(jīng)過(guò)5秒或9秒A、B兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度．

12.如圖，

7-3251

(1)若從中取出2張卡片，用這2張卡片上數(shù)字相乘，則乘積的最大值是_______

(2)若從中取出2張卡片，用這2張卡片上數(shù)字相除，則商的最小值是，

(3)若從中取出4張卡片，請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)的計(jì)算方法，寫(xiě)出一個(gè)運(yùn)算式，使四個(gè)數(shù)字的計(jì)算結(jié)果為24，你選取

的數(shù)為_(kāi)_____________，算式為_(kāi)__________________

【答案】(1)35

7

(2)-

3

(3)-3，2，5，1；1-5′-3′224（答案不唯一）

【詳解】（1）解：從中取出2張卡片，用這2張卡片上數(shù)字相乘，則乘積的最大值是5′735，

故答案為：35；

第16頁(yè)共33頁(yè).

7

（2）從中取出2張卡片，用這2張卡片上數(shù)字相除，則商的最小值是-；

3

7

故答案為：-；

3

（3）選取：-3，2，5，1；

算式為：1-5′-3′2-4′-624（答案不唯一）

考點(diǎn)5：綜合利用絕對(duì)值、相反數(shù)和有理數(shù)除法進(jìn)行化簡(jiǎn)求值

13．已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，

（1）用“>”或“<”填空：

c+b_________0，ac_________0，abc_________0，ab+c____________0．

aababc

（2）求代數(shù)式++的值．

aababc

【答案】（1）<；<；>；>；（2）1．

【詳解】由數(shù)軸可知：b<a<0<c，b>c

（1）c+b<0，ac<0，abc>0，ab+c>0

故答案為＜，＜，＞，＞；

aababcaababc

（2）++-++-1+1+11；

aababcaababc

故答案為-1．

14．已知數(shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，它們分別表示數(shù)a，b，c，且a+20+b+100，又b，c互為相反數(shù)．

(1)求a，b，c的值．

(2)若有兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)相向而行，甲的速度為6個(gè)單位/秒，乙的速度為4

個(gè)單位/秒，當(dāng)兩只螞蟻在數(shù)軸上點(diǎn)m處相遇時(shí)，求點(diǎn)M表示的數(shù)．

(3)若將（2）的條件改為同向而行，其余條件都不變，求點(diǎn)M表示的數(shù)．

【答案】(1)a，b，c的值分別為-20，-10，10

(2)點(diǎn)M表示的數(shù)為-2

(3)點(diǎn)M表示的數(shù)為70

【詳解】（1）解：Qa+20+b+100，

\a+200，b+100，

\a-20，b-10，

Qb，c互為相反數(shù)，

\b+c0，

第17頁(yè)共33頁(yè).

\c-b--1010，

\a，b，c的值分別為-20，-10，10；

（2）解：?é20--10?ù?6+43（秒），

-20+6′3-2，

因此點(diǎn)M表示的數(shù)為-2；

（3）解：Q甲、乙同向而行，甲的速度大于乙的速度，

\甲、乙沿?cái)?shù)軸正方向移動(dòng)．

?é20--10?ù?6-415（秒），

-20+6′1570，

因此點(diǎn)M表示的數(shù)為70．

15．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問(wèn)題：

ab

(1)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，則_______；當(dāng)b<0時(shí)，則_______．

|a||b|

b+ca+ca+b

(2)已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c0，abc<0，求++的值．

|a||b||c|

|a||b||c|

(3)已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc10時(shí)，求++的值．

abc

【答案】(1)1，-1

(2)-1

(3)3或-1或1或-3

aa

【詳解】（1）解：當(dāng)a>0時(shí)，則1，

aa

bb

當(dāng)b<0，則-1，

b-b

故答案為：1，-1．

（2）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c0，abc<0，

所以b+c-a，a+c-b，a+b-c，且a，b，c中兩正一負(fù)，

b+ca+ca+b-a-b-c

所以++++-1．

|a||b||c||a||b||c|

（3）由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)或

三個(gè)都為負(fù)數(shù)．

①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即a>0，b>0，c>0時(shí)，

|a||b||c|abc

則：++++1+1+13，

abcabc

②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，b<0，c<0，

第18頁(yè)共33頁(yè).

|a||b||c|a-b-c

則：++++1+(-1)+(-1)-1，

abcabc

③當(dāng)a，b，c有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，

設(shè)a>0，b<0，c<0，

|a||b||c|

則：++1+1-11，

abc

④當(dāng)a，b，c三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，

|a||b||c|

則：++-1-1-1-3，

abc

|a||b||c|

綜上所述：++的值為3或-1或1或-3

abc

2a2b2c-abc

16．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果a，b，c是非零有理數(shù)，求式子+++的所有可

|a||b||c||abc|

能的值．

【答案】±3或±5

【詳解】解：根據(jù)題意，

當(dāng)a>0，b>0，c>0時(shí)，

2a2b2c-abc

+++2+2+2-15；

|a||b||c||abc|

當(dāng)a>0，b>0，c<0時(shí)，

2a2b2c-abc

+++2+2-2+1