2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章集合與函數(shù)概念疑難規(guī)律方法學(xué)案版

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第一章集合與函數(shù)概念1聚焦“集合"雙基一、透析“集合"的基礎(chǔ)知識(shí)(一）集合的含義1．集合的含義是一個(gè)描述性的，我們可以理解為一些對(duì)象組成的總體就構(gòu)成集合，其中構(gòu)成集合的每一個(gè)對(duì)象稱為集合的元素．所以只要把對(duì)象看成整體就可以構(gòu)成集合．2．集合的元素的三個(gè)特性（1)確定性：對(duì)于一個(gè)集合中每一個(gè)元素都可以判斷該元素是不是集合中的元素．如“2012年中國(guó)效益較好的大型企業(yè)”就不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤?012年中國(guó)效益較好的大型企業(yè)”中的對(duì)象是不確定的，效益較好和大型企業(yè)都沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，無(wú)法判斷一些企業(yè)是否屬于這個(gè)范圍．(2)互異性：互異性是指集合中的元素必須是互不相同的．如集合{x｜x2＋4x＋4＝0}＝｛－2｝,而不能寫成{－2，－2}．（3)無(wú)序性：對(duì)于一個(gè)集合中的元素?zé)o先后順序，只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素一樣，這兩個(gè)集合就是相等的．（二)集合的表示1．列舉法:列舉法是將集合中的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“｛｝”括起來(lái)表示集合．用列舉法表示集合時(shí)，首先要注意集合中元素的基本形式．例如：集合｛1，2｝與｛（1,2)}是兩個(gè)完全不同的集合，｛1，2｝是由1,2這兩個(gè)元素所構(gòu)成的集合，{(1,2)｝是以一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(1,2）為元素構(gòu)成的集合．另外,用列舉法表示由許多元素或無(wú)限個(gè)元素組成的集合時(shí)，要注意充分體現(xiàn)元素間的規(guī)律，在花括號(hào)內(nèi)列舉出部分元素，其余的元素用省略號(hào)表示．例如:所有正整數(shù)構(gòu)成的集合可記為{1，2，3，4，…，n，…}．2．描述法：它是指用集合所含元素的共同特征來(lái)表示集合的方法．具體可這樣表示：在花括號(hào)“｛｝”內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素(代表元素）的一般符號(hào)及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．它的一般表示形式為｛x∈A｜p(x）}，豎線前的x就是代表元素．對(duì)于描述法中的代表元素應(yīng)注意以下兩點(diǎn):(1)應(yīng)寫清楚該集合中的代表元素．如集合{x|2≤x≤4｝不能寫成｛2≤x≤4}，因?yàn)檫@樣少了代表元素．（2)豎線后邊應(yīng)對(duì)代表元素的取值有準(zhǔn)確的表示，比如下面的表示方法是錯(cuò)誤的：｛(x，y）｜（－1,0）｝，事實(shí)上，它應(yīng)表示為{(x，y）｜x＝－1，y＝0｝,或表示為｛(－1，0）}．（三)集合間的基本關(guān)系1．空集是不含任何元素的集合，它雖然不含任何元素，但這樣的集合是客觀存在的．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,所以在研究集合問(wèn)題時(shí),空集還是很活躍的，一不小心就會(huì)出錯(cuò)．如滿足B?A，就要分B＝?和B≠?進(jìn)行研究．2．子集可以理解為集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,則A是B的子集．比如任何一個(gè)整數(shù)都是有理數(shù)，也就是說(shuō)整數(shù)集是有理數(shù)集的子集,可以表示為:Z?Q。但不要理解為A是B中部分元素組成的集合,因?yàn)锳＝?時(shí)，A也是B的子集，還有A＝B時(shí)，A也是B的子集．3．真子集可以從兩方面理解：一是集合A是集合B的子集,二是集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A.如A＝{1，2，3,4，5}，B＝｛1,2，3,4，5，6}，由于6∈B，但6?A，且有A?B,則集合A是集合B的真子集．4．若兩個(gè)集合互相包含,即A?B，且A?B，則稱集合A與集合B相等,記作A＝B。(四)集合的基本運(yùn)算1．并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B.符號(hào)表示：A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B}．相關(guān)結(jié)論：A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.A∪B中的元素就是把集合A，B中所有元素并在一起構(gòu)成的集合，要注意集合間元素的互異性,對(duì)于既屬于集合A又屬于集合B的元素只能出現(xiàn)一次．2．交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B。符號(hào)表示：A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝．相關(guān)結(jié)論：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A。A∩B中的任何元素都是集合A和B的公共元素，當(dāng)集合A，B沒有公共元素時(shí),不能說(shuō)集合A，B沒有交集，而是A∩B＝?。3．補(bǔ)集：由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在U中的補(bǔ)集,表示為?UA,實(shí)際上?UA＝{x｜x∈U,且x?A｝．補(bǔ)集的概念是在全集中定義的，是由屬于全集U但不屬于集合A的所有元素構(gòu)成，集合A和它的補(bǔ)集?UA都是集合U的子集，且A∩(?UA）＝?，A∪（?UA）＝U，全集不同，則補(bǔ)集也不同．二、盤點(diǎn)解集合問(wèn)題的基本方法（一）列舉法對(duì)于一些有明顯特征的集合，可以將集合中的元素一一列舉出來(lái)．例1設(shè)集合M＝｛1,2,4，8｝，N＝{x|x是2的倍數(shù)｝，則M∩N＝________。解析因?yàn)镹＝{x｜x是2的倍數(shù)}＝{…，0，2,4，6，8，…}，所以M∩N＝{2,4，8｝．答案｛2，4，8}評(píng)注對(duì)于元素易于列舉的集合,通常可以直接列舉．（二)結(jié)構(gòu)相似法對(duì)于用描述法給出的若干集合,判斷它們的關(guān)系時(shí),可以把它們各自的屬性化為結(jié)構(gòu)相似的表達(dá)式．例2若集合A＝{x|x＝m＋eq\f(1，6），m∈Z},B＝｛x|x＝eq\f（n,2)－eq\f(1,3）,n∈Z}，C＝｛x|x＝eq\f(p,2）＋eq\f（1,6），p∈Z｝,則A，B，C之間的關(guān)系是________．解析集合A中,x＝eq\f（6m,6）＋eq\f(1，6),m∈Z；集合B中，x＝eq\f(3n－1,6)＋eq\f(1,6)，n∈Z;集合C中,x＝eq\f(3p,6）＋eq\f(1，6)，p∈Z.不難判斷AB＝C。答案AB＝C（三)數(shù)軸法當(dāng)集合中的元素與不等式相關(guān)時(shí),可借助于數(shù)軸進(jìn)行運(yùn)算具有簡(jiǎn)明的直觀效果．例3設(shè)集合A＝｛x|－1＜x－a＜1，x∈R},B＝｛x｜1＜x＜5,x∈R｝，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．解析由－1＜x－a＜1，得a－1＜x＜a＋1。如圖，可知a＋1≤1或a－1≥5。所以a≤0，或a≥6。答案{a|a≤0或a≥6}評(píng)注不等式型集合的交集、并集通?？梢越柚鷶?shù)軸來(lái)解，解題時(shí)注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意．（四)Venn圖法借助Venn圖的直觀顯示，?？墒辜蠁?wèn)題化難為易．例4已知A,B均為集合U＝｛1,3,5，7，9}的子集,且A∩B＝｛3｝，(?UB)∩A＝{9},則A＝________。解析如圖,因?yàn)锳∩B＝{3｝，所以3∈A。又因?yàn)??UB）∩A＝｛9},所以9∈A。答案{3，9}2集合的基本關(guān)系與運(yùn)算一、子集——集合問(wèn)題的核心一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說(shuō)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。記作:A?B或B?A.當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí),則記作A?B或B?A.例1設(shè)集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜(x－a)·（x2－1)＝0}，當(dāng)a為何值時(shí)，A?B?分析集合A，B都是用“描述法"表示的方程的解集，為了比較A和B的關(guān)系，先考慮將A和B進(jìn)行化簡(jiǎn)．解易得集合A＝｛1,2｝．當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，B＝｛－1，1｝，此時(shí)A?B；當(dāng)a≠1且a≠－1時(shí)，B＝｛－1,1，a｝．要使A?B，則a＝2。故當(dāng)a＝2時(shí)，A?B。二、交集-—兩集合間的“且運(yùn)算”由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集,記為A∩B，即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝，其中關(guān)鍵詞為“且”．例2設(shè)全集U＝Z，集合A＝{－1,0，1,2｝，B＝{x|x2－x＝0｝，則A∩(?UB）＝________.分析先求出集合B，再按集合相關(guān)運(yùn)算法則求解．解析因?yàn)锽＝{x|x2－x＝0｝＝{0,1}，所以A∩(?UB)＝{－1,2｝．答案｛－1,2}三、并集——兩集合間的“或運(yùn)算”由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的并集,記為A∪B，即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝，其中關(guān)鍵詞為“或”．例3若全集U＝R，集合A＝｛x|－1＜x＜2｝，B＝｛x｜x＝y(tǒng)＋1，y∈A｝，求A∪B.分析欲求A∪B,先對(duì)B進(jìn)行化簡(jiǎn)．解因?yàn)閥∈A，即－1＜y＜2,且x＝y(tǒng)＋1，所以0＜x＜3,即B＝｛x|0＜x＜3｝．所以A∪B＝｛x|－1＜x＜3｝．四、補(bǔ)集—-全集對(duì)子集的“差運(yùn)算”一般地，設(shè)U是一個(gè)集合，A是U的一個(gè)子集，即A?U，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在全集U中的補(bǔ)集，記為?UA，即?UA＝｛x｜x∈U，且x?A}，可以理解為全集對(duì)子集的差集．例4設(shè)全集U＝｛2,9,a2＋2a－3},集合A＝｛｜2a－1|，2}，且?UA＝{5｝，求實(shí)數(shù)a的值．解因?yàn)閁＝｛2,9,a2＋2a－3}，?UA＝{5}，所以a2＋2a－3＝5.解得a＝2或a＝－4.若a＝2,則U＝{2，9,5}，A＝{2,3｝,不合題意；若a＝－4，則U＝{2，9，5},A＝｛2,9｝，符合題意．故a＝－4.五、等集—-一個(gè)集合的兩種表示例5已知集合M＝{2，a，b｝與集合N＝{2a,2，b2}是同一個(gè)集合，求a、b。分析此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集合元素完全相同及集合中元素的性質(zhì)建立關(guān)系式．解兩個(gè)集合為同一個(gè)集合,則這兩個(gè)集合的元素完全相同且與元素的順序無(wú)關(guān),于是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a.))解之,得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，，b＝\f（1,2）。））又當(dāng)a＝0，b＝0時(shí),不滿足互異性,應(yīng)該舍去．因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0，，b＝1))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f(1，4)，，b＝\f(1，2）。））評(píng)注解決集合相等的問(wèn)題，易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn)和修正.3集合中的數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想,其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合,通過(guò)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問(wèn)題化難為易、化抽象為具體．通過(guò)“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問(wèn)題．集合中常用的方法是數(shù)軸法和Venn圖法．例1已知全集為U，U＝｛a｜a∈N＊且a≤9}，且（?UA）∩B＝{1,9}，A∩B＝{2｝，(?UA)∩（?UB)＝｛4，6，8}，試確定集合A，B。分析若能將題設(shè)條件中所給出的各個(gè)集合中的元素，都能在Venn圖上表示出來(lái),那么所要確定的集合A,B中的元素，將會(huì)從Venn圖上一目了然的得出．解將已知條件中的集合U＝｛a|a∈N*且a≤9}＝｛1，2，3,4，5，6,7，8，9}，(?UA）∩B＝{1，9｝，A∩B＝｛2｝，（?UA)∩(?UB）＝｛4，6,8｝,在Venn圖上表示出來(lái)，如圖所示．由Venn圖可以直觀的得出A＝{2,3,5，7｝，B＝｛1,2,9｝．例2某學(xué)校藝術(shù)班有100名學(xué)生，其中學(xué)舞蹈的學(xué)生有67人，學(xué)唱歌的學(xué)生有45人，而學(xué)樂(lè)器的學(xué)生既不能學(xué)舞蹈，又不能學(xué)唱歌，人數(shù)有21人，那么同時(shí)學(xué)舞蹈和唱歌的學(xué)生有多少人？解設(shè)只學(xué)舞蹈的學(xué)生有x人，只學(xué)唱歌的學(xué)生有y人,既學(xué)舞蹈又學(xué)唱歌的學(xué)生有z人，Venn圖如圖所示．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋z＝67，，y＋z＝45,，x＋y＋z＝79，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝34,，y＝12,,z＝33，)）所以同時(shí)學(xué)舞蹈和唱歌的有33人．例3已知集合A＝｛x|x〈－1，或x≥1｝，B＝{x｜2a〈x<a＋1,a〈1｝，B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解∵a〈1，∴2a<a＋1，∴B≠?。畫出數(shù)軸分析，如圖所示．由圖知要使B?A,需2a≥1或a＋1≤－1，即a≥eq\f（1，2)或a≤－2.又∵a<1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，－2］∪［eq\f(1，2),1）．集合問(wèn)題大都比較抽象,解題時(shí)要盡可能借助Venn圖、數(shù)軸等工具利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象問(wèn)題直觀化、形象化、明朗化,從而使問(wèn)題獲解.4集合易錯(cuò)點(diǎn)剖析一、符號(hào)意義不清致錯(cuò)例1已知集合X＝｛0,1}，Y＝{x|x?X}，那么下列說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào)）①X是Y的子集；②X是Y的真子集；③Y是X的真子集；④X是Y的元素．錯(cuò)解②剖析集合中符號(hào)意義必須清楚．正解因?yàn)閅＝｛x|x?X｝＝{{?},｛0｝，｛1｝，{0，1}}，所以X∈Y.故答案為④.二、代表元素意義不清致錯(cuò)例2集合A＝{y|y＝x2，x∈R｝，B＝｛(x,y)|y＝x＋2，x∈R}，則A∩B＝________.錯(cuò)解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝x＋2，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝4)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.）)剖析導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是沒有弄清集合中元素的意義，A中的元素是實(shí)數(shù)y,而B中的元素是實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），也就是說(shuō)，集合A為數(shù)集，集合B為點(diǎn)集，因此A、B兩個(gè)集合中沒有公共元素，從而這兩個(gè)集合的交集為空集．三、忽視集合元素的互異性致錯(cuò)例3已知集合A＝{2，3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2，2－a}，且A∩B＝{3，7｝，求集合B。錯(cuò)解由A∩B＝{3，7}得a2＋4a＋2＝7,解得a＝1或a＝－5.當(dāng)a＝1時(shí)，