2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2.1常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.2.2導(dǎo)數(shù)公式表及數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用學(xué)案2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．2.1常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1．2.2導(dǎo)數(shù)公式表及數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用明目標(biāo)、知重點1。能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2,y＝eq\f(1，x)，y＝eq\r(x）的導(dǎo)數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f（x)＝cf′（x）＝0f(x)＝xf′（x）＝1f（x)＝x2f′（x）＝2xf（x)＝eq\f（1,x)f′(x）＝－eq\f（1，x2）f（x)＝eq\r(x）f′(x)＝eq\f(1，2\r（x)）2?；境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)y＝cy′＝0y＝xn（n∈N＋）y′＝nxn－1y＝xμ(x>0,μ≠0且μ∈Q）y′＝μxμ－1y＝sinxy′＝cos_xy＝cosxy′＝－sin_xy＝ax（a〉0，a≠1)y′＝axln_ay＝exy′＝exy＝logax(a〉0,a≠1,x〉0）y′＝eq\f（1，xlna)y＝lnxy′＝eq\f（1，x)[情境導(dǎo)學(xué)］在前面，我們利用導(dǎo)數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，那么能不能利用導(dǎo)數(shù)的定義求出比較簡單的函數(shù)及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？這就是本節(jié)要研究的問題．探究點一幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思考1類比用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)的方法,如何用定義法求函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)？利用定義求下列常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①y＝c，②y＝x,③y＝x2，④y＝eq\f(1,x），⑤y＝eq\r（x)。答（1)計算eq\f（Δy，Δx），并化簡;（2)觀察當(dāng)Δx趨近于0時，eq\f（Δy,Δx)趨近于哪個定值；（3)eq\f（Δy，Δx)趨近于的定值就是函數(shù)y＝f（x)的導(dǎo)函數(shù)．①y′＝0,②y′＝1，③y′＝2x，④y′＝eq\o（lim，\s\do4（Δx→0））eq\f（Δy,Δx)＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0））eq\f（\f(1，x＋Δx)－\f（1，x）,Δx)＝eq\o（lim，\s\do4(Δx→0))eq\f（－1,xx＋Δx）＝－eq\f(1,x2）（其它類同），⑤y′＝eq\f(1，2\r(x））。思考2在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝4x的圖象，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求它們的導(dǎo)數(shù)．（1）從圖象上看,它們的導(dǎo)數(shù)分別表示什么？（2）這三個函數(shù)中，哪一個增加得最快?哪一個增加得最慢？(3)函數(shù)y＝kx(k≠0）增（減）的快慢與什么有關(guān)?答函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝4x的圖象如圖所示，導(dǎo)數(shù)分別為y′＝2，y′＝3，y′＝4。(1）從圖象上看，函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝4x的導(dǎo)數(shù)分別表示這三條直線的斜率．（2）在這三個函數(shù)中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．(3）函數(shù)y＝kx（k〉0)增加的快慢與k有關(guān)系，即與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)系，k越大，函數(shù)增加得越快，k越小，函數(shù)增加得越慢．函數(shù)y＝kx(k<0）減少的快慢與|k|有關(guān)系，即與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的絕對值有關(guān)系，｜k｜越大，函數(shù)減少得越快，|k｜越小，函數(shù)減少得越慢．思考3畫出函數(shù)y＝eq\f（1,x)的圖象．根據(jù)圖象，描述它的變化情況,并求出曲線在點（1，1）處的切線方程．答函數(shù)y＝eq\f(1，x)的圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象及其導(dǎo)數(shù)y′＝－eq\f(1，x2)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x<0時，隨著x的增加，函數(shù)y＝eq\f（1，x)減少得越來越快；當(dāng)x〉0時，隨著x的增加，函數(shù)減少得越來越慢．點(1,1)處切線的斜率為－1，過點(1,1）的切線方程為y＝－x＋2。探究點二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式思考利用導(dǎo)數(shù)的定義可以求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),但運算比較繁雜，有些函數(shù)式子在中學(xué)階段無法變形，怎樣解決這個問題？答可以使用給出的導(dǎo)數(shù)公式進行求導(dǎo)，簡化運算過程，降低運算難度．例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y＝sineq\f（π,3);（2)y＝5x；（3)y＝eq\f(1,x3)；（4）y＝eq\r(4，x3）;（5）y＝log3x。解(1)y′＝0;(2)y′＝（5x）′＝5xln5；(3)y′＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,x3））)′＝（x－3)′＝－3x－4;（4)y′＝（eq\r(4,x3))′＝（)′＝＝eq\f(3,4\r（4,x));（5)y′＝（log3x)′＝eq\f（1，xln3）。反思與感悟?qū)τ诮滩闹谐霈F(xiàn)的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，要想在解題過程中應(yīng)用自如,必須做到以下兩點：一是正確理解,如sineq\f(π，3）＝eq\f(\r(3),2)是常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定為零,就不會出現(xiàn)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f(π，3)））′＝coseq\f（π,3）這樣的錯誤結(jié)果．二是準(zhǔn)確記憶,靈活變形．如根式、分式可轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，然后利用公式求導(dǎo)．跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x8；(2)y＝(eq\f(1,2)）x；(3）y＝xeq\r(x）；(4)y＝logeq\f（1,3)x.解（1)y′＝8x7;（2）y′＝（eq\f(1,2）)xlneq\f（1,2)＝－(eq\f（1,2)）xln2；(3）∵y＝xeq\r（x)＝xeq\f（3，2)，∴y′＝；(4）y′＝eq\f(1,xln\f（1,3）)＝－eq\f(1,xln3)。例2判斷下列計算是否正確．求y＝cosx在x＝eq\f（π,3)處的導(dǎo)數(shù)，過程如下：y′|x＝eq\f(π，3）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f(π,3)）)′＝－sineq\f（π，3)＝－eq\f(\r(3),2）。解錯誤．應(yīng)為y′＝－sinx，∴y′|x＝eq\f（π，3)＝－sineq\f(π，3)＝－eq\f（\r（3）,2）.反思與感悟函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)等于f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值．在求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)時可以先利用導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù)，再將x0代入導(dǎo)函數(shù)求解，不能先代入后求導(dǎo)．跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)f(x）＝lnx在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解f′(x）＝(lnx)′＝eq\f（1,x)，∴f′(1)＝1，∴函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為1。探究點三導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用例3已知直線l：2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A、B兩點，O是坐標(biāo)原點,試求與直線l平行的拋物線的切線方程,并在弧上求一點P,使△ABP的面積最大．解設(shè)P（x0,y0）為切點，過點P與AB平行的直線斜率k＝y(tǒng)′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1,y0＝1.故可得P（1,1)，∴切線方程為2x－y－1＝0.由于直線l:2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A、B兩點，所以｜AB|為定值，要使△ABP的面積最大,只要P到AB的距離最大,故P(1，1）點即為所求弧上的點,使△ABP的面積最大．反思與感悟利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點P(x0，y0）處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)．解題時可先利用圖象分析取最值時的位置情況,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計算．跟蹤訓(xùn)練3曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，求斜率最小的切線方程．解由題意知：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴當(dāng)x＝－1時，y′取最小值為3，即最小的斜率為3。此時切點坐標(biāo)為（－1，－14)．∴斜率最小的切線方程為y＋14＝3(x＋1），即3x－y－11＝0。1．給出下列結(jié)論：①若y＝eq\f（1，x3），則y′＝－eq\f（3，x4）；②若y＝eq\r(3，x)，則y′＝eq\f（1，3)eq\r(3，x)；③若y＝eq\f(1,x2）,則y′＝－2x－3；④若f（x)＝3x,則f′（1)＝3.其中正確的個數(shù)是（)A．1B．2C．3D．4答案C解析①y＝eq\f（1,x3)＝x－3,則y′＝－3x－4＝－eq\f(3，x4）;②y＝eq\r（3,x)＝，則y′＝eq\f(1,3)·≠eq\f(1，3)eq\r（3,x)；③y＝eq\f(1,x2)＝x－2，則y′＝－2x－3；④由f（x）＝3x,知f′（x)＝3,∴f′（1)＝3?！啖佗邰苷_．2．函數(shù)f(x）＝eq\r(x）,則f′（3）等于(）A.eq\f(\r(3),6） B．0C.eq\f（1,2\r（x)） D。eq\f(\r(3)，2)答案A解析∵f′（x）＝（eq\r（x））′＝eq\f(1,2\r（x）)，∴f′（3)＝eq\f（1，2\r（3))＝eq\f（\r（3），6)。3．設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點P,以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是(）A．[0，eq\f(π，4)］∪［eq\f（3π,4），π) B．［0，π)C．［eq\f（π,4)，eq\f(3π,4）］ D．［0，eq\f(π,4）］∪［eq\f（π,2),eq\f（3π，4）］答案A解析∵（sinx）′＝cosx,∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，eq\f(π,4)］∪[eq\f(3π,4），π)．4．曲線y＝ex在點（2,e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________．答案eq\f(1,2)e2解析∵y′＝（ex)′＝ex,∴k＝e2,∴曲線在點(2，e2）處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.當(dāng)x＝0時，y＝－e2,當(dāng)y＝0時，x＝1。∴S△＝eq\f(1,2)×1×｜－e2｜＝eq\f(1,2）e2.［呈重點、現(xiàn)規(guī)律]1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進行聯(lián)想