第三節(jié)單位沖激函數(shù)

§8.2單位沖激函數(shù)二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì)三、單位沖激函數(shù)的

Fourier

變換一、為什么要引入單位沖激函數(shù)四、周期函數(shù)的

Fourier

變換一、為什么要引入單位沖激函數(shù)理由(1)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及工程技術(shù)中，一些常用的重要函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、符號函數(shù)以及單位階躍函數(shù)等等，都不能進(jìn)行

Fourier

變換。(2)周期函數(shù)的

Fourier

級數(shù)與非周期函數(shù)的

Fourier

變換都是用來對信號進(jìn)行頻譜分析的，它們之間能否統(tǒng)一起來。(3)在工程實(shí)際問題中，有許多瞬時物理量不能用通常的函數(shù)形式來描述，如沖擊力、脈沖電壓、質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等等。一、為什么要引入單位沖激函數(shù)細(xì)桿取的結(jié)果。長度為

a

，質(zhì)量為

m

的均勻細(xì)桿放在

x

軸的

[

0

,a

]

區(qū)間引例上，則它的線密度函數(shù)為質(zhì)量為

m的質(zhì)點(diǎn)放置在坐標(biāo)原點(diǎn)，則可認(rèn)為它相當(dāng)于

顯然

,

該密度函數(shù)并沒有反映出質(zhì)點(diǎn)的任何質(zhì)量信息

,相應(yīng)地，質(zhì)點(diǎn)的密度函數(shù)為二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì)1.單位沖激函數(shù)的概念(1)當(dāng)時，(2)顯然，借助單位沖激函數(shù)，前面引例中質(zhì)點(diǎn)的密度函數(shù)定義單位沖激函數(shù)

滿足：單位沖激函數(shù)又稱為

Dirac

函數(shù)或者

函數(shù)。就可表示為(1)單位沖激函數(shù)并不是經(jīng)典意義下的函數(shù)，而是一個廣義函數(shù)(或者奇異函數(shù))，它不能用通常意義下的“值的對應(yīng)關(guān)系”來理解和使用，而總是通過它的性質(zhì)注來使用它。(2)單位沖激函數(shù)有多種定義方式，前面給出的定義方式是由Dirac(狄拉克)給出的。2.單位沖激函數(shù)的性質(zhì)(2)對稱性質(zhì)函數(shù)為偶函數(shù)，即(1)

篩選性質(zhì)性質(zhì)設(shè)函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，且在處連續(xù)，則一般地，若在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)的圖形表示方式非常特別，通常采用一個從原點(diǎn)出發(fā)長度為

1

的有向線段來表示，同樣有，函數(shù)的沖激強(qiáng)度為

A。代表函數(shù)的積分值，稱為沖激強(qiáng)度。

3.單位沖激函數(shù)的圖形表示t1t1tA

其中有向線段的長度三、單位沖激函數(shù)的

Fourier

變換

由此可見，單位沖激函數(shù)包含所有頻率成份，且它們具有利用篩選性質(zhì)，可得出函數(shù)的

Fourier

變換：

[]即與1構(gòu)成Fourier變換對

相等的幅度，稱此為均勻頻譜或白色頻譜。t1w

1[]P194

重要公式稱這種方式的

Fourier

變換是一種廣義的Fourier變換。在函數(shù)的

Fourier

變換中，其廣義積分是根據(jù)函數(shù)的注性質(zhì)直接給出的，而不是通過通常的積分方式得出來的，按照

Fourier

逆變換公式有解[](1)(2)將等式的兩邊對

求導(dǎo)，有[]即得它是工程技術(shù)中最常用的函數(shù)之一。解[]已知[]又1[]+

得[]稱為單位階躍函數(shù)，也稱為

Heaviside

函數(shù)，注解[](1)(2)由，[]有[]+[]w

附：單位沖激函數(shù)的其它定義方式

方