第2章計算機控制

第2章采樣過程與信號重構(gòu)

由于數(shù)字計算機具有離散時間性質(zhì)，因此采樣是數(shù)字控制系統(tǒng)的基本特征。本章將對采樣過程的機理進行深入地分析。采樣理論包含不同采樣類型：單速率采樣、多速率采樣。本書僅討論單速率采樣系統(tǒng)，即采樣周期T為常數(shù)的情況?；靖拍睿?/p>

采樣過程(Sample)：連續(xù)信號經(jīng)采樣開關(guān)轉(zhuǎn)換為離散時間信號的過程。在數(shù)控系統(tǒng)中，是連續(xù)偏差信號e(t)

經(jīng)采樣開關(guān)轉(zhuǎn)換為離散時間信號e*(t)的過程；信號重構(gòu)(Signalreconstruction)：離散時間信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號的過程。在數(shù)控系統(tǒng)中，是離散時間信號u*(t)經(jīng)保持器轉(zhuǎn)換為連續(xù)控制信號u(t)的過程。本章重點：采樣過程、信號重構(gòu)機理及其數(shù)學描述。采樣定理及采樣周期T的選擇。2.1引言數(shù)控系統(tǒng)信號轉(zhuǎn)換示意圖及其簡化圖2-1-1數(shù)控系統(tǒng)信號轉(zhuǎn)換示意圖A/D數(shù)字控制器保持器對象或過程r(t)e(t)u(t)y(t)e*(t)[e(kT)][u(kT)]u*(t)D/A2.2采樣過程——連續(xù)信號f(t)通過采樣開關(guān)后，轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列f*(t)的過程。圖2-2-1

采樣過程2.2.1時域描述

采樣周期T(單位s)閉合時間(s)采樣角頻率采樣頻率由圖2-2-1可得理想單位脈沖函數(shù)圖2-2-2理想采樣過程當T

，且T遠小于系統(tǒng)連續(xù)部分慣性時間常數(shù)時，可將采樣開關(guān)視為理想的，0。則理想采樣過程的時域描述為：理想采樣過程的時域描述———這個過程相當于模擬信號f(t)被T(t)調(diào)制。加權(quán)函數(shù)為理想采樣開關(guān)產(chǎn)生的脈沖序列。理想采樣開關(guān)相當于一個理想脈沖發(fā)生器。式中2.2.2采樣過程的頻域描述

——求f*(t)的Fourier變換F*(j)，也即f*(t)的頻譜對于周期信號f(t)，當滿足狄里赫利Dirichlet條件時，f(t)可以用一個Fourier級數(shù)來表示，其頻譜F(j)是離散的。例：tω對于非周期信號f(t)，T，其頻譜F(j)在

（-，+）上都是連續(xù)的，不存在Fourier級數(shù)，只能利用Fourier變換求F(j)。例如：00例：t1采樣信號f*(t)的Fourier變換F*(j)—即采樣過程的頻域描述

求法一：求法二：——采樣過程的頻域描述表達式圖2-2-3理想采樣過程頻域分析假設：信號f(t)的頻譜F(j)為有限帶寬，最高頻率為m此時，高低頻率之間不發(fā)生混頻(混疊)現(xiàn)象。此時，高低頻率之間發(fā)生了混頻現(xiàn)象。采樣過程中存在時域信息損失，T越小，采樣信號越接近連續(xù)信號。F*(j)可分為主頻譜（n=0）和高頻（n≠0）兩部分，比原信號頻譜F(j)派生周期為s倍數(shù)的無限個高頻頻譜分量。當

s

>2m時，在F*(j)頻譜中高低頻不發(fā)生混頻現(xiàn)象；否則出現(xiàn)混頻現(xiàn)象。分析：0246810121416-1-0.500.51時域上的兩信號及其采樣點例時域分析頻域分析原信號采樣信號0000不發(fā)生混頻現(xiàn)象發(fā)生混頻現(xiàn)象2.3香農(nóng)（Shanon）采樣定理

在信號不混疊情況下，也即s>2m時，采用如下低通濾波器可無失真地再現(xiàn)原信號。若m是模擬信號f(t)上限頻率，

s為采樣頻率，則當

s

>2m時，經(jīng)采樣得到的信號能無失真地再現(xiàn)原信號。采樣定理給出了采樣頻率下限，N=s

/2

稱為奈奎斯特（Nyquist）頻率。注意：理想的低通濾波器G(s)是不存在的。注意：信號經(jīng)過采樣后只取采樣點上的值。當s≤2m

，信號發(fā)生混頻，不同的連續(xù)信號可以得到相同的采樣信號，f(t)的高頻信號有可能混疊在低頻處，因此不再能不失真地恢復原信號。2.4信號重構(gòu)——采樣的逆過程上式成立的條件：需要信號為有限帶寬；采樣周期滿足采樣定理；需要k=-∞→+∞的數(shù)據(jù)（過去和未來的數(shù)據(jù)），物理不可實現(xiàn)，因此不能應用于實際的數(shù)控系統(tǒng)。

兩類信號重構(gòu)法：2.4.1

香農(nóng)重構(gòu)法：信號完全重構(gòu)的條件為2.4.2信號保持法（Signalhold）僅由原來時刻的采樣值實現(xiàn)信號重構(gòu)的方法，即因果重構(gòu)，就是信號保持（signalhold）法，在工程上用保持器實現(xiàn)。從數(shù)學上說，保持器是解決各采樣點之間的插值問題，用外推方法——由過去時刻輸入的采樣值[f(kT)，k≤t/T]外推現(xiàn)時刻f(t)。

若，則實現(xiàn)上式的保持器稱為n階保持器。參數(shù)可由前n+1個時刻的采樣值唯一確定。1零階保持（Zero-orderhold）時域描述圖2-4-1零階保持器輸入、輸出特性u*(t)u(t)tt0T2T3T4T0T2T3T4T保持器

其不足是具有多個截止頻率，能通過高頻分量，其相頻特性具有相位遲后。

零階保持器的頻率特性：T理想濾波器零階保持器-180°2一階保持器f(t)t圖2-4-4一階保持器輸出特性H1(t)12-1-T0T2Tt圖2-4-5一階保持器脈沖響應零階與一階保持器比較如圖所示：

對兩種保持器來說，隨著采樣周期的減小，相對誤差隨之減小。用零階保持器重構(gòu)要獲得1%的相對誤差，每周期需采樣300個點。當采樣點大于20之后，采用一階保持器優(yōu)于零階保持器。在數(shù)字控制中，零階保持器容易實現(xiàn)，是應用最廣泛的一種信號重構(gòu)法。對一階保持器，若f(t)具有平滑的二階導數(shù)f”(t)，采樣后重構(gòu)誤差可用下式估計:從時域角度分析，用兩種保持器重構(gòu)信號均會產(chǎn)生誤差。對零階保持器，若f(t)具有平滑的一階導數(shù)f’(t)，采樣后重構(gòu)誤差可用下式估計:2.5采樣周期的選擇香農(nóng)采樣定理給出了T的上限；數(shù)控系統(tǒng)實時性給出了T的下限；采樣頻率越高，系統(tǒng)控制越及時，對系統(tǒng)動態(tài)性能有利。但T選得過小，計算機負擔過重，且不利于滿足實時性要求。靠經(jīng)驗選擇：如伺服系統(tǒng)中選擇ωs

≥6~10ωc。提示：實際應用中，為防止采樣過程中出現(xiàn)混