第四章 靜態(tài)場(chǎng)解

第四章靜態(tài)場(chǎng)的解4.1邊值問題的分類4.2唯一性定理4.3鏡像法4.4分離變量法4.5復(fù)變函數(shù)法4.6格林函數(shù)法4.7有限差分法靜態(tài)場(chǎng)特性靜態(tài)場(chǎng)基本概念靜態(tài)場(chǎng)是指電磁場(chǎng)中的源量和場(chǎng)量都不隨時(shí)間發(fā)生變化的場(chǎng)。靜態(tài)場(chǎng)包括靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)及恒定磁場(chǎng)，它們是時(shí)變電磁場(chǎng)的特例。靜電場(chǎng)是指由靜止的且其電荷量不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。恒定電場(chǎng)是指導(dǎo)電媒質(zhì)中，由恒定電流產(chǎn)生的電場(chǎng)。恒定磁場(chǎng)是指由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，亦稱為靜磁場(chǎng)。靜態(tài)場(chǎng)的麥克斯韋方程組靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)的最本質(zhì)區(qū)別：靜態(tài)場(chǎng)中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是彼此獨(dú)立存在的。靜電場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程靜電場(chǎng)基本方程——靜電場(chǎng)是有散(有源)無旋場(chǎng)，是保守場(chǎng)?！此煞匠獭绽狗匠虩o源區(qū)域恒定電場(chǎng)的拉普拉斯方程恒定電場(chǎng)基本方程——導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)具有無散、無旋場(chǎng)的特征，是保守場(chǎng)——拉普拉斯方程恒定磁場(chǎng)的矢量泊松方程洛侖茲規(guī)范——矢量泊松方程恒定磁場(chǎng)基本方程——恒定磁場(chǎng)是無散有旋場(chǎng)?！噶坷绽狗匠套⒁猓?/p>

標(biāo)量磁位只有在無源區(qū)才能應(yīng)用，而矢量磁位則無此限制。分解在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)也成了無旋場(chǎng)，具有位場(chǎng)的性質(zhì)，引入標(biāo)量磁位來表示磁場(chǎng)強(qiáng)度。即——標(biāo)量拉普拉斯方程拉普拉斯算子直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系靜態(tài)場(chǎng)的重要原理和定理對(duì)偶原理(1)概念：如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并具有對(duì)應(yīng)的邊界條件，那么它們解的數(shù)學(xué)形式也將是相同的，這就是對(duì)偶原理，亦稱為二重性原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個(gè)方程稱為對(duì)偶方程，在對(duì)偶方程中，處于同等地位的量稱為對(duì)偶量。靜電場(chǎng)(無源區(qū)域)恒定電場(chǎng)(電源外區(qū)域)(2)靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)對(duì)偶方程對(duì)偶量(3)靜電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)對(duì)偶方程對(duì)偶量(4)有源情況下的對(duì)偶關(guān)系對(duì)偶關(guān)系存在不像上述兩種情況那樣一目了然(5)應(yīng)用電偶極子和磁偶極子輻射的對(duì)偶關(guān)系，某些波導(dǎo)中橫電波(TE波)和橫磁波(TM波)間的對(duì)偶關(guān)系靜電場(chǎng)(無源區(qū)域)恒定磁場(chǎng)(無源區(qū)域)4.1邊值問題的分類

邊值問題是指存在邊界面的電磁問題

根據(jù)給定邊界條件對(duì)邊值問題分類：

第一類邊值問題：已知電位函數(shù)在全部邊界面上的分布值。

第二類邊值問題：已知函數(shù)在全部邊界面上的法向?qū)?shù)。第三類邊值問題（混合邊值問題）：已知一部分邊界面上的函數(shù)值，和另一部分邊界面上函數(shù)的法向?qū)?shù)。4.2唯一性定理4.2.1格林公式令散度定理則——格林第一恒等式若將第一恒等式中的ψ與φ互換，則——格林第二恒等式4.2.2唯一性定理內(nèi)容：在場(chǎng)域V的各邊界面S上給定電位或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V內(nèi)的解唯一。說明：若對(duì)同一面積，同時(shí)給定和的值，則不存在唯一解。意義：指出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問題具有唯一解的條件為靜態(tài)場(chǎng)邊值問題求解方法提供了理論依據(jù)，為結(jié)果正確性提供了判據(jù)唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理論依據(jù)設(shè)在區(qū)域V內(nèi)，φ1和φ2滿足泊松方程，即在V的邊界S上，φ1和φ2滿足同樣的邊界條件，即證明：令φ=φ1-φ2，則在V內(nèi)，▽2φ=0，在邊界面S上，φ|S=0。在格林第一恒等式中，令Ψ=φ，則4.3鏡像法概念：在一定條件下，可以用一個(gè)或多個(gè)位于待求場(chǎng)域邊界以外虛設(shè)的等效電荷來代替導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，則根據(jù)惟一性定理，空間電場(chǎng)可由原來的電荷和所有等效電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加得到。這些等效電荷稱為鏡像電荷，這種求解方法稱為鏡像法。理論依據(jù)：惟一性定理是鏡像法的理論依據(jù)。目的：把原問題中包含典型邊界的場(chǎng)的計(jì)算問題化為無限大均勻媒質(zhì)空間中的問題求解,達(dá)到簡化求解的目的.

基本思路：在求解域外的適當(dāng)位置，放置虛擬電荷等效替代分界面上導(dǎo)體的感應(yīng)面電荷或媒質(zhì)的極化面電荷的作用，取消分界面的存在。應(yīng)注意的問題：鏡像電荷位于待求場(chǎng)域邊界之外。將有邊界的不均勻空間處理為無限大均勻空間，該均勻空間中媒質(zhì)特性與待求場(chǎng)域中一致。實(shí)際電荷(或電流)和鏡像電荷(或電流)共同作用保持原邊界處的邊界條件不變。電位函數(shù)仍然滿足原方程（拉氏方程或泊松方程）。電位分布仍滿足原邊界條件

待求場(chǎng)域：上半空間邊界：無限大導(dǎo)體平面邊界條件：點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

導(dǎo)體平面導(dǎo)體平面在空間的電位為點(diǎn)電荷q和鏡像電荷-q所產(chǎn)生的電位疊加，即電位滿足邊界條件導(dǎo)體平面邊界上：4.3.1平面鏡像法上半空間的電場(chǎng)強(qiáng)度：電位：導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷總量導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷的作用力線電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像將無限長的線電荷看作無數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷的集合。根據(jù)點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像原理，可得到線電荷對(duì)應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導(dǎo)體表面的線電荷，其電荷密度為待求場(chǎng)域中的電位上半空間的電場(chǎng)3.點(diǎn)電荷對(duì)半無限大接地導(dǎo)體角域的鏡像由兩個(gè)半無限大接地導(dǎo)體平面形成角形邊界，當(dāng)其夾角為整數(shù)時(shí)，該角域中的點(diǎn)電荷將有個(gè)鏡像電荷，該角域中的場(chǎng)可以用鏡像法求解當(dāng)n=2時(shí)：該角域外有3個(gè)鏡像電荷q1、q2和q3

，位置如圖所示。其中

當(dāng)n=3時(shí)：角域夾角為π/n，n為整數(shù)時(shí)，有(2n－1)個(gè)鏡像電荷，它們與水平邊界的夾角分別為n不為整數(shù)時(shí)，鏡像電荷將有無數(shù)個(gè)，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域夾角為鈍角時(shí)，鏡像法亦不適用。角域外有5個(gè)鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負(fù)交替地分布在同一個(gè)圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點(diǎn)，半徑為點(diǎn)電荷到頂點(diǎn)的距離。

4.3.2球面鏡像法設(shè)一點(diǎn)電荷q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球附近，與球心的距離為d，如圖所示。待求場(chǎng)域?yàn)閞>a區(qū)域，邊界條件為導(dǎo)體球面上電位為零。設(shè)想在待求場(chǎng)域之外有一鏡像電荷q′，位置如圖所示。根據(jù)鏡像法原理，q和q′在球面上的電位為零。點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球周圍的電場(chǎng)aa在球面上任取一點(diǎn)c，則空間任意點(diǎn)的電位：導(dǎo)體球不接地：a—a導(dǎo)體球不接地：根據(jù)電荷守恒定律，導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷代數(shù)和應(yīng)為零，就必須在原有的鏡像電荷之外再附加另一鏡像電荷

q″=－q′球外任一點(diǎn)電位：球面上任一點(diǎn)電位：為了保證球面為等位面的條件，鏡像電荷q″應(yīng)位于球心處。4.3.3圓柱面鏡像法(a)導(dǎo)體平面與線電荷；(b)等位線線密度為ρl

的無限長線電荷平行置于接地?zé)o限大導(dǎo)體平面前，二者相距d,如圖4-5(a)所示，求電位及等位面方程。解：同理得鏡像電荷-ρl的電位：任一點(diǎn)(x,y)的總電位：用直角坐標(biāo)表示為等位線方程為這個(gè)方程表示一簇圓，圓心在(x0,y0)，半徑是R0。其中：每一個(gè)給定的m(m>0)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)等位圓，此圓的電位為4.3.3平面介質(zhì)鏡像法設(shè)想用鏡像電荷代替界面上極化電荷的作用，并使鏡像電荷和點(diǎn)電荷共同作用，滿足界面上的邊界條件。當(dāng)待求區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)1所在區(qū)域時(shí)，在邊界之外設(shè)一鏡像電荷q′介質(zhì)1中任一點(diǎn)的電位和電位移矢量分別為：

當(dāng)待求區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)2所在區(qū)域時(shí)，設(shè)一鏡像電荷q″位于區(qū)域1中，且位置與q重合，同時(shí)將整個(gè)空間視為均勻介質(zhì)2。于是區(qū)域2中任一點(diǎn)的電位和電位移矢量分別為：在分界面(R=R′=R″)上，應(yīng)滿足電位和電位移矢量法向分量相等的邊界條件：電介質(zhì)中的電場(chǎng)分布：4.4分離變量法理論基礎(chǔ)惟一性定理分離變量法的主要步驟根據(jù)給定的邊界形狀，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，正確寫出該坐標(biāo)系下拉普拉斯的表達(dá)式，及給定的邊界條件。經(jīng)變量分離將偏微分方程化簡為常微分方程，并給出常微分方程的通解，其中含有待定常數(shù)。利用給定的邊界條件，確定通解中的待定常數(shù)，獲得滿足邊界條件的特解。4.4.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程分離變量法本征方程的求解(1)當(dāng)時(shí)本征函數(shù)本征方程本征值(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)或由本征方程為：則：(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)由本征方程為：或則：應(yīng)用疊加定理，可將三種解疊加組成拉普拉斯方程的通解三種解的特點(diǎn)：第一種解中，X(x)和Y(y)為常數(shù)或線性函數(shù)，說明它們最多只有一個(gè)零點(diǎn)；第二種解中，X(x)為三角函數(shù)，有多個(gè)零點(diǎn)，Y(y)為雙曲函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)；第三種解中，X(x)為雙曲函數(shù)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，而Y(y)為三角函數(shù)，有多個(gè)零點(diǎn)。解:

選直角坐標(biāo)系，電位函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程

邊界條件：例1：一接地金屬槽如圖所示，其側(cè)壁和底壁電位均為零，頂蓋與側(cè)壁絕緣，其電位為U0，求槽內(nèi)電位分布。設(shè)，代入式(1)中得:根據(jù)邊界條件(2)與(3)可知，函數(shù)X(x)沿x方向有兩個(gè)零點(diǎn)，因此X(x)應(yīng)為三角函數(shù)形式，又因?yàn)閄(0)=0，所以X(x)應(yīng)選取正弦函數(shù)，即由邊界條件(3)得：對(duì)應(yīng)的Y(y)函數(shù)為雙曲函數(shù)，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式為此時(shí)，電位可表示為由邊界條件(5)知

其中：對(duì)上式兩邊同乘以，再對(duì)x從0到a進(jìn)行積分，即滿足邊界條件的特解為：直角坐標(biāo)系中三維拉普拉斯方程分離變量法根據(jù)本征值的不同取值，可以得到類似于二維情況的解的形式。為了在給定邊界條件下，選取適當(dāng)?shù)耐ń夂瘮?shù)形式，下表給出了一些的典型組合。表中和是由邊界條件確定的實(shí)數(shù)。解:選直角坐標(biāo)系，電位函數(shù)滿足三維拉普拉斯方程及邊界條件例2:求圖示長方形體積內(nèi)的電位函數(shù)。由邊界條件可以判斷，特征函數(shù)可表示為：由邊界條件可得：電位函數(shù)可表示為：由本征值關(guān)系可得：則：最后，由最后一個(gè)邊界條件得：上式兩端同乘以，并對(duì)x,y積分，利用三角函數(shù)正交性可得：于是所求的電位函數(shù)為：4.4.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法電位微分方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式為令其解為代入上式求得上式中第二項(xiàng)僅為變量

的函數(shù)，而第一項(xiàng)及第三項(xiàng)與無關(guān)，因此將上式對(duì)

求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)對(duì)的導(dǎo)數(shù)為零，可見第二項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)，令即式中k為分離常數(shù)，它可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。通常變量

的變化范圍為，那么此時(shí)場(chǎng)量隨

的變化一定是以2

為周期的周期函數(shù)。因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù)k一定是整數(shù)，以保證函數(shù)的周期為2。令，m為整數(shù)，則上式的解為式中A,B為待定常數(shù)?？紤]到，以及變量的方程式，則前述方程可表示為代入上式求得上式左邊第一項(xiàng)僅為變量r的函數(shù)，第二項(xiàng)僅為變量z

的函數(shù)，因此按照前述理由，它們應(yīng)分別等于常數(shù)，令即式中分離常數(shù)kz可為實(shí)數(shù)或虛數(shù)，其解可為三角函數(shù)，雙曲函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。當(dāng)kz為實(shí)數(shù)時(shí)，可令式中C,D

為待定常數(shù)。將變量z方程代入前式，得若令，則上式變?yōu)樯鲜綖闃?biāo)準(zhǔn)的柱貝塞爾方程，其解為柱貝塞爾函數(shù)，即至此，我們分別求出了R(r)

,(),Z(z)的解，而電位微分方程的通解應(yīng)為三者乘積，或取其線性組合。式中E,F為待定常數(shù),為m階第一類柱貝塞爾函數(shù)，為m階第二類柱貝塞爾函數(shù)。根據(jù)第二類柱貝塞爾函數(shù)的特性知，當(dāng)r=0時(shí)，。因此，當(dāng)場(chǎng)存在的區(qū)域包括

r=0

時(shí)，此時(shí)只能取第一類柱貝塞爾函數(shù)作為方程的解。若所討論的靜電場(chǎng)與變量z無關(guān)，則分離常數(shù)。那么電位微分方程變?yōu)榇朔匠痰慕鉃橹笖?shù)函數(shù)，即若所討論的靜電場(chǎng)又與變量無關(guān)，則m=0。那么，電位微分方程的解為考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式4.4.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法該方程的解常用的有四種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有三種情況的解：(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，由于，限定了n必須為正整數(shù)。，(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)為任意非零實(shí)數(shù)。(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，為任意非零實(shí)數(shù)。時(shí)，(1)當(dāng)?shù)慕?的解(1)當(dāng)時(shí)，方程化簡為零階貝塞爾方程，其解的形式為(2)當(dāng)時(shí)，方程化簡為歐拉方程，其解的形式為(3)當(dāng)時(shí)，方程的解為(4)當(dāng)時(shí)，方程的解為——n階貝塞爾方程例3若在電場(chǎng)強(qiáng)度為E0的均勻靜電場(chǎng)中放入一個(gè)半徑為a的電介質(zhì)圓柱，柱的軸線與電場(chǎng)互相垂直，介質(zhì)柱的介電常數(shù)為ε，柱外為真空，如圖4-11所示，求柱內(nèi)、外的電場(chǎng)。圖4-11均勻場(chǎng)中介質(zhì)柱解：設(shè)柱內(nèi)電位為φ1，柱外電位為φ2，φ1和φ2與z無關(guān)。取坐標(biāo)原點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，邊界條件如下：①r→∞,φ2=-E0rcosφ②r=0,φ1=0③r=a,φ1=φ2④r=a,于是，柱內(nèi)、柱外電位的通解為考慮本題的外加電場(chǎng)、極化面電荷均關(guān)于x軸對(duì)稱，柱內(nèi)、柱外電位解只有余弦項(xiàng)，即結(jié)合邊界條件1和2可得由邊界條件③和④，可得其中，εr=ε/ε0，是介質(zhì)圓柱的相對(duì)介電常數(shù)。于是柱內(nèi)、外的電位為例4：在一均勻電場(chǎng)中，放置一無限長的圓柱導(dǎo)體，圓柱的軸線與電場(chǎng)強(qiáng)度的方向垂直，如圖所示，求放入圓柱導(dǎo)體后的電場(chǎng)分布。解：按題意應(yīng)選用圓柱坐標(biāo)系。導(dǎo)體為等位體，導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)，因而根據(jù)題意可確定，的形式為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的形式為于是，電位的形式為：放置圓柱導(dǎo)體之后，使均勻場(chǎng)發(fā)生畸變，但遠(yuǎn)離導(dǎo)體的地方，電場(chǎng)仍然保持均勻狀態(tài)。由得相應(yīng)的電位函數(shù)為：未放置圓柱導(dǎo)體前，空間電場(chǎng)為均勻場(chǎng)比較上兩式可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是：已知：根據(jù)，得到可見，在處，電場(chǎng)強(qiáng)度最大。故圓柱體外部空間的電位為邊界條件為圓柱導(dǎo)體表面為等位面，取該等位面電位為零，即于是4.4.3球坐標(biāo)系中的分離變量法該方程只討論電位與方位角無關(guān)的情況該方程的解有兩種情況該方程的解有兩種情況(1)時(shí)，(2)時(shí)，的情況不存在。當(dāng)電位與方位角無關(guān)時(shí)，即：的解的解——勒讓德方程

的解它的解具有冪級(jí)數(shù)形式，且在-1<x<1收斂。勒讓德方程的解為n階勒讓德多項(xiàng)式Pn(x)：勒讓德多項(xiàng)式也是正交函數(shù)系，正交關(guān)系為當(dāng)或時(shí)，是發(fā)散的。而電位應(yīng)為有限值，所以Φ的解中不含有項(xiàng)。通過以上分析，電位的通解為和根據(jù)給定的邊界條件來確定。(1)時(shí)，(2)時(shí)，小結(jié)：三種坐標(biāo)系下分離變量法的通解直角坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系（與方位角無關(guān)）

例5假設(shè)真空中在半徑為a的球面上有面密度為σ0cosθ的表面電荷，其中σ0是常數(shù)，求任意點(diǎn)的電位。球面上的邊界條件為①r=a,φ1=φ2②r=a,解：設(shè)球內(nèi)外的電勢(shì)分別為φ1、

φ2則根據(jù)題意可知故使用勒讓德多項(xiàng)式的唯一性，即將區(qū)間［-1,1］內(nèi)的函數(shù)可以唯一的用勒讓德多項(xiàng)式展開，并考慮P1(cosθ)=cosθ，得(r≤a)(r≥a)4.5復(fù)變函數(shù)法利用復(fù)變函數(shù)中的一些解析函數(shù)性質(zhì)可以直接表示某些具有導(dǎo)體邊界的二維場(chǎng)。利用復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)的保角變換性質(zhì)，可以將復(fù)雜的場(chǎng)域邊界變換成比較簡單的邊界，這給具有復(fù)雜場(chǎng)域邊界的二維電磁場(chǎng)的求解提供了一種比較簡便的方法。利用復(fù)變函數(shù)求解電磁場(chǎng)邊值問題的方法，稱為復(fù)變函數(shù)法。復(fù)變函數(shù)：自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)。

解析函數(shù)柯西—黎曼條件是判斷復(fù)變函數(shù)是否為解析函數(shù)的必要和充分條件。

復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)柯西—黎曼條件：自變量----復(fù)變函數(shù)或復(fù)變函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)（1）復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都滿足二維拉普拉斯方程?？挛鳌杪鼦l件：可見：同理：柱坐標(biāo)中：（2）在坐標(biāo)變量為x及y的復(fù)平面z上，解析函數(shù)W(z)的實(shí)部u(x,y)等于常數(shù)的曲線與虛部v(x,y)等于常數(shù)的曲線處處正交。令：對(duì)這兩條曲線求梯度：可見：說明：u(x,y)等于常數(shù)的曲線與虛部v(x,y)等于常數(shù)的曲線處處正交。(3)解析函數(shù)W(z)可將復(fù)平面z上的兩條相交曲線保角變換到坐標(biāo)變量為u+jv的復(fù)平面W上。保角變換的含義：

復(fù)變函數(shù)法4.5.1復(fù)(電)位函數(shù)若已知某一解析函數(shù)W(z)的實(shí)部（或虛部）等于常數(shù)的曲線和待求場(chǎng)中的電位等于常數(shù)的邊界重合，則此解析函數(shù)的實(shí)部（或虛部）就是待求位函數(shù)的解，并且此解析函數(shù)的虛部（或?qū)嵅浚┍貫榇髨?chǎng)的通量函數(shù)，該方法稱為復(fù)位函數(shù)法。應(yīng)用該方法時(shí)，要求對(duì)一些解析函數(shù)的特性比較熟悉，以便依據(jù)邊界條件確定合適的復(fù)位函數(shù)。如果復(fù)變函數(shù)w(z)=u(x,y)+jv(x,y)是解析函數(shù)，則它的實(shí)部

和虛部之間應(yīng)滿足柯希—黎曼條件：且其實(shí)部和虛部都滿足二維拉普拉斯方程：且曲線簇u(x,y)=C1和曲線簇v(x,y)=C2處處相互正交4.5.2用復(fù)電位解二維邊值問題當(dāng)取某一解析函數(shù)的虛部表示二維電場(chǎng)的電位時(shí)，有如圖，計(jì)算xoy平面上任意一條曲線為底，z方向單位長的曲面的通量：說明：若在xoy平面上指定A點(diǎn)作為計(jì)算通量的起點(diǎn)，則B點(diǎn)的通量函數(shù)是指在AB間的一條曲線和z方向單位長度構(gòu)成的一個(gè)曲面上的電通量結(jié)論：用復(fù)變函數(shù)法解二維邊值問題的關(guān)鍵是找一個(gè)解析函數(shù).若解析函數(shù)存在，則當(dāng)其虛部表示電位函數(shù)時(shí)，其實(shí)部一定表示通量函數(shù).即若解析函數(shù)存在，當(dāng)其實(shí)部表示電位函數(shù)時(shí)，則其虛部是通量函數(shù)的相反值.即思路：研究一些常用解析函數(shù)的實(shí)部和虛部的等值線分布.對(duì)實(shí)際的邊界形狀，從常見的函數(shù)中找出其實(shí)部(或虛部)的等值線與邊界相重合的函數(shù).根據(jù)已知的邊界條件確定該解析函數(shù)中的待定常數(shù).對(duì)于形狀較復(fù)雜的邊界，常常需要進(jìn)行兩次或多次變換.對(duì)數(shù)函數(shù)實(shí)部可以視為無限長線電荷的電位函數(shù)虛部可以視為兩個(gè)半無限大導(dǎo)體平面角域間的電位函數(shù)在柱坐標(biāo)系，令則

冪函數(shù)用柱坐標(biāo)系，令，則冪函數(shù)可以表示為兩個(gè)夾角為的接地?zé)o限大導(dǎo)體平面間的復(fù)電位和半無限大導(dǎo)體平面間的場(chǎng)的接地分布。復(fù)電位分別為例：

反余弦函數(shù)可以用來表示導(dǎo)體表面是橢圓柱面或雙曲柱面的復(fù)電位無限長直條帶可視為橢圓柱面的特殊情況兩共面導(dǎo)體板可視為雙曲柱面的特殊情況4.5.3保角變換保角變換法就是選擇合適的解析函數(shù)將z平面上較為復(fù)雜的邊界變換為W平面上的簡單邊界，求出簡單邊界問題的待求函數(shù)，再用反變換，獲得原有問題的解。如圖：說明：保角變換前后，圖形的形狀要產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)和伸縮，但兩條曲線之間的夾角保持不便.使用保角變換法求解靜態(tài)場(chǎng)問題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q函數(shù)，將z平面上比較復(fù)雜的邊界條件變換到W平面較易求解的邊界.注意：如果變換以前勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程，則在變換以后勢(shì)函數(shù)也滿足拉普拉斯方程.如果變換以前勢(shì)函數(shù)滿足泊松方程則在變換以后，勢(shì)函數(shù)滿足以下的泊松方程即：二維平面場(chǎng)的電荷密度經(jīng)過變換以后要發(fā)生變化，但是電荷總量不變。在變換前后，Z平面和W平面對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度要發(fā)生變化，它們之間的關(guān)系為變換前后，兩導(dǎo)體之間的電容量不變.例6：在夾角為α的角形區(qū)域內(nèi)，線電荷的位置坐標(biāo)為，如圖所示。求角形區(qū)域內(nèi)的位函數(shù)。解：先進(jìn)行保角變換，再結(jié)合鏡像法求解。對(duì)于角形邊界問題，采用冪函數(shù)進(jìn)行變換。Ox邊：OM

邊：可見：z平面上的角形邊界，被變換為W平面上的無限大平面邊界。線電荷ρl的坐標(biāo)在W平面上可以用鏡像法求解，鏡像電荷-ρl的坐標(biāo)為(R0,-θ0)，電位為:z平面角形區(qū)域的電位函數(shù)：其中：4.6格林函數(shù)法概念格林函數(shù)是指單位點(diǎn)源的位函數(shù)應(yīng)用格林函數(shù)是數(shù)學(xué)物理方法中的基本方法之一，可用于求解靜態(tài)場(chǎng)中的Laplace方程、Poisson方程及時(shí)變場(chǎng)中的Helmholtz方程思路先求出與待解問題具有相同邊界形狀的Green函數(shù)，然后通過積分得到具有任意分布源的解重點(diǎn)與難點(diǎn)理解能用Green函數(shù)法求解的靜電問題的情況;

了解點(diǎn)電荷的表示;

掌握Green公式;

對(duì)于第一類和第二類邊界條件都能用Green公式求出勢(shì)函數(shù).分離變量法和鏡像法能解的情況

分離變量法能解的情況：自由電荷全聚集在邊界上，也就是說：在要求解電場(chǎng)區(qū)域沒有自由電荷(泊松方程轉(zhuǎn)變?yōu)槔祭狗匠?+邊界條件。鏡像法能解的情況：在求解區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷，或者只有有限幾個(gè)點(diǎn)電荷，并且區(qū)域邊界或介質(zhì)界面規(guī)則(電場(chǎng)能用等效電荷代替)+邊界條件。

能用Green定理求解靜電邊值問題的情況:給定區(qū)域V內(nèi)電荷分布，和區(qū)域V的邊界面S上各點(diǎn)的電勢(shì)或電勢(shì)法向?qū)?shù)。

第一類邊值問題:給定S上的電勢(shì),也稱狄利克萊邊值問題;第二類邊值問題:給定S上的，也稱諾埃曼邊值問題。

Green函數(shù)法能解的情況點(diǎn)電荷密度的δ函數(shù)表示因?yàn)辄c(diǎn)電荷分布的特點(diǎn)是在點(diǎn)電荷所在處的電荷密度變?yōu)闊o窮大，而在其他地方電荷密度為零。若在x處有一點(diǎn)電荷Q，則電荷密度可寫為顯然對(duì)于單位點(diǎn)電荷而言，Q=1，其密度為

Green函數(shù)一個(gè)處在點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷，它所激發(fā)的電勢(shì)方程為假設(shè)有一包含點(diǎn)的某空間區(qū)域V，在V的邊界S上有如下邊界條件則把滿足邊界條件（4）式的（3）式的解稱為泊松方程在區(qū)域V的第一類或第二類邊值問題的Green函數(shù)Green函數(shù)一般用表示，表示單位電荷所在的位置，代表觀察點(diǎn)，在（3）式和（4）式中，把換成G，即Green函數(shù)所滿足的方程和邊界條件為4.6.1靜電場(chǎng)邊值問題的Green函數(shù)法表示式假定已知某給定區(qū)域V內(nèi)的電荷體密度ρ(r)，則待求電位φ(r)滿足泊松方程：與其對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)為Green函數(shù)具有對(duì)稱性或互易性由及當(dāng)源點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)時(shí)，有此式就是有限區(qū)域V內(nèi)任意一點(diǎn)電位的格林函數(shù)表示式。它表明，一旦體積V中的電荷分布ρ以及有限體積V的邊界面S上的邊界條件φ(r′)和為已知，V內(nèi)任意一點(diǎn)的電位即可以通過積分算出。注意：Green第一、第二公式是等價(jià)的，視問題的方便程度而選取之。Green公式對(duì)解靜電問題的意義是：在區(qū)域V內(nèi)找一個(gè)待定函數(shù)φ（ψ為待求），通過這個(gè)公式從已知確定未知。1.第一類邊值問題的格林函數(shù)即第一類邊值問題的格林函數(shù)G1在邊界面S上滿足齊次邊界條件。2.第二類邊值問題的格林函數(shù)在此條件下，第二類靜電場(chǎng)邊值問題的解為3.第三類邊值問題的格林函數(shù)電位的邊界條件結(jié)論：

Green函數(shù)解法的的實(shí)質(zhì)是把Poisson方程的求解轉(zhuǎn)化為特定邊界條件下點(diǎn)源激勵(lì)時(shí)位函數(shù)的求解問題.（點(diǎn)源激勵(lì)下的位函數(shù)就是Green函數(shù)）對(duì)于Laplace方程的求解問題，只需要將相對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)中的體電荷密度取為0即可.說明：

以上的討論，表面上制裁似乎把靜電邊值問題的解找到了，其實(shí)并作為此，因?yàn)橹挥邪褑栴}的Green函數(shù)找到了，才能對(duì)表達(dá)式（第一類邊值問題的形式解和第二類邊值問題的形式解）作出具體的計(jì)算。實(shí)際求Green函數(shù)本身并不是件容易的事，所以以上解的形式只具有形式解的意義。當(dāng)然，它把唯一性定理更具體地表達(dá)出來了。4.6.2簡單邊界的格林函數(shù)1.無界空間的格林函數(shù)即在無窮大空間中放一個(gè)單位點(diǎn)電荷，求空間某處的電勢(shì)，也就是Green函數(shù)。二維單位點(diǎn)源的位函數(shù)2.上半空間的格林函數(shù)式中：計(jì)算上半空間(z>0)的格林函數(shù)，就是求位于上半空間r′處的單位點(diǎn)電荷，以z=0平面為電位零點(diǎn)時(shí)，在上半空間任意一點(diǎn)r處的電位。這個(gè)電位可以用平面鏡像法求得，因而，上半空間的格林函數(shù)為二維半空間(y>0)的格林函數(shù)式中：3.球內(nèi)、外空間的格林函數(shù)可以由球面鏡像法，求出球心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為a的球外空間的格林函數(shù)為球內(nèi)空間的Green函數(shù)：在求解Green函數(shù)時(shí)，求Green函數(shù)本身不是很容易的，只有當(dāng)區(qū)域具有簡單幾何形狀時(shí)才能得出解析的解，否則只能給出數(shù)值解.注意：

4.6.3格林函數(shù)的應(yīng)用例7已知一個(gè)半徑為a的圓柱形區(qū)域內(nèi)體電荷密度為零，界面上的電位為用格林函數(shù)法求圓柱內(nèi)部的電位φ(r,φ)。解：如圖，使用鏡像法及格林函數(shù)的性質(zhì)，可以得出，半徑為a的圓柱內(nèi)部靜電問題的格林函數(shù)為由可得又

例8如果例7的圓柱面上的電位為φ(a,φ)=U0cosφ，求柱內(nèi)的電位。首先證明恒等式*解：

令k=r/a，我們可以將式*改寫成例9在均勻電場(chǎng)中，設(shè)置一個(gè)半徑為a的介質(zhì)球，若電場(chǎng)的方向沿z軸，求介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和電場(chǎng)（介質(zhì)球的介電常數(shù)為ε，球外為空氣）.解：

根據(jù)題意可知，球內(nèi)外的電位滿足Laplace方程，且與方位角Φ無關(guān)，在球坐標(biāo)系下其通解形式為故可設(shè)球內(nèi)、外電位解的形式分別為z由題意，選取球心為電位的參考點(diǎn)，則由邊界條件，在介質(zhì)球面r＝a處andwhen由電場(chǎng)強(qiáng)度和電位的關(guān)系磁位φm

、磁矢位A與電位φ的比較位函數(shù)比較內(nèi)容引入位函數(shù)的依據(jù)位與場(chǎng)的關(guān)系微分方程位與源的關(guān)系電位磁位磁矢位（A）(有源或無源）(無源）(有源或無源）

例10設(shè)在均勻磁場(chǎng)H0中放置一半徑分別為