自動(dòng)控制原理第8章-非線性控制系統(tǒng)分析

wwl@國(guó)家精品課程自動(dòng)控制原理PrinciplesofAutomaticControl主講人：

王萬(wàn)良導(dǎo)讀為什么要介紹本章?被控對(duì)象的種類(lèi)越來(lái)越多，線性模型已不能滿足要求。例如控制系統(tǒng)中常出現(xiàn)穩(wěn)定的自激振蕩，這是線性模型中不存在的。又如控制系統(tǒng)中大量采用繼電控制，但線性系統(tǒng)理論不能分析這類(lèi)系統(tǒng)。要建立一個(gè)能解決非線性系統(tǒng)全部問(wèn)題的方法是不可能的。目前許多方法是以線性化方法為基礎(chǔ)，加以修補(bǔ)使之適應(yīng)解決非線性問(wèn)題的需要，例如描述函數(shù)法。本章主要講什么內(nèi)容?首先介紹非線性系統(tǒng)的特性，然后介紹描述函數(shù)法，著重分析自激振蕩。最后介紹適合于二階非線性系統(tǒng)的相平面法。第8章非線性控制系統(tǒng)分析第8章非線性控制系統(tǒng)分析8.1典型非線性特性8.2描述函數(shù)法8.3相平面法8.4MATLAB在非線性系統(tǒng)分析中的應(yīng)用8.1典型非線性特性弱非線性系統(tǒng)（光滑、連續(xù)的非線性系統(tǒng)）（泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法，非線性系統(tǒng)的線性化）強(qiáng)非線性系統(tǒng)(本質(zhì)非線性)（描述函數(shù)法，相平面法，計(jì)算機(jī)仿真）非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別（1）

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，或者只取決于系統(tǒng)特征方程根的分布，而和初始條件、外加作用沒(méi)有關(guān)系。對(duì)于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念。必須具體討論某一運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，除了和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)大小有關(guān)以外，還和初始條件有密切的關(guān)系。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別（2）線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的形式與系統(tǒng)的初始偏移無(wú)關(guān)。非線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的時(shí)間響應(yīng)曲線可以隨著初始偏移不同而有多種不同的形式。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別（3）線性系統(tǒng)在沒(méi)有外作用時(shí)，周期運(yùn)動(dòng)只發(fā)生在臨界情況，而這一周期運(yùn)動(dòng)在物理上不可能實(shí)現(xiàn)的。非線性系統(tǒng)，在沒(méi)有外作用時(shí)，系統(tǒng)中完全有可能發(fā)生一定頻率和振幅的穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，這個(gè)周期運(yùn)動(dòng)在物理上是可以實(shí)現(xiàn)的，通常把它稱為自激振蕩。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別（4）線性系統(tǒng)中，當(dāng)輸入量是正弦信號(hào)時(shí)，輸出穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，可以引入頻率特性的概念并用它來(lái)表示系統(tǒng)固有的動(dòng)態(tài)特性。非線性系統(tǒng)在正弦作用下的輸出比較復(fù)雜。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別（5）在線性系統(tǒng)中，一般可采用傳遞函數(shù)、頻率特性、脈沖響應(yīng)函數(shù)等概念。工程實(shí)際中對(duì)于存在線性工作區(qū)域的非線性系統(tǒng)，或者非線性不嚴(yán)重(光滑、連續(xù)）的準(zhǔn)線性系統(tǒng)，常常采用線性化的方法進(jìn)行處理，然后在線性分析的基礎(chǔ)上加以修正。對(duì)于包括像繼電特性那樣根本不存在線性區(qū)的本質(zhì)非線性特性，工程上常用相平面方法和描述函數(shù)方法進(jìn)行研究。8.1典型非線性特性8.1.1飽和特性具有飽和特性的裝置：放大器的輸出飽和或輸出限幅具有行程限制及功率限制的液壓調(diào)節(jié)閥伺服電機(jī)在大控制電壓下運(yùn)行的轉(zhuǎn)速特性流通孔徑限制8.1.2死區(qū)特性具有死區(qū)特性的裝置：（１）測(cè)速發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速很低時(shí)，輸出電壓幾乎為0；（２）伺服電機(jī)的死區(qū)電壓（啟動(dòng)電壓）；（３）各種電路中的門(mén)檻值（閾值）；（４）電氣觸頭間隙；（５）彈簧的預(yù)張力；（6）氣動(dòng)或液壓滑閥的搭接段。放大器的輸出飽和或輸出限幅8.1.3間隙特性具有間隙特性的實(shí)際系統(tǒng)：（１）齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)系；（２）磁化特性；（３）液壓傳動(dòng)中的油隙特性。8.1.4繼電器特性8.1.4繼電器特性8.2描述函數(shù)法8.2.1描述函數(shù)法的基本思想與條件8.2.2描述函數(shù)8.2.3典型非線性特性的描述函數(shù)8.2.4用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩1.基本思想描述函數(shù)法的基本思想是用非線性元件的輸出信號(hào)中的基波分量，代替非線性元件在正弦輸入作用下的實(shí)際輸出。所以這種方法又稱為一次諧波法。8.2.1描述函數(shù)法的基本思想與條件2.基本條件非線性特性是斜對(duì)稱的，這樣輸出中的常值分量為零；線性部分具有較好的低通濾波特性，以衰減高次諧波；非線性特性不是時(shí)間函數(shù)。因?yàn)槊枋龊瘮?shù)法本質(zhì)上是頻率法的推廣，而頻率法對(duì)時(shí)變系統(tǒng)不適用；系統(tǒng)中的非線性特性能簡(jiǎn)化為一個(gè)非線性環(huán)節(jié)。8.2.1描述函數(shù)法的基本思想與條件8.2.2描述函數(shù)

1.描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)總是輸入信號(hào)幅值A(chǔ)的函數(shù)，一般也是頻率的函數(shù)，因此，描述函數(shù)一般記為非線性元件的描述函數(shù)或等效幅相頻率特性與輸入的正弦振蕩的振幅A有關(guān)，這是非線性特性本質(zhì)的反映。它與線性環(huán)節(jié)的情況正好相反，線性環(huán)節(jié)的幅相特性（頻率特性）與正弦輸入的幅值無(wú)關(guān)。8.2.2描述函數(shù)

1）繪制輸入—輸出波形圖，寫(xiě)出輸入為時(shí)非線性輸出表達(dá)式的對(duì)稱性，并計(jì)算2.描述函數(shù)的求取

2）由波形圖分析3）描述函數(shù)為8.2.2描述函數(shù)

例非線性元件的靜特性方程為

X(t)是單值奇函數(shù)，所以A1=0

8.2.2描述函數(shù)

8.2.3典型非線性特性得描述函數(shù)1.飽和特性的描述函數(shù)X(t)是單值奇函數(shù)，所以A1=0

X(t)X(t)e(t)負(fù)倒特性單值奇函數(shù)，具有半周期的對(duì)稱性2.死區(qū)特性的描述函數(shù)X(t)X(t)e(t)3.間隙特性的描述函數(shù)X(t)X(t)e(t)4.繼電器特性的描述函數(shù)e(t)X(t)X(t)8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩

8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩

奈氏圖上的穩(wěn)定性分析當(dāng)系統(tǒng)處于某一狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)的負(fù)倒特性曲線上的一點(diǎn)就是臨界點(diǎn)。這樣，線性系統(tǒng)理論中的奈氏穩(wěn)定判據(jù)，可用于分析非線性系統(tǒng)處于這個(gè)狀態(tài)時(shí)的穩(wěn)定性。8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩

奈氏圖上的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定（最小相位系統(tǒng)）不穩(wěn)定（最小相位系統(tǒng)）8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩

自激振蕩穩(wěn)定性分析什么是自激振蕩的穩(wěn)定性？如何判別自激振蕩的穩(wěn)定性？當(dāng)負(fù)倒特性軌跡從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)時(shí)，交點(diǎn)處的自激振蕩是穩(wěn)定的自激振蕩。當(dāng)負(fù)倒特性軌跡從穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)時(shí)，交點(diǎn)處的自激振蕩是不穩(wěn)定的自激振蕩。自激振蕩8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩

自激振蕩振幅和頻率的確定自激振蕩的幅值和頻率分別為交點(diǎn)處負(fù)倒特性軌跡上的A值，和線性部分奈氏軌跡上對(duì)應(yīng)的頻率值。例8.2分析非線性系統(tǒng)自激振蕩的情況解得奈氏曲線與實(shí)軸交點(diǎn)處的頻率：奈氏曲線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)：理想繼電特性的負(fù)倒特性為負(fù)倒特性曲線為整個(gè)負(fù)實(shí)軸，如圖8.24所示，與奈氏曲線存在交點(diǎn)，系統(tǒng)存在自激振蕩。由于負(fù)倒特性是從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，所以，交點(diǎn)處是穩(wěn)定的自激振蕩。自激振蕩的頻率為幅值為例分析非線性系統(tǒng)自激振蕩的情況8.3相平面法8.3.1相平面對(duì)于ｎ階系統(tǒng)的狀態(tài)，可以用一個(gè)ｎ維狀態(tài)向量描述，可以構(gòu)成一個(gè)ｎ維空間，稱為狀態(tài)空間，也稱為相空間。各狀態(tài)隨時(shí)間ｔ變化在狀態(tài)空間中形成的軌跡，稱為相軌跡。

對(duì)于二階微分方程描述的系統(tǒng)，相空間是二維的，在某些情況下，是一個(gè)平面，稱為相平面。相軌跡表示了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。這種用相軌跡幾何圖形表示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的方法，稱為相平面法。相平面法的適用范圍：相平面法是一種精確的方法，但它受到下列幾點(diǎn)限制：（1）僅適用于一階、二階系統(tǒng)。（2）只適用于定常系統(tǒng)，不適用于時(shí)變系統(tǒng)。（3）一般用于研究系統(tǒng)輸入為零時(shí)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。當(dāng)有輸入時(shí)，輸入信號(hào)的形式受到初態(tài)的限制，只允許像階躍、速度、加速度等能像常數(shù)被狀態(tài)隱含的輸入信號(hào)，而不允許像正弦一類(lèi)的輸入。相平面法研究的是下列線性或非線性二階系統(tǒng)：相平面的選擇當(dāng)研究系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程特性時(shí)，常常選擇系統(tǒng)輸出變量及其導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量；當(dāng)研究系統(tǒng)的誤差特性時(shí)，常常選擇系統(tǒng)誤差信號(hào)及其導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量；當(dāng)系統(tǒng)存在速度輸入時(shí)，一般選擇系統(tǒng)的誤差信號(hào)及其導(dǎo)數(shù)作為變量相平面的性質(zhì)（1）相平面圖的對(duì)稱性相軌跡的對(duì)稱性可以從對(duì)稱點(diǎn)上相軌跡的斜率來(lái)判斷。若對(duì)稱于x軸，則和點(diǎn)上相軌跡的斜率大小相等，符號(hào)相反即相軌跡對(duì)稱于x軸的條件是必須是的偶函數(shù)。相軌跡對(duì)稱于軸的條件是必須是的奇函數(shù)。若相軌跡對(duì)稱于軸，則和點(diǎn)上相軌跡的斜率大小相等，符號(hào)相反相軌跡對(duì)稱于原點(diǎn)的條件若相軌跡對(duì)稱于原點(diǎn)，則和點(diǎn)上相軌跡的斜率大小相等，符號(hào)相同（2）相軌跡與X軸正交相軌跡在與x軸的相交點(diǎn)處的斜率為（３）系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡運(yùn)動(dòng)的方向在相平面的上半平面，系統(tǒng)的狀態(tài)是沿相軌跡向右運(yùn)動(dòng)。在相平面的下半平面，系統(tǒng)的狀態(tài)是沿相軌跡向左運(yùn)動(dòng)。（４）相平面圖中的普通點(diǎn)和奇點(diǎn)在普通點(diǎn)相軌跡是唯一的，而在奇點(diǎn)相軌跡是不唯一的。相軌跡的斜率為相平面中不同時(shí)滿足，，稱為普通點(diǎn)。相平面中同時(shí)滿足，，稱為奇點(diǎn)。8.3.2相軌跡的繪制方法繪制相平面圖可以用解析法和計(jì)算機(jī)仿真方法。１.解析法方法1：求出和對(duì)的函數(shù)關(guān)系，然后從這兩個(gè)方程中消去，從而得到相軌跡方程。

例8.4具有理想繼電特性的非線性系統(tǒng)如圖所示，試在平面上繪制相軌跡。解從方框圖得到則從上面兩式中消去t方法2：利用關(guān)系式將二階微分方程變成一階微分方程，然后直接對(duì)該一階微分方程進(jìn)行積分，便可得到相應(yīng)的相軌跡。例8.4兩種方法所得結(jié)果相同。2定性控制法（１）相對(duì)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸的對(duì)稱性；（２）水平等傾線；（３）鉛垂等傾線；（４）不變直線，即直線形的相軌跡；（５）奇點(diǎn)類(lèi)型；（６）極限環(huán)；（７）某區(qū)域中的斜率符號(hào)。例8.5繪制相軌跡相軌跡微分方程為它的相軌跡具有下列特征：（１）相軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（２）水平等傾線（３）鉛垂等傾線y=0（４）不變直線相軌跡y=kx（５）等傾線方程為8.3.3奇點(diǎn)相平面分析法的一個(gè)重要方面：根據(jù)系統(tǒng)相軌跡的一些特征可以分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。相軌跡的兩類(lèi)重要特征——奇點(diǎn)和極限環(huán)。１.奇點(diǎn)的概念使與同時(shí)成立的點(diǎn)為奇點(diǎn)。奇點(diǎn)是相軌跡的交點(diǎn)。奇點(diǎn)的物理意義：平衡點(diǎn)

奇點(diǎn)的求解：為了確定奇點(diǎn)的性質(zhì)及其附近的運(yùn)動(dòng)特性，將Ｐ、Ｑ在奇點(diǎn)附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)。線性化２二階線性系統(tǒng)的相軌跡及奇點(diǎn)考察二階線性微分方程：若則有唯一奇點(diǎn)（0，0）消去狀態(tài)變量特征方程各種特征根分布及相應(yīng)的相軌跡圖。各種特征根分布及相應(yīng)的相軌跡圖。３.二階非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的性質(zhì)龐加萊(Poincare)定理若一次近似方程的奇點(diǎn)屬于節(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)和鞍點(diǎn)，則非線性方程的奇點(diǎn)也屬于同一類(lèi)型。例8.6確定下列非線性方程的奇點(diǎn)類(lèi)型。得方程的唯一奇點(diǎn)（０，０）。一次線性近似方程為特征根為是一次近似方程的穩(wěn)定焦點(diǎn)，也是非線性方程的穩(wěn)定焦點(diǎn)。對(duì)非線性系統(tǒng)，奇點(diǎn)的相圖僅在奇點(diǎn)附近小領(lǐng)域內(nèi)才能表示非線性系統(tǒng)的相圖，而且離奇點(diǎn)愈遠(yuǎn)，畸變愈大。線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)的類(lèi)型完全確定了系統(tǒng)整個(gè)相平面上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)的類(lèi)型不能確定系統(tǒng)在整個(gè)相平面上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，只能確定奇點(diǎn)（平衡點(diǎn)）附近的運(yùn)動(dòng)特征。極限環(huán)描述了離開(kāi)奇點(diǎn)較遠(yuǎn)處的相平面圖的特征。非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)和線性奇點(diǎn)的比較：8.3.4極限環(huán)自激振蕩是非線性系統(tǒng)中的一個(gè)很重要的現(xiàn)象，在前面曾用描述函數(shù)法加以研究。自激振蕩反映在相平面圖上，是相軌跡纏繞成的一個(gè)環(huán)，稱為極限環(huán)。

用解析方法確定一個(gè)簡(jiǎn)單非線性系統(tǒng)的極限環(huán)。例8.7一非線性系統(tǒng)方程為引用極坐標(biāo)從幾何圖形來(lái)分析上面的結(jié)果。若c=0，則解為r=1，。它以順時(shí)針?lè)较蛎璩鰣A：若c<0，則顯然r>1，且當(dāng)時(shí)，若c>0，則顯然r<1，且當(dāng)時(shí)，仍有這說(shuō)明，存在一個(gè)單獨(dú)的閉合路徑（r=1），隨著所有其它相軌跡都以螺旋線的方式從內(nèi)部或從外部趨近于它，這樣的閉合路徑就是一個(gè)極限環(huán)，如圖8.34。圖8.35極限環(huán)及相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)各種類(lèi)型的極限環(huán)及相應(yīng)的系統(tǒng)時(shí)間特性。8.3.5非線性系統(tǒng)相平面分區(qū)線性化方法用相平面法分析非線性系統(tǒng)的關(guān)鍵是繪制相軌跡。如果非線性特性可以分段用線性微分方程描述，那么，可以把相平面劃分為幾個(gè)區(qū)域，在各個(gè)區(qū)域中的相軌跡就對(duì)應(yīng)于各段的線性微分方程。根據(jù)該微分方程的奇點(diǎn)的性質(zhì)，則可以繪制該區(qū)域的相軌跡，然后將各區(qū)域的相軌跡自然聯(lián)接，便得到整個(gè)系統(tǒng)的相軌跡。如果非線性特性不能用分段線性方程描述，也需首先求出奇點(diǎn)，然后繪制各奇點(diǎn)附近的相軌跡。在能用分段線性方程描述的非線性特性的相軌跡的繪制方法中，一個(gè)關(guān)鍵的概念是所謂的“實(shí)奇點(diǎn)”、“虛奇點(diǎn)”。線性二階微分方程有一個(gè)奇點(diǎn)，但對(duì)該微分方程所限制的區(qū)域而言，該奇點(diǎn)可能落在所限制的區(qū)域內(nèi)，也可能落在所限制的區(qū)域以外。如果它的奇點(diǎn)落在該方程適用區(qū)域之內(nèi)，則適用區(qū)域內(nèi)的相軌跡可以匯集于該奇點(diǎn)，這樣的奇點(diǎn)稱為實(shí)奇點(diǎn)。如果奇點(diǎn)落在該方程適用區(qū)域之外，則適用區(qū)域內(nèi)的相軌跡事實(shí)上不可能匯集于該奇點(diǎn)，所以稱之為虛奇點(diǎn)?！皩?shí)奇點(diǎn)”、“虛奇點(diǎn)”的概念:例8.8用相平面法分析圖8.38所示具有飽和特性的非線性系統(tǒng)。描述系統(tǒng)的微分方程為輸入為階躍信號(hào)下面分別討論各個(gè)區(qū)的相軌跡的特征。當(dāng)時(shí)，奇點(diǎn)（0，0）是穩(wěn)定焦點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，奇點(diǎn)（0，0）是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。因?yàn)樵摲匠痰钠纥c(diǎn)（0，0）是在該方程適用區(qū)域之內(nèi)，所以是實(shí)奇點(diǎn)?？梢钥闯雠c不可能同時(shí)為零，所以該方程不存在奇點(diǎn)相軌跡存在一條水平漸近線由于綜上分析可以得到系統(tǒng)整個(gè)相平面圖特征，如圖8.39所示。從相軌跡圖看出，在階躍信號(hào)作用下，不管初始狀態(tài)如何，相軌跡總收斂到原點(diǎn)，因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而且穩(wěn)態(tài)誤差為０。8.4MATLAB在非線性系統(tǒng)分析中的應(yīng)用鍵入“Simulink”，會(huì)彈出一個(gè)Untitled窗口。復(fù)制模塊。模塊之間的連接。選擇與刪除對(duì)象。點(diǎn)擊Simulation菜單中Start，就開(kāi)始仿真。雙擊Scope模塊就打