自動(dòng)控制原理 第5章 頻率法-1

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析

頻域分析法是應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法，它以控制系統(tǒng)的頻率特性作為數(shù)學(xué)模型，以伯德圖、奈魁斯特軌跡、尼科爾斯圖等圖表作為分析工具，來(lái)研究、分析控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。研究系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)1特點(diǎn)：(1)系統(tǒng)的頻率特性有明確的物理意義，可以用實(shí)驗(yàn)方法較為準(zhǔn)確地測(cè)??；(2)不僅適用于線性定常系統(tǒng)的分析研究，還可以推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)。(3)頻域分析法所采用的性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間有著內(nèi)在的聯(lián)系。(4)頻域分析法與時(shí)域分析法、根軌跡法又是統(tǒng)一的，共同構(gòu)成經(jīng)典控制理論中的三大方法。2

總之，頻域分析法由于使用方便，在控制系統(tǒng)的分析與綜合中，獲得了廣泛的應(yīng)用，解決了大量的工程問題。3本章內(nèi)容§5.1頻率特性的概念§5.2開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的圖形表示§5.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)§5.4控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性§5.5閉環(huán)頻率特性§5.6

Matlab在頻率分析中的應(yīng)用4§5-1頻率特性時(shí)間響應(yīng)：以時(shí)間信號(hào)（階躍、斜坡）為輸入頻率響應(yīng)：以頻率信號(hào)（正弦信號(hào)）為輸入重點(diǎn)掌握頻率特性和時(shí)間響應(yīng)特性之間的聯(lián)系。在頻率響應(yīng)分析中，在一定范圍內(nèi)改變輸入信號(hào)的頻率，研究其產(chǎn)生的響應(yīng)。5

討論線性定常系統(tǒng)（包括開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)）在正弦輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出。設(shè)圖5-1所示的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其輸入信號(hào)為

G(s)X(s)Y(s)圖5-1系統(tǒng)方框圖1、基本概念6

則輸入信號(hào)的拉氏變換是

(5-3)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)通?？梢詫懗?/p>

(5-4)由此得到輸出信號(hào)的拉氏變換(5-5)7

對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得到系統(tǒng)的輸出為

(5-6)

對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng),s1,s2,….sn都具有負(fù)實(shí)部，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，上式的暫態(tài)分量將衰減至零。因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為(5-7)其中待定系數(shù)b和可按下式計(jì)算(5-8)

(5-9)8

G(jω)是一個(gè)復(fù)數(shù)，用模和幅角可表示為(5-10)(5-11)同樣，G(-jω)可以表示為(5-12)將式(5-8)(5-9）以及式(5-10)(5-12)代入式(5-7)可得

(5-13)9

或(5-14)式中為穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)的幅值。上式表明，線性定常系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是與正弦輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)；輸出信號(hào)的振幅是輸入信號(hào)振幅的倍；輸出信號(hào)相對(duì)輸入信號(hào)的相移為；輸出信號(hào)的振幅及相移都是角頻率的函數(shù)。我們把(5-15)稱為系統(tǒng)的頻率特性，它反映了在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)的關(guān)系。10其中(5-16)

稱為系統(tǒng)的幅頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)作用下，輸出穩(wěn)態(tài)幅值與輸入信號(hào)幅值的比值，即系統(tǒng)的放大（或衰減）特性。

(5-17)稱為系統(tǒng)的相頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)的作用下，輸出信號(hào)相對(duì)輸入信號(hào)的相移。系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。

11設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，首先，系統(tǒng)穩(wěn)定！給系統(tǒng)輸入一個(gè)幅值不變頻率不斷增大的正弦，其響應(yīng)為：Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=412結(jié)論：給穩(wěn)定系統(tǒng)輸入一個(gè)正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值和相角隨ω而改變。

40不穩(wěn)！不考慮!13

例：某系統(tǒng)的頻率響應(yīng)G(j).990.992.987.979.967.948.919.878.821.749.663.571.479.394.318.255.203.160.126.099

-5.71-7.26-9.22-11.7-14.8-16.6-23.2-26.6-34.8-41.5-46.5-55.2-61.4-66.8-71.4-75.2-76.3-80.8-82.7-84.3

0.10000.12740.16240.20690.26370.33600.42810.54560.69520.88591.12881.43841.83302.33572.97643.79274.83296.15857.847610.0000單位：14以RC網(wǎng)絡(luò)為例，說(shuō)明頻率特性的物理意義Rr(t)c(t)C15

因?yàn)椋汗屎瘮?shù)完整地描述了RC網(wǎng)絡(luò)在正弦輸入電壓作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的電壓幅值和相角隨正弦輸入電壓頻率的變化規(guī)律，將其稱為RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。16結(jié)論：對(duì)于任何穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，只要將傳遞函數(shù)中的s換成j，即可得到頻率特性：頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，和傳遞函數(shù)、微分方程一樣，表征了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。17線性系統(tǒng)三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系：系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）微分方程頻率特性傳遞函數(shù)182、定義

頻率特性：指線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號(hào)之比對(duì)頻率的關(guān)系特性，其物理意義反映了系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)的三大傳遞特性：同頻、變幅、相移。19幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的振幅之比，用A()或M()表示：相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位之差，用()表示：20頻率特性也可以寫成如下形式：實(shí)頻特性：G(j)的實(shí)部，用R()表示。虛頻特性：G(j)的虛部，用I()表示。21例：頻率特性：22獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑有兩個(gè):解析法已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，用j代入傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的頻率特性G(jω)。因此，頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。它和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系。實(shí)驗(yàn)法:當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)未知時(shí)，在系統(tǒng)的輸入端施加一正弦信號(hào)X=Rsint，測(cè)出不同頻率時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅頻特性和相頻特性。233、頻率特性的幾何表示法在工程分析和設(shè)計(jì)中，通常把頻率特性畫成曲線，即描述當(dāng)頻率從0∞時(shí)，頻率特性或者幅頻、相頻特性變化的一組曲線。根據(jù)所采用的坐標(biāo)系的不同，主要有以下兩種圖示法：(1)幅相頻率特性曲線（簡(jiǎn)稱幅相曲線）又稱為極坐標(biāo)圖。24當(dāng)頻率從從0∞時(shí)，矢量端點(diǎn)P的位置描出的軌跡就稱為幅相特性曲線，箭頭表明增大的方向。作圖法：i)描點(diǎn)法；ii)草圖；0A(1)(1)PR()jI()25例：RC網(wǎng)絡(luò)的幅相曲線

0=0R()jI()=∞26(2)對(duì)數(shù)頻率特性曲線對(duì)數(shù)頻率特性曲線包括對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻曲線兩條曲線。對(duì)數(shù)幅頻特性用L()表示，單位為分貝(dB)對(duì)數(shù)相頻特性用()表示：27在實(shí)際應(yīng)用中，通常將對(duì)數(shù)頻率特性曲線繪制在以10為底的半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，橫軸按lg刻度，但標(biāo)出是本身的數(shù)值，因此橫軸刻度不均勻。縱軸單位為dB。半對(duì)數(shù)坐標(biāo)的橫軸不是以=0為起點(diǎn)，而是一個(gè)非零的值。對(duì)數(shù)相頻特性曲線的縱軸單位為度。通常將幅頻特性、相頻特性上、下排列，且將縱軸對(duì)齊，便于求出同一頻率的幅值和相角的大小。2802040-40-200.1110100045o90o-90o-45odB0.20.11101000.229例：RC網(wǎng)絡(luò)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線對(duì)比普通坐標(biāo)與半對(duì)數(shù)坐標(biāo)兩種情況。30漸近特性精確特性圖5-14慣性環(huán)節(jié)的Bode圖31說(shuō)明：十倍頻程(dec)：在軸上，對(duì)應(yīng)于頻率增大10倍的頻率范圍。所有十倍頻程在軸上對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度都相同。倍頻程：在軸上，對(duì)應(yīng)于頻率增大1倍的頻率范圍。一個(gè)十倍頻程的距離為3.32個(gè)倍頻程的距離。32為了說(shuō)明對(duì)數(shù)幅值曲線的特性，斜率：指對(duì)應(yīng)于十倍頻程的分貝數(shù)的改變量，單位是分貝/十倍頻程，記作dB/dec。例如，RC網(wǎng)絡(luò)的對(duì)數(shù)幅頻特性在高頻段的斜率為-20dB/dec。33性質(zhì)：假設(shè)兩個(gè)頻率特性互為倒數(shù)，即則有：即：