有限元2-彈性力學(xué)平面問題(28幾個問題補(bǔ)充)

第2章彈性力學(xué)平面問題有限單元法2.1三角形單元

2.2三角形單元中幾個問題的討論2.3平面問題有限元程序設(shè)計(jì)

2.4矩形單元2.5六結(jié)點(diǎn)三角形單元2.6四結(jié)點(diǎn)四邊形單元2.7八結(jié)點(diǎn)曲線四邊形等參元

2.8幾個問題的補(bǔ)充

12.8.1幾個問題的補(bǔ)充

一、變厚問題各單元取不同t。二、不同材料問題各單元取不同E,μ三、平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題在前面三角形單元的推導(dǎo)中，我們假定其為平面應(yīng)力問題。工程中，還有另一類情形─平面應(yīng)變狀態(tài)。例如，在對壩體或遂洞等長柱體進(jìn)行分析時(shí)，如果取xoy坐標(biāo)平面與其橫截平面行,而Z軸與其長度方向一致（如圖）。2那么，由于所考察物體在Z方向的尺寸很大，且又受到平行于xoy平面，且不沿長度方向變化的荷載作用，就可認(rèn)為各個橫截面應(yīng)處于同樣的狀況，即近似認(rèn)為Z方向的位移分量W=0,(位移與Z無關(guān))3于是，由彈性力學(xué)知，在六個應(yīng)力分量中也僅有三個獨(dú)立分量σx,σy和τxy,而不獨(dú)立。并可得到平面應(yīng)變問題的物理方程。

4比較平面應(yīng)力問題：得知只需把應(yīng)力問題中的E換成，μ換成即得應(yīng)變問題。所以在這類問題的程序設(shè)計(jì)中，通?？梢酝瑫r(shí)求解應(yīng)力和應(yīng)變問題，只需設(shè)置一開關(guān)變量便可以實(shí)現(xiàn)。5四、各向異性材料在彈性矩陣[D]中反映。如正交各向異性時(shí)的彈性矩陣[D]為：五、設(shè)置不同類型的單元

在工程中，同一構(gòu)件經(jīng)常要用到一種以上材料。如利用角、槽鋼等在開洞板內(nèi)作加強(qiáng)筋用。另一種情況是鋼筋混凝土構(gòu)件的全過程分析中，縱向受拉筋的單元劃分，如圖。6混凝土被劃成若干平面三角形單元，而將縱向受力鋼筋（或箍筋）當(dāng)作線單元（圖中紅線所示），也可把鋼筋等效成與混凝土疊合的三角形單元，但此時(shí)均為兩種不同材料。有限元分析時(shí)，可認(rèn)為結(jié)構(gòu)是由若干（面）單元（三角形或矩形）和線（桿）單元（二力桿）共同組成，劃分網(wǎng)格時(shí)，若碰到線單元，便將結(jié)點(diǎn)取在線單元上，使面元和桿元使用共同的結(jié)點(diǎn)?；炷羻卧摻顔卧?引進(jìn)桿元后，并不增加結(jié)構(gòu)的自由度（未知數(shù)），只是裝配總剛和計(jì)算過程中多了桿元單剛。如本來是三個三角形單元的結(jié)點(diǎn)，可能還有兩個桿元匯交如同一個結(jié)點(diǎn)。每個節(jié)點(diǎn)2個自由度8應(yīng)力矩陣桿元單剛的一般形式可取為：9六、溫度應(yīng)力問題

通常是將各單元由于溫度改變所產(chǎn)生的應(yīng)力當(dāng)作外力，化成等效結(jié)點(diǎn)荷載加到右端項(xiàng)中求解。式中：102.8.2幾種單元計(jì)算結(jié)果的比較T3T6Q4Q8Q9A11單元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)荷載1（M）荷載2（P）T310x2330.5420.554Q410x2330.8920.886T65x1331.0000.986Q85x1281.0000.990Q95x1331.0000.990T320x41050.8160.813Q420x41050.9640.956T610x21051.0000.994Q810x2851.0000.995Q910x21051.0000.995彈性力學(xué)解1.01.0vA

計(jì)算結(jié)果與彈性力學(xué)解的比值12提高計(jì)算精度的途徑為了提高計(jì)算精度，可采取如下措施1）細(xì)分網(wǎng)格2）采用高精度單元①增加單元節(jié)點(diǎn)數(shù)，如：T6、Q8等②增加每個節(jié)點(diǎn)自由度，如：帶旋轉(zhuǎn)自由度的單元③增加內(nèi)部自由度的單元，如：wilson非協(xié)調(diào)元④基于其他變分原理的單元，如：應(yīng)力雜交元、混合雜交元、廣義協(xié)調(diào)元等13精確解：4.04

Q4wilson非協(xié)調(diào)元應(yīng)力雜交元Q8

自由度數(shù)

16

16

16

36

計(jì)算結(jié)果

0.753.92

3.92

3.84AvA

計(jì)算結(jié)果的比較142.8.3單元畸形精確解：4.03一、算例網(wǎng)格畸變敏感現(xiàn)象：敏感單元不敏感單元152、單元畸形分類（1）邊長比畸形建議小于5（2）角度畸形建議60o~120o（3）曲率畸形建議夾角小于120o16（4）凹四邊形禁止出現(xiàn)17（5）單元中間結(jié)點(diǎn)的畸形盡量在中點(diǎn)附近182.8.4網(wǎng)格協(xié)調(diào)性

如果網(wǎng)格中沿所有單元之間的邊界的位移都是連續(xù)的，則稱網(wǎng)格為協(xié)調(diào)的。否則稱為不協(xié)調(diào)的，應(yīng)盡量避免。1）低次單元與高次單元相連解決辦法：a在整個問題中使用相同的單元類型19b使用過渡單元2）跨接單元解決辦法：不出現(xiàn)203）節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)不同梁單元二維單元或三維塊體單元梁單元退化成桿單元（桁架）解決辦法：a采取帶旋轉(zhuǎn)自由度的單元b采用約束方程212.8.5應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的性質(zhì)及處理一、應(yīng)力近似解的性質(zhì)應(yīng)變、應(yīng)力的精度比位移低一階。應(yīng)力解的近似性體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）在單元內(nèi)部一般不滿足平衡方程；在單元內(nèi)部一般不滿足平衡方程；（2）單元與單元之間一般不連續(xù)；單元與單元之間一般不連續(xù)；（3）在力的邊界條件上一般不滿足力的邊界條件；22二、應(yīng)力計(jì)算應(yīng)力精度的改進(jìn)1.取相鄰單元應(yīng)力的平均值常用于3節(jié)點(diǎn)三角形單元。單元內(nèi)應(yīng)力是常數(shù)。由于應(yīng)力近似解總在真正解上下振蕩，可以取相鄰單元應(yīng)力的平均值作為此二個單元合成較大四邊形單元形心處的應(yīng)力。這樣處理十分逼近真正解，能取得良好的結(jié)果。可采用算術(shù)平均，也采用面積加權(quán)平均厚壁園球殼的有限元計(jì)算模型及結(jié)果見下圖。23厚壁園球殼的有限元計(jì)算模型及結(jié)果242.取圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng)力的平均值這樣得到應(yīng)力值是圍繞該節(jié)點(diǎn)的有限區(qū)域的應(yīng)力平均值。253.總體應(yīng)力磨平位移有限元解得的應(yīng)力場在全域上是不連續(xù)的，可以用總體應(yīng)力磨平的方法來改進(jìn)結(jié)果，得到全域連續(xù)的應(yīng)力場。方法：構(gòu)造一個改進(jìn)的應(yīng)力解σ，此改進(jìn)解在全域是連續(xù)的，改進(jìn)解σ與有限元法求得的應(yīng)力解σ*應(yīng)滿足加權(quán)最小二乘的原則。（用到泛函）缺點(diǎn)：計(jì)算工作量十分龐大，相當(dāng)于進(jìn)行二次有限元計(jì)算，一次求位移場，一次求應(yīng)力場。26274.單元應(yīng)力磨平為了減少改進(jìn)應(yīng)力結(jié)果的計(jì)算工作量，可以采用單元應(yīng)力的局部磨平。單元足夠小時(shí)，二者相差很小。參見：王勖成，邵敏，《有限單元法基本原理和數(shù)值方法》（第二版），清華大學(xué)出版社，1997一個單元取權(quán)系數(shù)C=128應(yīng)力磨平函數(shù)常采取高斯積分點(diǎn)外推法計(jì)算步驟：（1）先計(jì)算高斯積分點(diǎn)的應(yīng)力值（2）對高斯積分點(diǎn)的值進(jìn)行雙線性插值（外推）的到節(jié)點(diǎn)和單元內(nèi)部其他點(diǎn)的應(yīng)力值29算例：302.8.6結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用鏡面對稱結(jié)構(gòu)（具有對稱面的結(jié)構(gòu)）軸對稱結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)周期結(jié)構(gòu)重復(fù)周期結(jié)構(gòu)好處：1）簡化模擬過程和建模時(shí)間2）減少總自由度數(shù)，減少計(jì)算時(shí)間，減少數(shù)值誤差31一、鏡面對稱結(jié)構(gòu)（具有對稱面的結(jié)構(gòu)）幾何形狀、支承條件和材料性質(zhì)都對稱于某平面的結(jié)構(gòu)。任何載荷可分解為對稱載荷和反對稱載荷，于是