非壽險(xiǎn)第四章.2

§4.2風(fēng)險(xiǎn)的異質(zhì)性

有限擾動(dòng)信度理論假設(shè)歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差純粹是由隨機(jī)性引起的。但實(shí)際情況有可能不是這樣的。歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差除了由隨機(jī)性引起外，還有可能與某些因素有關(guān)。1、風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)2、結(jié)構(gòu)函數(shù)3、索賠次數(shù)數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)性的識(shí)別4、索賠次數(shù)數(shù)據(jù)風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)時(shí)的結(jié)構(gòu)函數(shù)(4-8)隨機(jī)變量X——某一險(xiǎn)種的實(shí)際損失X可以代表該險(xiǎn)種的索賠次數(shù)，索賠頻率或賠款額。X的風(fēng)險(xiǎn)大小一般用來度量，稱為風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)猶如Poisson分布中的。若風(fēng)險(xiǎn)同質(zhì)，取某個(gè)固定的值；若風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)，服從某個(gè)分布，其密度記為。4.2.2結(jié)構(gòu)函數(shù)在服從連續(xù)型分布時(shí)，表示密度函數(shù)。信度理論中：——稱為結(jié)構(gòu)函數(shù)(structurefunction)，貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷中：——稱為先驗(yàn)分布。在服從離散型分布時(shí)，表示分布律；在信度理論中，給定后，X的條件概率密度記為，并稱X的邊際密度：為混合分布。如果是離散型取值，其中的積分應(yīng)理解為求和。同時(shí)人們發(fā)現(xiàn)取伽瑪分布為結(jié)構(gòu)函數(shù)能很好地描述風(fēng)險(xiǎn)的異質(zhì)性。

結(jié)構(gòu)函數(shù)是描述和處理風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)性的一個(gè)重要方法。結(jié)構(gòu)函數(shù)的選取，取決于我們對(duì)實(shí)際情況和貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的了解程度。比如關(guān)于索賠次數(shù)數(shù)據(jù)，通常假設(shè)在給定后，X的條件分布為Poisson分布。根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的理論，人們?nèi)〉慕Y(jié)構(gòu)函數(shù)為伽瑪分布。必須指出的是，這里的風(fēng)險(xiǎn)指的是索賠次數(shù)，不是賠款額。

索賠次數(shù)的分布往往假設(shè)為Poisson分布，而賠款額的分布有多種假設(shè)。

不同的險(xiǎn)種有不同的賠款額的分布假設(shè)，所以賠款額數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)性問題的討論較索賠次數(shù)復(fù)雜和困難。不討論索賠額問題。由于賠款額數(shù)據(jù)常常和索賠次數(shù)數(shù)據(jù)在一起，所以通過討論索賠次數(shù)數(shù)據(jù)，可以在一定程度上識(shí)別和處理賠款額數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)性問題。4.2.3索賠次數(shù)數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)性的識(shí)別在風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)時(shí)，按貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的理論，Poisson分布稱為在給定后，索賠次數(shù)X的條件分布，記為：(4-7)則：的結(jié)構(gòu)函數(shù)記為，則所以在風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)時(shí)，方差比均值大。根據(jù)定理4.2.1，我們有：

定理4.2.1

風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)時(shí)，總的方差等于條件方差的期望與條件期望的方差之和：而在風(fēng)險(xiǎn)同質(zhì)時(shí)，取某個(gè)固定的值，比如。風(fēng)險(xiǎn)服從Poisson分布，則，所以在風(fēng)險(xiǎn)同質(zhì)時(shí)，方差等于均值。所以識(shí)別風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)性的問題可以轉(zhuǎn)化為方差是否比均值大的問題。若方差比均值大，則認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)有異質(zhì)性。方差比均值大，還是方差等于均值，這是風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)和同質(zhì)的一個(gè)顯著區(qū)別。根據(jù)統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的理論，我們只有在樣本方差比樣本均值顯著地大的時(shí)候，才認(rèn)為方差比均值大。

我們?cè)谒较?，認(rèn)為方差比均值大，風(fēng)險(xiǎn)有異質(zhì)性。如4.1節(jié)所述，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)。在時(shí)，，，。(4-8)

首先給定檢驗(yàn)的水平

，。常取

為一些標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)，如0.10，0.05，0.01等。如果：4.2.4索賠次數(shù)數(shù)據(jù)風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)時(shí)的結(jié)構(gòu)函數(shù)下面討論在索賠次數(shù)數(shù)據(jù)具有異質(zhì)性時(shí)如何構(gòu)造結(jié)構(gòu)函數(shù)的問題。的結(jié)構(gòu)函數(shù)可取為離散型分布，也可取為連續(xù)型分布。若取的結(jié)構(gòu)函數(shù)為連續(xù)型分布，則由貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的理論，我們將這個(gè)連續(xù)型分布取為伽瑪分布,其密度函數(shù)如式(4-6)。基于歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算伽瑪分布參數(shù)和的估計(jì)值的過程相當(dāng)簡(jiǎn)單。因此在索賠次數(shù)數(shù)據(jù)具有異質(zhì)性時(shí)，的結(jié)構(gòu)函數(shù)通常取為伽瑪分布。(4-6)此時(shí)，由式(4-6)和式(4-7)，索賠次數(shù)等于k的邊際分布列為：

，(4-9)這是負(fù)二項(xiàng)分布，是索賠次數(shù)X的混合分布。(4-7)則有遞推迭代計(jì)算公式：，即：(4-10)，令：在風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)，的結(jié)構(gòu)函數(shù)取為伽瑪分布時(shí)，觀察數(shù)據(jù)來自于Poisson分布的混合，即負(fù)二項(xiàng)分布。負(fù)二項(xiàng)分布(見式(4-9))的均值和方差為：

負(fù)二項(xiàng)分布均值方差表4.2.3根據(jù)