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文檔簡(jiǎn)介
3格林(Green)公式
一、格林公式二、簡(jiǎn)單應(yīng)用一、區(qū)域連通性的分類設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD二、格林公式定理1邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.證明(1)yxoabDcdABCE同理可證yxodDcCE證明(2)D兩式相加得GDFCEAB證明(3)由(2)知xyoL1.簡(jiǎn)化曲線積分三、簡(jiǎn)單應(yīng)用AB2.簡(jiǎn)化二重積分xyo解xyoLyxoxyo(注意格林公式的條件)3.計(jì)算平面面積解其中L是曲線|x|+|y|=1圍成的區(qū)域D的正向邊界。11-1-1LDyxO格林公式的應(yīng)用(格林公式)
從
證明了:
練習(xí)1
計(jì)算積分解
①②③④練習(xí)2求星形線所界圖形的面積。解
yxODL11-1-1重要意義:
1.它建立了二重積分與曲線積分的一種等式關(guān)系2.它揭示了函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部與邊界之間的內(nèi)在聯(lián)系3.從它出發(fā),可以導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理中的許多重要公式四、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義如果對(duì)于區(qū)域
G內(nèi)任意指定的兩點(diǎn)
A、B
以及
G
內(nèi)從點(diǎn)
A
到點(diǎn)
B
的任意兩條曲線L1,L2
有GyxoBA===0所以===于是,在內(nèi)應(yīng)用格林公式,有與路徑無(wú)關(guān).L與路徑無(wú)關(guān)解因此,積分與路徑無(wú)關(guān)。則P,Q
在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且全平面是單連通域。取一簡(jiǎn)單路徑:L1+L2.因此,積分與路徑無(wú)關(guān)。全平面是單連通域。解因此,積分與路徑無(wú)關(guān)。則P,Q
在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且全平面是單連通域。因此,積分與路徑無(wú)關(guān)。全平面是單連通域。取一簡(jiǎn)單路徑:L1+L2.若曲線積分與路線無(wú)關(guān),則函數(shù)的全微分是:稱函數(shù)是的原函數(shù)。原函數(shù)概念:定理5、若在單連通區(qū)域G
內(nèi)函數(shù)u(x,y)
是Pdx+Qdy的原函數(shù),而A(x1,y1)與B(x1,y1)是G內(nèi)任意兩點(diǎn),則例1、計(jì)算例2、計(jì)算沿著不與oy軸相交的途徑。解例4、計(jì)算沿著不與oy軸相交的途徑。已知二元函數(shù)的全微分,求其原函數(shù)的方法:(1)湊微分法;(2)曲線積分計(jì)算法。例5
驗(yàn)證:在xoy
面內(nèi),是某個(gè)函數(shù)u(x,y)的全微分,并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。1.連通區(qū)域的概念;2.二重積分與曲線積分的關(guān)系3.格林公式的應(yīng)用.——格林公式;五、小結(jié)與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命
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