機械制圖第2章點、直線、平面

第二章投影的基礎知識本章培養(yǎng)學生具備投影的基礎知識，初步了解三視圖的概念，熟悉基本幾何元素的投影規(guī)律。1、了解投影法的概念和種類；掌握正投影的基本性質。2、了解三視圖的投影規(guī)律。3、掌握點、直線、平面在三面投影體系的投影規(guī)律。難畫，尺寸坐標不清第2章點、直線和平面的投影2.1投影法的基本知識

2.2點的投影

2.3直線的投影

2.4平面圖形的投影2.1投影法的基本知識2.1.1投影法的基本概念

2.1.2投影法的分類

2.1.1投影法的基本概念PABCcba●S投影面投射線投射中心（光源）投影投影法：由投射中心發(fā)出的投射線通過物體，向選定的投影面進行投影，并在投影面上得到圖形的方法。2.1.2投影法的分類中心投影法平行投影法正投影斜投影投影法正投影的基本特性一真實性直線或平面與投影面平行時，直線的投影反映實長，平面的投影反映實形正投影的基本特性二積聚性直線或平面與投影面垂直時，直線的投影積聚為一點，平面的投影積聚為一條直線正投影的基本特性三類似性直線或平面與投影面傾斜時，直線的投影小于實長，平面的投影為小于平面實形的類似形能力拓展當空間形體的投影為一直線時，空間形體可能的情況有幾種？圓形的物體在太陽光的投影下是 ()(A)圓形(B)橢圓形(C)線段(D)以上都可能三視圖及其投影規(guī)律三面投影體系的建立互相垂直的三投影面正立投影面（簡稱正面或V面）水平投影面（簡稱水平面或H面）側立投影面（簡稱側面或W面）三個投影軸相互垂直，其交點稱為原點，用O表示。OX軸(簡稱X軸)：是H面和V面的交線，它代表長度方向的尺寸；OY軸(簡稱Y軸)：是H面和W面的交線，它代表寬度方向的尺寸；OY軸(簡稱Y軸)：是V面和W面的交線，它代表高度方向的尺寸。三視圖的形成三視圖的方位關系主視圖反映物體的左、右和上、下位置關系；俯視圖反映物體的左、右和前、后位置關系；左視圖反映物體的前、后和上、下位置關系；三視圖的尺寸關系主視圖——長度（X）和高度（Z）方向尺寸。俯視圖——長度（X）和寬度（Y）方向尺寸。主視圖——寬度（Y）和高度（Z）方向尺寸。物體的三視圖之間對應的投影規(guī)律：長對正、高平齊、寬相等。

——主、俯視圖長對正

——主、左視圖高平齊

——俯、左視圖寬相等三視圖的展開能力拓展俯視圖為圓的幾何體是_______，______左視圖是三角形的物體有________，_______。三視圖繪制練習三視圖練習2.2點的投影Pa●A1●a●A2●A3●A●點在一個投影面上的投影不能確定該點的空間位置。V2.2.1點的兩面投影1、兩投影面體系的建立HOX正立投影面V（簡稱正面）水平投影面H（簡稱水平面）1四個分角：兩投影面把空間分為四個區(qū)域234互相垂直的兩投影面投影軸（OX軸）：兩投影面之間的交線YZ2、點在兩投影面體系中的投影向下旋轉90o不動XOVH●A●a●aaxaa●●HVOXaxXO●●aaxa3、點的兩面投影規(guī)律（1）點的兩面投影的連線垂直于OX軸，即aa′⊥OX。（2）點的正面投影到OX軸的距離反映A點到H面的距離(點的Z坐標）；點的水平投影到OX軸的距離反映該點到V面的距離（點的Y坐標），即aaX＝Aa′

和aXa′＝Aa。YZYZ2.2.2點的三面投影1.三投影面體系的建立HWVOXZY互相垂直的三投影面正立投影面（簡稱正面或V面）水平投影面（簡稱水平面或H面）側立投影面（簡稱側面或W面）投影軸OX軸（簡稱X軸）：V面與H面的交線OY軸（簡稱Y軸）：H面與W面的交線OZ軸（簡稱Z軸）：V面與W面的交線空間點A的三面投影HWVOXZYa●a●a●A●2．點在三投影面體系中的投影a'——點A的正面投影

a——點A的水平投影

a"——點A的側面投影

HWVOXZYAaaa●●●●axaYaZ保持不動向右旋轉90o向下旋轉90oWVHZaaaxXYHYWO●aZaaYHaYW●●ZaaaxXO●aZaaYHaYW●●YHYW3.點的三面投影規(guī)律（1）點的兩面投影的連線，必定垂直于相應的投影軸。即：點的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸：

aa'⊥OX；點的正面投影和側面投影的連線垂直于OZ軸：a'a"⊥OZ；由于水平投影和側面投影不能直接連線，需借助45o斜線或圓弧實現(xiàn)聯(lián)系，這時a、a"滿足：aaYH⊥OYH、a"aYW⊥OYW。（2）點的投影到投影軸的距離，等于空間點到相應的投影面的距離。即：a'aX

＝a"aY

＝A點到H面的距離aaX＝a"aZ

＝A點到V面的距離aaY

＝a'aZ

＝A點到W面的距離4.點的三面投影與直角坐標

空間點到投影面的距離就等于點相應的空間坐標值，即：Aa"＝OaX

＝XA，Aa'＝OaY

＝YA，Aa＝OaZ＝ZA。

例2-1

已知點A的兩面投影（a'、a"），求作第三面投影a。

ZaXO●a●YWYH2）自a"作OYW的垂線與OYW相交于aYW；1）過a′作OX軸的垂線，a必然在這條垂線上；axaYW3）以O為圓心、OaYW為半徑作圓弧，與OYH軸相交于aYH；aYH4）過aYH作OYH的垂線與aaX相交，即得到a點。a●例2-2

已知點A的坐標A（15、10、20），求點A的三面投影。1）畫投影軸OX、OYH、OYW、OZ，建立三投影面體系；2）沿OX軸正方向量取15，得到aX；3）過aX作OX軸的垂線，并使aXa＝10，aXa'＝20，分別得到a和a'；ZXOYHYWax15●a●10a●20aaZ●104）過a'點作OZ軸的垂線，并使aZa″＝10，得到a″。

利用45o斜線，求得a″。

或aYHaYW特殊位置的點投影面上的點點的一個坐標為零一個投影和空間點重合，另外兩個投影在投影軸上面。YW●●ZaXO●aYHa（A）特殊位置的點投影軸上的點點的兩個坐標為零兩個投影和所在的坐標軸重合，另一個投影在原點與原點重合的點點的三個坐標為零三個投影均和原點重合●●ZaXOaYHa2.2.4兩點的相對位置兩點的相對位置就是指兩點間左右、前后、上下的位置關系。1.兩點相對位置的確定兩點間的相對位置可以通過投影圖上各組同面投影的坐標差來確定的。判斷方法如下：兩點間的左、右位置關系：由X坐標差來確定，坐標值大者在左邊兩點間的前、后位置關系：由Y坐標差來確定，坐標值大者在前邊兩點間的上、下位置關系：由Z坐標差來確定，坐標值大者在上邊ZaaXO●a●●YHYW●●●bbbA點在B點的左、后、下方練習在點A(20,20,10)的三面投影圖中，如圖所示，作出點B（30，10，0）的三面投影，并判斷兩點在空間的相對位置。ZfXOf●●YHYW●●●ee2.重影點當兩點的兩個坐標相等時，該兩點位于同一投射線上，它們在投射線所垂直的投影面上的投影是重合的，這兩個點就稱為該投影面的一對重影點。重影點可見性的判斷H面重影點根據(jù)Z坐標差確定其可見性，Z坐標大者可見，即“上遮下”；

V面重影點根據(jù)Y坐標差確定其可見性，Y坐標大者可見，即“前遮后”；

W面重影點根據(jù)X坐標差確定其可見性，X坐標大者可見，即“左遮右”。

e(f')e'可見f'不可見，不可見者用（）ZXYWOYH●aYH●aaX●●a●aZa●例2－3：如圖所示為點A的三面投影，已知點B在點A的左方15mm、后方5mm、上方10mm，點C在點A的正后方10mm處，試求作B、C兩點的三面投影。

●●bXbYHbZ●●●●bbb求B點三面投影的作圖步驟

1、分別自aX、aYH、aZ沿OX、OYH、OZ軸量取15mm、5mm、10mm，得到bX、bYH、bZ；2、根據(jù)點的投影規(guī)律，作出B點的三面投影b、b′、b″。

求C點三面投影的作圖步驟

1、從A的水平投影a沿aaX方向量取10mm，得到c；

2、由aXc=cYH

，根據(jù)投影關系求出c″；

3、c'與a'重合，其中a'可見，c'不可見?！馽●c（c）問題1機械制圖中用平行投影法獲得物體的投影，它又分為_____投影和_____投影。點的X坐標為零時，點在

；點的X、Y坐標為零時，點在

；點的三個坐標均為零時，點在

；問題2已知A點距H、V、W面的距離分別為10、20、30；B點在A點的下方5，右方10，前方15，因此，可知B點的坐標為：A.(20，35，15) B.(20，35，5)C.(20，5，15) D.(20，5，5)問題3B點相對于A點的空間位置是（）A．左、前、下方B．左、后、下方C．左、前、上方D．左、后、上方2.3直線的投影2.3.1直線投影的基本性質2.3.2直線的三面投影圖

2.3.3各種位置直線的投影特性2.3.4直線上的點2.3.5兩直線的相對位置2.3.1直線投影的基本性質真實性直線段平行于投影面時其投影反映實長

積聚性類似性PABabPABa(b)●直線段垂直于投影面時其投影積聚為一點

PABab直線段傾斜于投影面時其投影仍為直線，但小于實長

2.3.2直線的三面投影圖ZXYWOYH●a●aa●●●●bbb根據(jù)“兩點確定一條直線”，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的同面投影。2.3.3各種位置直線的投影特性正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線垂直于某一投影面水平線（平行于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線特殊位置直線ZXYWOYH●a●aa●●●●bbbZXYWOYH●a●aa●●●●bbbZXYWOYH●a●aa●●●●bbb1．投影面平行線βγαγαβ①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角。②另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。α、β、γ反映直線對H面、V面、W面的傾角

水平線投影特性正平線側平線練習過已知點A作線段AB＝20mm,使其平行于W面，而與H面的傾角α＝45°ZXYWOYH●aa●●●●b(a)bbZXYWOYH●a●a●●●bbb(a")ZXYWOYH●a●a(b')a●●●bb鉛垂線2．投影面垂直線正垂線側垂線投影特性①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。②另外兩個投影，反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。練習過已知點A作一長度為15㎜的側垂線AB3．一般位置直線ZXYWOYH●a●aa●●●●bbb投影特性三面投影都是直線，且均小于實長。三根投影軸都傾斜,但都不反映實際夾角。HWVOXZYAbaa●b●●●●●baBαγ●●β求一般位置直線段的實長和直線與投影面的夾角

方法1：過b點作ab的垂線bB0，在此垂線上量取bB0＝zB－zA，則aB0即為所求直線AB的實長，∠B0ab即為傾角α。方法2：過a'

作X軸的平行線，與b'b相交于b0（b'b0＝zB－zA），量取b0A0＝ab，則b'A0也是所求直線段的實長，∠b'A0b0即為傾角α。

2.3.4直線上的點從屬性

直線上的點的投影必然在該直線的同面投影上，且符合點的投影規(guī)律。定比性

點分線段成定比，其投影也成同樣的比例。

ZXYWOYH●a●aa●●●●bbb●●●kkk判斷點屬于直線的方法

ZXYWOYH●a●aa●●●●bbb●●●ddd點K在直線AB上，滿足ak：kb＝a'k'：k'b'＝a"k"：k"b"由于d"不在a"b"上，所以點D不屬于直線AB。直線的投影一般情況下仍是直線，點在線上則點的投影在線的同面投影上。問題1

，則點在平面上。

A．點的投影在平面的投影上

B．點在平面的投影上

C．點在平面一直線的投影上

D．點在平面一已知直線上直線上兩線段的長度之比等于其投影的長度之比。練習已知直線AB、點K和點S的正面投影a′b′、k′和s′及水平投影ab、k和s，如圖所示，試判斷K和S與直線AB的關系。2.3.5兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置有平行、相交和交叉三種情況。

1．兩直線平行若空間兩直線平行，則它們的各組同面投影必然互相平行；反之，如果兩直線的各組同面投影互相平行，則空間兩直線必平行。ZXYWOYHaaabbdbccdcdZXYWOYHaaabb(d")dbccdc空間兩平行線的投影相互平行，且投影的長度之比等于該平行線段的長度之比平行兩直線判斷空間兩平行線均為投影面傾斜線，根據(jù)兩個投影可判別其是否平行平行兩直線是投影面的平行線，需要根據(jù)三面投影來判斷其是否平行ZXYWOYHaaabb(d")dbccdcXYaabdbccd2．兩直線相交ZXYWOYHaaabbb●●●cdccdkkkk若兩直線相交，則兩直線的各組同面投影必相交，交點同時屬于兩直線，為兩直線的共有點，且符合點的投影規(guī)律。3．兩直線交叉既不平行，又不相交的兩條直線稱為交叉兩直線。

★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。★“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。dbaabcdcOX1(2

)3(4)●12●●投影特性

●3

4●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點2.4平面的投影2.4.1平面的表示法2.4.2平面的投影特性

2.4.3各種位置平面的三面投影及特性2.4.4平面上的點和直線的投影2.4.1平面的表示法●●●●●●abcabc●●●●●●abcabcabcabc●●●●●●d●d●abcabc●●●●●●●●●●●●abcabc直線及該直線外一點兩平行直線兩相交直線平面圖形不在同一直線上的三個點2.4.2平面的投影特性P真實性

P積聚性

P類似性

平面平行于投影面時其投影反映實形平面垂直于投影面時其投影積聚為一條直線平面傾斜于投影面時其投影為原形的類似形2.4.3各種位置平面的三面投影及特性

正平面（平行于Ｖ面）側平面（平行于Ｗ面）正垂面（垂直于Ｖ面）側垂面（垂直于Ｗ面）鉛垂面（垂直于Ｈ面）投影面平行面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面投影面垂直面垂直于某一投影面傾斜于另兩個投影面水平面（平行于Ｈ面）一般位置平面與三個投影面都傾斜特殊位置平面1.投影面平行面

abcabcabcZXYWOYH投影特性1、在它所平行的投影面上的投影反映實形2、另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。反映實形積聚成直線且平行于OX積聚成直線且平行于OY2.投影面垂直面

投影特性1、在它所垂直的投影面上的投影積聚為直線2、另兩個投影面上的投影分別是與空間平面圖形相類似的平面圖形。積聚成直線原形的類似形原形的類似形abcabcabcZXYWOYHβγ3.一般位置平面

投影特性三個投影都是原形的類似形。原形的類似形原形的類似形原形的類似形abcabcabcZXYWOYH2.4.4平面上的點和直線的投影1、平面上直線的投影

判斷直線屬于平面的幾何條件

1）若一直線經(jīng)過平面上兩個點，則此直線必屬于該平面。2）若一直線經(jīng)過平面上一點，且平行于該平面上的另一條直線，則該直線必屬于該平面。

nabcbcamnmOX●●●●abcbcamnmOX●●n練習已知△ABC上的直線EF的正面投影e′f′，求其水平投影ef

abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知