圓錐曲線三種弦長問題的探究

一、一般弦長計(jì)算問題：例1、已知橢圓C:x2y2:xy221ab0，直線l11被橢圓C截得的弦長為22，abab且e63的直線l2被橢圓C截的弦長AB，，過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為3⑴求橢圓的方程；⑵弦 AB的長度.思路分析：把直線 l2的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式求解 .解析：⑴由l1被橢圓C截得的弦長為22，得a2b28，???①又e6c22，所以a22，即a233b??????????.②3聯(lián)立①②得a26,b22，所以所求的橢圓的方程為x2y21.62⑵∴橢圓的右焦點(diǎn)F2,0，∴l(xiāng)2的方程為：y3x2，代入橢圓C的方程，化簡(jiǎn)得，5x218x60由韋達(dá)定理知，xx18,xx2612515從而x1x2x124x1x226x25，由弦長公式，得AB1k2x1x21322646，55即弦AB的長度為465點(diǎn)評(píng)：本題抓住l1的特點(diǎn)簡(jiǎn)便地得出方程①，再根據(jù)e得方程②，從而求得待定系數(shù)a2,b2，得出橢圓的方程，解決直線與圓錐曲線的弦長問題時(shí)，常用韋達(dá)定理與弦長公式。二、中點(diǎn)弦長問題：例2、過點(diǎn)P4,1作拋物線

y2

8x

的弦

AB，恰被點(diǎn)

P平分，求

AB的所在直線方程及弦AB的長度。思路分析：因?yàn)樗笙彝ㄟ^定點(diǎn)

P，所以弦

AB所在直線方程關(guān)鍵是求出斜率

k，有

P是弦的中點(diǎn)，所以可用作差或韋達(dá)定理求得，然后套用弦長公式可求解弦長 .解法1：設(shè)以P為中點(diǎn)的弦AB端點(diǎn)坐標(biāo)為Ax1,y1,Bx2,y2，則有y128x1,y228x2，兩式相減，得y1y2y1y28x1x2又x1x28,y1y22y2y14，所以所求直線AB的方程為y14x4，即4xy150.則kx1x2解法2：設(shè)AB所在的直線方程為ykx41ykx418y32k80.由8x，整理得ky2y2設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2y1y28，由韋達(dá)定理得，y1y28k又∵P是AB的中點(diǎn)，∴1，∴2k42k所以所求直線AB的方程為4xy150.4xy150整理得，y22y300，則y1y22,y1y230由8xy2AB11y1y211y124y1y2527.有弦長公式得，k2k2y22點(diǎn)評(píng)：解決弦的中點(diǎn)有兩種常用方法，一是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造條件；二是利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系求解，然后可套用弦長公式求解弦長.三、焦點(diǎn)弦長問題：例3、（同例1、⑵）另解：⑵∴橢圓的右焦點(diǎn)F2,0，∴l(xiāng)2的方程為：y3x2，y3x2代入橢圓C的方程x2y21，化簡(jiǎn)得，5x218x6062x1x2186由韋達(dá)定理知，,x1x255由l2過右焦點(diǎn)，有焦半徑公式的弦長為AB2aex1x246.546即弦AB的長度為5點(diǎn)評(píng)