2024-2025學年江蘇省南京市五校聯(lián)盟高二（上）期末數(shù)學試卷【含答案】

2024-2025學年江蘇省南京市五校聯(lián)盟高二（上）期末數(shù)學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上。1．拋物線y2＝4x的焦點到準線的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知直線ax+2y+6＝0與直線x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，則實數(shù)a的值為（）A．﹣2 B．2或﹣1 C．2 D．﹣13．以點A（1，2）為圓心，兩平行線x﹣y+1＝0與2x﹣2y+7＝0之間的距離為半徑的圓的方程為（）A．（x+1）2+（y+2）2＝ B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝ C．（x+1）2+（y+2）2＝ D．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．已知曲線上一點，則曲線C在點P處的切線的傾斜角為（）A．30° B．45° C．60° D．120°5．在等差數(shù)列{an}中，已知a3+a4＝10，則數(shù)列{an}的前6項之和為（）A．10 B．20 C．30 D．406．已知兩定點A（﹣2，0），B（1，0），如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，點Q是圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝3上的動點，則|PQ|的最大值為（）A．5﹣ B．5+ C．3+2 D．3﹣27．斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如圖，一座斜拉橋共有10對拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列，已知拉索上端相鄰兩個錯的間距|PiPi+1|（i＝1，2，3，…，9）均為4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi+1|、|BiBi+1|（i＝1，2，3，…，9）均為16m，最短拉索P1A1滿足|OP1|＝60m，|OA1|＝96m，若建立如圖所示的平面直角坐標系，則最長拉索P10B10所在直線的斜率為（）A． B． C． D．8．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若從橢圓右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點A和點B反射后，滿足AB⊥AD，且cos∠ABC＝，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．下列求導運算正確的是（）A．若f（x）＝cos（2x+1），則f′（x）＝2sin（2x+1） B．若f（x）＝e﹣2x+3，則f′（x）＝﹣2e﹣2x+3 C．若，則 D．若f（x）＝xlgx，則（多選）10．已知橢圓，P為橢圓上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的是（）A．過點F1的直線與橢圓交于A，B兩點，則△ABF2的周長為8 B．存在點P使得PF1的長度為4 C．橢圓上存在4個不同的點P，使得PF1⊥PF2 D．△PF1F2內(nèi)切圓半徑的最大值為（多選）11．已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的正項等比數(shù)列．記，，，，則（）參考公式：A．當時，q＝2 B．當D5＝2時，D7＝4 C．Fn≤1 D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上。12．已知數(shù)列{an}滿足anan+1＝2n+3，若a3＝1，則a1＝．13．若圓x2+y2＝16上恰有兩個點到直線l：y＝x+a的距離為1，則正實數(shù)a的取值范圍為．14．已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和．如圖為橢圓及其蒙日圓O，Ω的離心率為，點A，B，C，D分別為蒙日圓O與坐標軸的交點，AB，BC，CD，AD分別與Ω相切于點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積的比值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知直線l：x﹣y+1＝0和圓C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0．（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；若相交，求直線l被圓C截得的弦長；（2）求過點（4，﹣1）且與圓C相切的直線方程．16．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x2．（1）求f（x）在區(qū)間[2024，2025]上的平均變化率；（2）求曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；（3）求曲線y＝f（x）過點（2，0）的切線方程．17．（15分）已知橢圓長軸長為4，且橢圓C的離心率，其左右焦點分別為F1，F(xiàn)2．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)斜率為且過F2的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，求△F1PQ的面積．18．（17分）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an＞0且a1a3＝36，a3+a4＝9（a1+a2）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若，求數(shù)列{bn}及數(shù)列{anbn}的前n項和Tn；（3）設(shè)，求{cn}的前n項和Pn．19．（17分）已知F是雙曲線C：的左焦點，且C的離心率為2，焦距為4．過點F分別作斜率存在且互相垂直的直線l1，l2．若l1交C于A，B兩點，l2交C于D，E兩點，P，Q分別為AB與DE的中點，分別記△OPQ與△FPQ的面積為S1與S2．（1）求C的方程；（2）當l1斜率為1時，求直線PQ的方程；（3）求證：為定值．

參考答案與試題解析題號12345678答案BDBBCBDD一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上。1．【解答】解：根據(jù)題意可知焦點F（1，0），準線方程x＝﹣1，∴焦點到準線的距離是1+1＝2故選：B．2．【解答】解：∵直線ax+2y+6＝0與直線x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，∴a（a﹣1）＝2×1，即a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或﹣1，當a＝2時，兩直線重合，不符合題意，當a＝﹣1時，兩直線不重合，符合題意，故實數(shù)a的值為﹣1．故選：D．3．【解答】解：∵兩平行線x﹣y+1＝0與2x﹣2y+7＝0之間的距離，即兩平行線2x﹣2y+2＝0與2x﹣2y+7＝0之間的距離為＝，∴以點A（1，2）為圓心，兩平行線x﹣y+1＝0與2x﹣2y+7＝0之間的距離為半徑的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，故選：B．4．【解答】解：y＝f（x）＝，則f'（x）＝x，故f'（1）＝1，傾斜角的范圍為[0，π），曲線C在點P處的切線的傾斜角為45°．故選：B．5．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a3+a4＝10，則數(shù)列{an}的前6項之和為＝3（a3+a4）＝30．故選：C．6．【解答】解：設(shè)點P（x，y），由|PA|＝2|PB|，得，所以P的軌跡方程為x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4．又點Q是圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝3，如圖，由圖可知，圓（x﹣2）2+y2＝4上，當P為（2，﹣2）時，P到（2，3）距離最大為5，又圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝3的半徑為，∴|PQ|的最大值為．故選：B．7．【解答】解：|OA10|＝|OA1|+|A1A10|＝96+9×16＝240m，|OP10|＝|OP1+|P1P10|＝60+9×4＝96m，故B10（﹣240，0），P10（0，96），則＝．故選：D．8．【解答】解：連接AF1，BF1，由題意可知A，D，F(xiàn)1三點共線，B，C，F(xiàn)1三點共線，在△ABF1中，因為AB⊥AD，且cos∠ABC＝，可得cos∠ABF1＝，sin∠ABF1＝，tan∠ABF1＝＝，設(shè)|AF1|＝4k，|AB|＝3k，可得|BF1|＝5k，由橢圓的定義可知|BF2|＝2a﹣|BF1|＝2a﹣5k，|AF2|＝|AB|﹣|BF2|＝3k﹣（2a﹣5k）＝8k﹣2a，又因為|AF1|+|AF2|＝2a，即4k+8k﹣2a＝2a，解得k＝，所以|AF1|＝，|AF2|＝﹣2a＝，在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝（2c）2，可得e＝＝，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。9．【解答】解：對于A．f′（x）＝﹣2sin（2x+1），A錯誤；對于B．f′（x）＝﹣2e﹣2x+3，B正確；對于C，，C錯誤；對于，.，D正確．故選：BD．10．【解答】解：已知橢圓，P為橢圓上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，對A，過點F1的直線與橢圓交于A，B兩點，則△ABF2的周長為4a＝8，故A正確；對B，由題意可得：a＝2，b＝1，，根據(jù)橢圓性質(zhì)可得a﹣c≤|PF1|≤a+c，即，故|PF1|＜4，即不存在點P，使得PF1的長度為4，故B錯誤；對C，根據(jù)PF1⊥PF2可得P的軌跡為以F1F2為直徑的圓，即x2+y2＝3，不包括F1，F(xiàn)2兩點，易得該圓與橢圓有四個交點，即橢圓上存在4個不同的點P，使得PF1⊥PF2，故C正確；對D，△PF1F2的周長為，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，則，故當最大時r最大，此時P為上下頂點，，則，解得，故D正確．故選：ACD．11．【解答】解：數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的正項等比數(shù)列．則＝＝a1+（n﹣1），Gn＝＝＝b1q，＝?[（n﹣1）2+（n﹣3）2+...+（n﹣（2n﹣1））2]＝[n3﹣2n（1+3+...+2n﹣1）+4×﹣2n（n+1）+n]＝[﹣n3+（2n3+3n2+n）﹣2n2﹣n]＝（n2﹣1），＝，對于A，當F3＝＝（q+1+）＝，則q＝2不是此方程的解，故A錯誤；對于B，D5＝×24＝2d2＝2，解得d＝±1，則D7＝×48＝4，故B正確；對于C，當n＝3時，q＞0且q≠1，可得F3＝（q++1）＞×（2+1）＝1，故C錯誤；對于D，++...+＝（++...+）＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣）＜，故D正確．故選：BD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上。12．【解答】解：因為anan+1＝2n+3，且a3＝1，所以a2a3＝2×2+3＝7，解得a2＝7，因為a1a2＝2+3＝5，所以7a1＝5，解得．故答案為：．13．【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2＝16的圓心為（0，0），半徑r＝4，圓心到直線l的距離，若圓上恰有2個點到直線l的距離等于1，則有3＜d＜5，即，解可得：或，又由a為正實數(shù)，則，即a的取值范圍為．故答案為：．14．【解答】解：由題可得，蒙日圓O為x2+y2＝a2+b2，則，，所以直線AD的方程為：，聯(lián)立，化簡得：，則，解得：，，所以＝＝＝＝＝＝．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．【解答】解：（1）由圓C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0可得，圓心C（1，﹣2），半徑，圓心C（1，﹣2）到直線l：x﹣y+1＝0的距離為，所以直線l與圓C相交，直線l被圓C截得的弦長為．（2）若過點（4，﹣1）的直線斜率不存在，則方程為x＝4，此時圓心C（1，﹣2）到直線x＝4的距離為4﹣1＝3＝r，滿足題意；若過點（4，﹣1）且與圓C相切的直線斜率存在，則設(shè)切線方程為y+1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣1＝0，則圓心到直線kx﹣y﹣4k﹣1＝0的距離為，解得，所以切線方程為，即4x+3y﹣13＝0，綜上，過點（4，﹣1）且與圓C相切的直線方程為x＝4或4x+3y﹣13＝0．16．【解答】解：（1）所求為＝＝4049；（2）∵f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，∴f（2）＝4，∴f′（2）＝4，∴曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為：y﹣4＝4（x﹣2），即4x﹣y﹣4＝0；（3）設(shè)過點（2，0）的切線切曲線于點P（t，t2），則曲線方程為y﹣t2＝2t（x﹣t），又其過（2，0），∴﹣t2＝2t（2﹣t），解得t＝0或4，∴所求切線為y＝0或y﹣16＝8（x﹣4），即y＝0或8x﹣y﹣16＝0．17．【解答】解：（1）由題意可知：2a＝4，則a＝2，∵，∴，∴，∴橢圓；（2）由已知可得：，，∴直線l：，聯(lián)立方程組，消去y得，解得x＝0或，所以P（0，1），，所以，又點F1到直線PQ的距離，∴．18．【解答】解：（1）由題意得：a3+a4＝9（a1+a2），可得（a1+a2）q2＝9（a1+a2），q2＝9，由an＞0，可得q＝3，由a1a3＝36，可得a1a1q2＝36，可得a1＝2，可得an＝2×3n﹣1（n∈N*）；（2）由an＝2×3n﹣1，可得，由，可得，可得bn＝n，可得{anbn}的通項公式：anbn＝2n×3n﹣1，可得：Tn＝2×30+2×2×31+2×3×32+…+2×（n﹣1）×3n﹣2+2×n×3n﹣1①，3Tn＝2×31+2×2×32+2×3×33+…+2×（n﹣1）×3n﹣1+2×n×3n②，①﹣②得：＝2+3n﹣3﹣