初中中考專題-巧用反比例函數(shù)的對稱性解題

巧用反比例函數(shù)的對稱性反比例函數(shù)圖象的對稱性在解題時常薦會被忽略，但是事實上它的作用無處不在，而且它讓我們感受到數(shù)形結(jié)合是多么的奇妙.一、求對稱坐標(biāo)例1（2009?烏魯木齊）如圖，正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=?（m、n是非零常數(shù)）的圖象交于A、B兩點.若點A的坐標(biāo)為（1,2）,則點B的坐標(biāo)是（ ）A、（-2,-4） B、（-2,-1）C、（-1,-2） D、（-4,-2）考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性。分析：此題由題意可知A、B兩點關(guān)于原點對稱，則根據(jù)對稱性即可得到B點坐標(biāo).解答：解：???正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y亶的兩交點A、B關(guān)于原點對稱，???點A（1,2）關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)為（-1,-2）.故選C.點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性.函數(shù)知識的考查是每年中考必考知識，解決這類題目關(guān)鍵是平時要多積累規(guī)律.練習(xí)1、（2009?貴陽）已知正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=-?的圖象相交于A,B兩點，若A點的坐標(biāo)為（1,2）,則B點的坐標(biāo)為（ ）A、（1,-2） B、（-1,2）C、（-1,-2） D、（2,1）考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性。分析：解答這類題一般解這兩個函數(shù)的解析式組成的方程組即可.解答：解：由已知可得產(chǎn)2,解這個方程組得，x:1,X2=-1,則得y:2,y2=-2,則這兩個函數(shù)的交點為（1,2）,(-1,-2),則這兩個函數(shù)的交點為（1,2）,(-1,-2),因為已知人點的坐標(biāo)為（1,2）,故B點的坐標(biāo)為（-1,-2）.故選C.練習(xí)2.（2006?威海）如圖，過原點的一條直線與反比例函數(shù)y5（kW0）的圖象分別交于A，B兩點.若A點的坐標(biāo)為（a,b）,則B點的坐標(biāo)為（ ）A、（a,b）B、（b,a）C、（-b,-a） D、（-a,-b）考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性。專題：計算題。分析：此題由題意可知A、B兩點關(guān)于原點對稱，則根據(jù)對稱性即可得到B點坐標(biāo).解答：解：根據(jù)圖象，A、B兩點關(guān)于原點對稱.A點的坐標(biāo)為（a,b）,則B點坐標(biāo)為（-a,-b）.故選D.點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性，解決這類題目的關(guān)鍵是掌握兩點的對稱中心為原點.6一k練習(xí)3、（2006?貴港）已知正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)?產(chǎn)——的圖象的一個交點坐標(biāo)是（1,3）,則另一個交點的坐標(biāo)是（）A、（-1,-3） B、（-3,-1）C、（-1,-2） D、（-2,-3）考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性。分析：反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則與經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱.解答：解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可知另一個交點的坐標(biāo)是（-1,-3）.故選A.點評：本題考查反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，較為簡單，容易掌握.變式1：（2006長春）如圖，直線1與雙曲線交于A、C兩點，將直線l繞點O順時針旋轉(zhuǎn)a度角（0°<@^45°）,與雙曲線交于B、D兩點，則四邊形ABCD的形狀一定是二.對稱軸條數(shù)例2（2010?江西）如圖，反比例函數(shù)與圖象的對稱軸的條數(shù)是（ ）A、0 B、1C、2 D、3考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性。分析：任意一個反比例函數(shù)的圖象都是軸對稱圖形，且對稱軸有且只有兩條.解答：解：沿直線y=x或y=-x折疊，直線兩旁的部分都能夠完全重合，所以對稱軸有2條.故選C.點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性.沿某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形，關(guān)鍵是找到相應(yīng)的對稱軸.練習(xí)1、反比例函數(shù)y=§（kW0）的圖象雙曲線是（ ）A、是軸對稱圖形，而不是中心對稱圖形 B、是中心對稱圖形，而不是軸對稱圖形C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性。分析：根據(jù)反比例函數(shù)y=E(kW0)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形解答.解答：解：(1)當(dāng)k〉0時，反比例函數(shù)y=E(kW0)的圖象在一、三象限，其對稱軸是直線丫=乂，對稱中心是原點；(2)當(dāng)k<0時，反比例函數(shù)y=-k(kW0)的圖象在二、四象限，其對稱軸是直線y二-x,對稱中心是原點.故選C.練習(xí)2、反比例函數(shù)y二上的圖象是軸對稱圖形，它的對稱軸的表達(dá)式是( )xA、y=xB、y=-xC、y=x,y=-xD、無法確定考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性；軸對稱圖形。分析：根據(jù)反比例函數(shù)圖象為軸對稱圖形，并且有兩條對稱軸進行解答.解答：解：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，且其為軸對稱圖形，關(guān)于直線丫=乂和丫=-乂對稱.故選C.點評：本題考查的是反比例函數(shù)圖象的對稱性，反比例函數(shù)圖象是雙曲線，圖象關(guān)于直線y=x和y=-x對稱.三、求代數(shù)式的值例3如果一個正比例函數(shù)與一個反比例函數(shù)y=6的圖象交于A(X、y)，(元、y)X 112 2兩點，那么(x2—\)(y2—yi)的值為方法一設(shè)正比例函數(shù)的解析式是y=kx,與反比例函數(shù)y=6聯(lián)立方程，消去y得x至ijkx2—6=0由韋達(dá)定理，可知X]+X2=0,X]X2=k又乂/y2"2, .??.(x2—\)(y2—y])=(x—x)(kx-kx)=k(x-x)2=kl(x+x)2一4xxTOC\o"1-5"\h\zL1 2 12」( 6\=k0-4—l -k)=24 .方法二反比例函數(shù)和正比例函數(shù)都關(guān)于原點成中心對稱圖形，所以，x1=-x2且，X=-y2??.(x2-x1)(y2-y)=(x2+x2)(y2+y2)=4xy=24這兩種解題方法中明顯是第二種方法比較簡單、快捷、明了，可見反比例函數(shù)圖形的對稱性不可忽視.反比例函數(shù)的對稱有兩種.一種是關(guān)于原點的中心對稱，另一種是關(guān)于直線y=x的軸對稱.其實在解題過程中恰當(dāng)?shù)剡\用這兩種對稱性會快捷得多，下面再看幾個例子來體驗一下.4練習(xí)1.如圖，直線y=kx4>0)與雙曲線y=y=-交于A(x,y),B(x,y)兩x點，則2x1y2-7x2y1的值等于.練習(xí)2.(2008?臨沂)如圖，直線y=kx&>0)與雙曲線y=2交于A,B兩點，若A,Bx兩點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x/y2),則xjJxj］的值為( )A、-8 B、4C、-4 D、0考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性。分析：根據(jù)直線丫=卜乂a>0)與雙曲線y=|兩交點A,B關(guān)于原點對稱，求出y1=-y2,y2=-工，代入解析式即可解答.9解答：解：將y=化為xy=2,將A(x1,y1),B(x2,yj分別代入*丫=2,得xjjZ.x2y:2.因為y/口y2互為相反數(shù)，所以y1=_y2，y2=_y1.貝Ux1y2+x2yj-xy-x2y2=-(xy+x2y2)=-(2+2)=-4.故選C.點評：此題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性，同學(xué)們要熟記才能靈活運用.練習(xí)3.(2006?南通)如圖，設(shè)直線丫=卜乂&<0)與雙曲線y=-§相交于A(x「yjBTOC\o"1-5"\h\z(x2,y2)兩點，則x1y2-3x2y］的值為( )A、-10 B、-5C、5 D、10考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性。專題：計算題。分析：由反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，兩交點坐標(biāo)關(guān)于原點對稱，故xj-x/yj-y2,再代入xiy2-3x2yl，由k=xy得出答案.解答：解：由圖象可知點A(x/yi)B(x2,y2)關(guān)于原點對稱，即XJ-%,yj/,把A(x/丫］)代入雙曲線y=-鳥導(dǎo)xjj-5,則原式=x1y2-3x2yi,=-x1yl+3*/］,=5-15,

二-10.故選A.點評：本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)交點坐標(biāo)的性質(zhì)，即兩交點坐標(biāo)關(guān)于原點對稱.變式1.如圖,點A是雙曲線y=2在第一象限上的一個動點,連接A0并延長交另一分支x于點B，過點A作y軸的垂線,過點B作x軸的垂線,兩垂線交于點C,隨著點A的運動,點C的位置也隨之變化設(shè)點C的坐標(biāo)為(m,n)，求m、n滿足的關(guān)系式四、求比例系數(shù)k^ k例4如圖1,已知直線y=-X+2分別與x軸y軸交于A,B兩點，與雙曲線y=-x交于E,F兩點，若AB=2EF,則k的值是 - k -。方法一將直線y=-x+2與反比例函數(shù)y=-聯(lián)立方程，得到-x2+2x-k=0

x由韋達(dá)定理,可知xi+x2=2,xix2=k1又EF=a-aB=2.一3解得k=-方法二由圖形的對稱性可知，反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=-x+2都關(guān)于直線y=x對稱，又AB=2EF,故有BF=FM=ME=AE.而A(2,0),B(0,2),13 3所以F(三二),易得k二.22 4真題1.如圖，菱形ABCD頂點A在例函數(shù)丫=Yx〉。)的圖象上，函數(shù)y=,(k>3,x>0)的圖

變式2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xQy中,雙曲線y=k經(jīng)過點A(1,2)，直線40交雙曲線X的另一支于點B,點C與點A關(guān)于直線y=X對稱,點M在第一象限內(nèi)的雙曲線上,且位于A點上方，連接MA、MB、BC,若/MAC=5/MBC,求NMBC的度數(shù).五、圖形面積問題k八…例5如圖2,過點0作直線與雙曲線y=(k中0)交于A,B兩點，過點B作BC±X

X軸于點。，作BD±y軸于點D.在X軸，y軸上分別取點E,F,使點A,E,F在同一條直線上，且AE=AF設(shè)圖中矩形0CBD的面積為［,△E0F。的面積為s2，則［,s2的數(shù)量關(guān)系是 貝Us1=mn.在Rt△EOF中，AE=AF,故A為EF中點，OF=2n,OE=2m,1貝us=-xOFxOE=2mn,22故2『s2.練習(xí)1、如圖，A、8是雙曲線尸上關(guān)于原點對稱的任意兩點，AC〃y軸，80〃丫軸，則工四邊形ACBD的面積S滿足（ ）A、S=1 B、1<S<2C、S=2 D、S>2考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。分析：根據(jù)過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S=^|k|可知，S△AoC=S△BoD=i|k|,再根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知，O為DC中點，則"AOD="AOC"mk1，"BOC="BODW|k|，進而求出四邊形ADBC的面積?解答：解：?.?，B是函數(shù)y=-1的圖象上關(guān)于原點O對稱的任意兩點，且AC平行于y軸，BD平行于y軸，??,△AOC"bOD工，假設(shè)A點坐標(biāo)為（X，y），則B點坐標(biāo)為（-x，-y），則OC=OD=x,??,△AOD^△AOC工，^△BOC^△BOD工，???四邊形ABCD面積="aod+“aoc+“boc+“bod=-X4=2-故選C.點評：此題主要考查了反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義，難易程度適中.過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S=七|k|.二0練習(xí)題2、(2020?寧波)如圖，經(jīng)過原點O的直線與反比例函數(shù)y"(a>0)的圖象交=主于A,D兩點(點A在第一象限)，點B,C,E在反比例函數(shù)「(b<0)的圖象上，AB//y軸，AE//CD//x軸，五邊形ABCDE的面積為56,四邊形ABCD的面積為32,貝Ua-b的值為24,:■■的值為_二練習(xí)題3、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點O,且正方形的一組對邊與x軸平行,點P(2a,a)是反比例函數(shù)y=2的圖象與正方形的一個交點,則圖中陰影部分的面x積是 第4題變式1.已知矩形ABCD的四個頂點均在反比例函數(shù)y=1的圖象上,且點A的橫坐標(biāo)是2,求x矩形ABCD的面積

六、與圓結(jié)合問題例6（2020?樂山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線丫=-乂與雙曲線y"交于A、B兩點，P是以點C（2,2）為圓心，半徑長1的圓上一動點，連結(jié)AP，Q為AP的中點.若線段OQ長度的最大值為2,則k的值為（ ）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 3 1 2 2 4A?一 B?一 C?一2 D.■例7. 如圖，以原點為圓心的圓與反比例函數(shù)y=3的圖象交于A、B、C、D四點，已知點AX的橫坐標(biāo)為1,則點C的橫坐標(biāo)為（ ）-1-2-3-4-1-2-3-4練習(xí)1.如圖，反比例函數(shù)y=k（k〉0）的圖象與。。在第一象限內(nèi)交于P、Q兩點,分別過P、… k八一練習(xí)2.如圖3,反比例函數(shù)y=—（k>0）的圖象與以原點（0，0）為圓心的圓交于人，Bx兩點，且人（1,V3），圖中陰影部分的面積等于 .（結(jié)果保留n）解析由于反比例函數(shù)和圓都是中心對稱圖形，故陰影部分面積可以看成是扇形AOB的面積.再利用圖形關(guān)于直線y=x對稱，可知B（\注,1）,所以，ZBOX=30°,ZAOX=60°,/日（ 30兀22—兀易得,扇形AOB—360 1,從以上例題的分析可觀察到，對于反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=X+b或y=-x+b相結(jié)合的問題，利用軸對稱比較方便；而當(dāng)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y=kxy或圓相結(jié)合的時候，中心對稱必然能發(fā)揮作用.總之，利用反比例函數(shù)的對稱性，要先觀察，再計算（數(shù)形結(jié)合），這樣會比直接代數(shù)運算方便很多.練習(xí)3、（2010?深圳）如圖所示，點P（3a,a）是反比例函數(shù)y=-K（k〉0）與。O的一z個交點，圖中陰影部分的面積為10n,則反比例函數(shù)的解析式為（ ）考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性。專題：轉(zhuǎn)化思想。分析：根據(jù)P（3a,a）和勾股定理，求出圓的半徑，進而表示出圓的面積，再根據(jù)圓的面積等于陰影部分面積的四倍，求出圓的面積，建立等式即可求出a的值，從而得出反比例函數(shù)的解析式.解答：解：由于函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以陰影部分面積俱圓面積，4則圓的面積為10nx4=40n.因為P（3a,a）在第一象限，則a>0,3a>0,根據(jù)勾股定理，OP=;（3a）^g^.-TOa.于是n（ 2=40n,a=±2,（負(fù)值舍去），故a=2.P點坐標(biāo)為（6,2）.將P（6,2）代入尸乜，得：k=6X2=12. 12反比例函數(shù)解析式為：y=--.析式.練習(xí)4.如圖，有反比例函數(shù):尸/，：產(chǎn)-±的圖象和一個圓，則S陰影（ ）A、n B、2nC、3n D、無法確定考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性。分析：根據(jù)兩函數(shù)的對稱性和圓的對稱性，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為半圓的面積來解.解答：解：因為反比例函數(shù)-產(chǎn)工，：尸一△的圖象關(guān)于y軸對稱，X X圓也是關(guān)于y軸對稱，陰影部分的面積為半圓的面積即S=