數(shù)學(xué)建模主成分分析

主成分分析法2023/2/3常見相關(guān)模型及其

建模方法2.專題求解模型1.發(fā)散思維模型2023/2/3近幾年賽題為例2009年A題制動器試驗(yàn)臺的控制方法分析

B題眼科病床的合理安排

2010年A題儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定

B題上海世博會影響力的定量評估

2011年A題城市表層土壤重金屬污染分析

B題交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度2012年A題葡萄酒的評價(jià)

B題太陽能小屋的設(shè)計(jì)

近幾年全國數(shù)學(xué)建模競賽題2023/2/32010年B題上海世博會影響力的定量評估

2009年B題眼科病床的合理安排

2011年A題城市表層土壤重金屬污染分析2012年A題葡萄酒的評價(jià)

均可歸屬為-

基于數(shù)據(jù)分析的綜合評價(jià)模型2023/2/3兩類模型常用建模方法綜合評價(jià)法測試分析法專題建模法信息合理運(yùn)用法2023/2/3綜合評價(jià)基本方法簡易的方法有：常用的方法有：2023/2/3測試分析法回歸分析曲線擬合計(jì)算機(jī)模擬與仿真2023/2/3專題建模法數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)圖論微分方程各學(xué)科實(shí)際問題2023/2/3信息合理運(yùn)用法將與問題相關(guān)的論文合理運(yùn)用將其他問題的論文合理運(yùn)用07年選區(qū)的重新劃分與統(tǒng)計(jì)物理2023/2/3

主成份分析法2023/2/3問題實(shí)際背景，在眾多評價(jià)問題中，人們往往會對評價(jià)樣品收集盡可能多的指標(biāo)，例如人口普查往往要調(diào)查每個(gè)人的姓名、年齡、性別、文化程度、住房、職業(yè)、收入、消費(fèi)等幾十項(xiàng)指標(biāo)；再如，2012年葡萄評價(jià)有24指標(biāo)。從收集資料的角度來看，收集較多的數(shù)據(jù)有利于完整反映樣品的特征，但是這些指標(biāo)從統(tǒng)計(jì)角度來看相互之間具有一定的依賴關(guān)系，從而使所觀測的數(shù)據(jù)在反映信息上有一定重疊，同時(shí)又使得問題變得復(fù)雜。2023/2/3思考：如何減少變量，但信息量保留得較多。由此產(chǎn)生了主成分分析法。

主成分分析也稱主分量分析（principalcomponentsanalysis,PCA）是由美國的科學(xué)家哈羅德·霍特林（Haroldotelling）于1933年首先提出的。

2023/2/3解決的問題之一：降維2023/2/3解決的問題之二：幾何分析2023/2/3

解決的問題之三：客觀加權(quán)2023/2/3

主成分分析的基本思想2023/2/3一、降維的兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1：信息量損失盡可能少。準(zhǔn)則2：新主成分之間相關(guān)性低、重疊少。2023/2/3二、明確信息量的數(shù)學(xué)意義

我們知道，當(dāng)一個(gè)變量所取數(shù)據(jù)相近時(shí)，這個(gè)變量（數(shù)據(jù)）提供的信息量較為單一，當(dāng)這個(gè)變量取數(shù)據(jù)差異較大時(shí)，說明它對各種場景的“遍歷性”越強(qiáng)，提供的信息就更加充分，從數(shù)學(xué)角度來論，變量的標(biāo)準(zhǔn)差或方差越大，變量涵蓋的信息越足。2023/2/3三、明確重疊少數(shù)學(xué)意義

我們知道，當(dāng)一個(gè)變量與有關(guān)聯(lián)時(shí)難免表達(dá)信息有重復(fù)，沒關(guān)聯(lián)反映在數(shù)學(xué)上最好是兩變量獨(dú)立，而這一要求過強(qiáng)，較難滿足，這里我們就要求新主成分之間無線性關(guān)系就好，反映在概率理論上就是每兩個(gè)主成分之間的協(xié)方差為“0”或相關(guān)系數(shù)為“0”。2023/2/3建立選取主成分分析模型2023/2/3引例：假設(shè)共有n個(gè)樣品，每個(gè)樣品都測量了兩個(gè)指標(biāo)（X1，X2），在坐標(biāo)系中，觀察散點(diǎn)的分布，假設(shè)共有n個(gè)樣品，每個(gè)樣品都測量了兩個(gè)指標(biāo)（X1，X2），在坐標(biāo)系中，觀察散點(diǎn)的分布，假設(shè)共有n個(gè)樣品，每個(gè)樣品都測量了兩個(gè)指標(biāo)（X1，X2），在坐標(biāo)系中，觀察散點(diǎn)的分布，假設(shè)共有n個(gè)樣品，每個(gè)樣品都測量了兩個(gè)指標(biāo)（X1，X2），在坐標(biāo)系中，觀察散點(diǎn)的分布，2023/2/3引例：單獨(dú)看這n個(gè)點(diǎn)的分量

，它們沿著

方向和

方向都具有相近的離散性，如果僅考慮其中的任何一個(gè)分量，那么包含在另一分量中的信息將會損失，因此，直接舍棄某個(gè)分量不是“確定主成分”的有效辦法。2023/2/3結(jié)論：為第一主成分，為第二主成分。換個(gè)角度觀察

事實(shí)上，散點(diǎn)的分布總有可能沿著某一個(gè)方向略顯擴(kuò)張，這里沿橢圓的長軸方向數(shù)據(jù)變化跨度就明顯大于橢圓的短軸方向。2023/2/3結(jié)論：為第一主成分，為第二主成分。換個(gè)角度觀察

結(jié)論：長軸方向變量為第一主成分；短軸方向變量為第二主成分。2023/2/3結(jié)論：為第一主成分，為第二主成分。當(dāng)新舊變量間夾角為時(shí)，由坐標(biāo)變換公式可得主成分獲得的數(shù)學(xué)模型2023/2/3確定主成分的數(shù)學(xué)模型：2023/2/3推廣一般主成分確定的模型或其中T是正交矩陣2023/2/3主成分滿足的約束要求：①Y的各分量是不相關(guān)的；②并且Y的第一個(gè)分量的方差是最大的；第二個(gè)分量的方差次之，……，等等。③為了保持信息不丟失，Y的各分量方差和與X的各分量方差和相等。2023/2/3主成分的方差及它們的協(xié)方差其中表示方差，Cov表示協(xié)方差，這里X是多維隨機(jī)向量，D（X）則表述的是X的協(xié)方差陣，一般用其中表示方差，Cov表示協(xié)方差，這里X是多維隨機(jī)向量，D（X）則表述的是X的協(xié)方差陣，一般用其中表示方差，Cov表示協(xié)方差，這里X是多維隨機(jī)向量，D（X）則表述的是X的協(xié)方差陣，一般用2023/2/3所以協(xié)方差矩陣是對稱矩陣，且為非負(fù)定的！復(fù)習(xí)：關(guān)于隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為2023/2/3第一主成分求法Y1的方差2023/2/3第二主成分及第k主成分滿足條件考慮到Y(jié)2=t21x1+t22x2+t23x3+...

+tp1xp

=

T'2X

,及我們的準(zhǔn)則

考慮到Y(jié)2=t21x1+t22x2+t23x3+...

+tp1xp

=

T'2X

,及我們的準(zhǔn)則

2023/2/3第二主成分及第k主成分求法表明是∑的特征值，T'2為特征向量?2023/2/3第主成分求法2023/2/3結(jié)論：思考：總信息量不變嗎？2023/2/3主成分保持信息總量不少2023/2/3主成分個(gè)數(shù)確定的標(biāo)準(zhǔn)2023/2/3主成分個(gè)數(shù)確定的標(biāo)準(zhǔn)2023/2/3

主成分分析的步驟2023/2/31.構(gòu)造樣本陣樣本陣,其中是樣本容量即評價(jià)對象，是評價(jià)指標(biāo)個(gè)數(shù)，是第個(gè)樣本中采集的第項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)值。

2023/2/32.指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化

為克服單位差異對評價(jià)結(jié)果的影響，須將指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化

其中,

2023/2/33.協(xié)方差矩陣（也是樣本陣的相關(guān)系數(shù)陣？）可證，由標(biāo)準(zhǔn)化后得到的矩陣，而2023/2/34.確定主成分2023/2/35.構(gòu)造綜合評價(jià)函數(shù)

1.求的權(quán)值公式：2.構(gòu)造綜合評價(jià)函數(shù)：這里我們應(yīng)該注意，從本質(zhì)上說綜合評價(jià)函數(shù)是對原始指標(biāo)的線性綜合，從計(jì)算主成分到對之加權(quán)，經(jīng)過兩次線性運(yùn)算后得到綜合評價(jià)函數(shù)。

2023/2/3啤酒風(fēng)味評價(jià)實(shí)例分析2023/2/3題目：啤酒是個(gè)多指標(biāo)風(fēng)味食品,為了全面了解啤酒的風(fēng)味,啤酒企業(yè)開發(fā)了大量的檢測方法用于分析啤酒的指標(biāo),但是面對大量的指標(biāo)數(shù)據(jù),大多數(shù)企業(yè)又感到茫然,不知道如何利用這些大量的數(shù)據(jù),來對各品牌的啤酒加以評價(jià)，由上面的介紹可知,在這種情況下,主成分分析法較為適合。2023/2/31.樣本陣（1）確定原始評價(jià)指標(biāo)：即未經(jīng)簡化的指標(biāo)6個(gè)，選有：乙醛、乙酸乙酯、異丁酯、乙酸異戊酯、異戊醇及己酸乙酯（m=6）（2）確定評價(jià)對象：即定抽樣，本題選有：百威啤酒、喜力啤酒和青島啤酒，南方某種啤酒（n=4）2023/2/3（3）構(gòu)造樣本陣：

本題樣本陣

乙醛

乙酸乙酯

異丁酯乙酸異戊酯

異戊醇己酸乙酯

百威啤酒1.22.33.10.72.14.5

喜力啤酒2.13.25.16.47.61.3

青島啤酒1.10.62.13.11.93

南方某品牌2.31.54.13.2132023/2/32.構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)化陣Z

指標(biāo)規(guī)范化為克服單位差異對評價(jià)結(jié)果的響，須將樣本陣元素規(guī)范化，得標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Z其中2023/2/3可得本題標(biāo)準(zhǔn)化矩陣-1.000280.464991-0.5-1.46277-0.45111.5302351.2537311.6842111.4166671.9104482.4126980.440678-1.21086-1.51122-1.5-0.138-0.537020.0493621.316154-0.464990.5-0.0828-0.923670.0493622023/2/33.協(xié)方差矩陣（相關(guān)系數(shù)陣的實(shí)對稱)

2023/2/3本題相關(guān)系數(shù)陣

乙醛乙酸乙酯異丁酯乙酸異戊酯

異戊醇己酸乙酯乙醛1乙酸乙酯0.4210551異丁酯0.8633970.8137331乙酸異戊酯0.6056130.4222220.6844671異戊醇0.3193610.7840870.6873860.8058141己酸乙酯-0.59667-0.36954-0.65158-0.99835-0.7753212023/2/34.確定主成分（1）解樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征方程

得6個(gè)特征根,

（2）確定主成分個(gè)數(shù)

k

：并由大到小排列：

使信息的利用率達(dá)85%以上，本題k=2，累計(jì)貢獻(xiàn)率d=45.1%+38.2%=83.3%2023/2/3

5.構(gòu)造2個(gè)主成份：

對每個(gè)λj,j=1,2解得單位特征向量

則第j個(gè)主成份2023/2/36.構(gòu)造綜合評價(jià)價(jià)值函數(shù)：

（1）首先構(gòu)造權(quán)向量：其中

2023/2/3（2）構(gòu)造價(jià)值函數(shù)：

2023/2/3本題結(jié)果：綜合結(jié)論：由好到差排序喜力啤酒

百威啤酒

青島啤酒南方某種啤酒2023/2/3主成分的方差協(xié)方差矩陣的對角線元素正交矩陣T中對應(yīng)的第k行第i列元素模型解釋-主成分因子載荷量:隨機(jī)向量X的方差協(xié)方差陣對的第k個(gè)特征值2023/2/32023/2/32023/2/3主成分因子載荷量分析：以為坐標(biāo)畫圖2023/2/3結(jié)果分析：從圖

可以看出：

主成分1，

主要由乙酸乙酯、乙酸異戊酯和己酸乙酯決定,這些酯含量高,主成分1就越大,即主成分1代表了啤酒的酯香。主成分2，

主要由乙醛、異丁醇和異戊醇決定,這些成分能夠代表啤酒的“酒