第8章導(dǎo)行電磁波

第八章導(dǎo)行電磁波8.1沿均勻?qū)Рㄑb置傳輸電磁波的一般分析8.2矩形波導(dǎo)8.3波導(dǎo)中的能量傳輸與損耗8.4同軸線8.5諧振腔8.1沿均勻?qū)Рㄑb置傳輸電磁波的一般分析8.1.1在導(dǎo)波裝置中電磁場(chǎng)縱向場(chǎng)分量與橫向場(chǎng)分量間的關(guān)系在無(wú)耗的媒質(zhì)中電磁波沿+z方向傳輸，則對(duì)于角頻率ω的正弦電磁波，它滿足無(wú)源區(qū)域的麥克斯韋方程：采用廣義坐標(biāo)系(u1,u2,z)，其中u1和u2為導(dǎo)波裝置橫截面上的坐標(biāo)，z為縱向坐標(biāo)。場(chǎng)強(qiáng)的縱向分量用Ez(u1,u2,z)和Hz(u1,u2,z)來(lái)表示，場(chǎng)強(qiáng)的橫向分量用Et(u1,u2,z)和Ht(u1,u2,z)表示，則場(chǎng)強(qiáng)矢量可表示為式中為電磁波在無(wú)限媒質(zhì)中的波數(shù)。由分離變量法可知，式(8-4b)中的Ez和Hz的解，可表示為f(u1,u２)e-γz的形式，其中稱為導(dǎo)行電磁波的轉(zhuǎn)輸常數(shù)。這樣橫向場(chǎng)分量與縱向場(chǎng)分量間的關(guān)系可表示成將廣義柱坐標(biāo)系中的▽t算子代入，可得橫向場(chǎng)分量的表達(dá)式為8.1.2導(dǎo)行波波型的分類1.橫電磁波(TEM波)此傳輸模式?jīng)]有電磁場(chǎng)的縱向場(chǎng)量，即Ez=Hz=0，由式(8-6)可知，要使Et和Ht不為零，必須有kc=0，即2.橫電波(TE波)或磁波(H波)此波型的特征是Ex=0,Hz≠0，所有的場(chǎng)分量可由縱向磁場(chǎng)分量Hz求出。3.橫磁波(TM波)或電波(E波)此波型的特征是Hz=0，Ez≠0，所有的場(chǎng)分量可由縱向電場(chǎng)分量Ez求出。8.1.3導(dǎo)行波的傳輸特性1.截止波長(zhǎng)與傳輸條件導(dǎo)行波的場(chǎng)量都有因子e-γz(沿+z軸方向傳輸)，γ=α+jβ，為傳播常數(shù)。由前面的推導(dǎo)可知對(duì)于理想導(dǎo)波系統(tǒng)，為實(shí)數(shù)，而kc是由導(dǎo)波系統(tǒng)橫截面的邊界條件決定的，也是實(shí)數(shù)。這樣隨著工作頻率的不同，γ2可能有下述三種情況：(1)γ2<0，即γ=jβ。此時(shí)導(dǎo)行波的場(chǎng)為(2)γ2>0，即γ=α。此時(shí)導(dǎo)行波的場(chǎng)為顯然這不是傳輸波，而是沿z軸以指數(shù)規(guī)律衰減的，稱其為截止?fàn)顟B(tài)。(3)γ=0。這是介于傳輸與截止之間的一種狀態(tài)，稱其為臨界狀態(tài)，它是決定電磁波能否在導(dǎo)波系統(tǒng)中傳輸?shù)姆炙畮X。這時(shí)由所決定的頻率(fc)和波長(zhǎng)(λc)分別稱為截止頻率和截止波長(zhǎng)，并且其中為無(wú)限介質(zhì)中電磁波的相速，而kc稱為截止波數(shù)，并有這樣導(dǎo)波系統(tǒng)傳輸TE波和TM波的條件為截止條件為對(duì)于TEM波，由于kc=0，即fc=0，λc=∞，因此在任何頻率下，TEM都能滿足f>fc=0的傳輸條件，均是傳輸狀態(tài)。也就是說TEM波不存在截止頻率。2.波導(dǎo)波長(zhǎng)在傳輸狀態(tài)下，γ=jβ=jkz，將kc=2π/λc，k=2π/λ=2π/λ0代入上式得所以可得對(duì)于TEM波，λc=∞，3.相速、群速和色散(1)相速。對(duì)于TEM波(λc→∞)，有(8-11a)(2)群速。群速是指一群具有相近的ω和kz的波群在傳輸過程中的“共同”速度，或者說是已調(diào)波包絡(luò)的速度。從物理概念上來(lái)看，這種速度就是能量的傳播速度，其一般公式為(8-11d)可見，群速vg<v，并且對(duì)于TEM波(λc→∞)，有(3)色散。由式(8-11a)和(8-11d)可知，TE波和TM波的相速和群速都隨波長(zhǎng)(即頻率)而變化，稱此現(xiàn)象為“色散”。因此TE波和TM波(即非TEM波)稱為“色散”波，而TEM波的相速和群速相等，且與頻率無(wú)關(guān)，稱為“非色散”波。4.波阻抗對(duì)于TEM波，有5.傳輸功率導(dǎo)波沿?zé)o耗規(guī)則導(dǎo)行系統(tǒng)+z方向傳輸?shù)钠骄β蕿槭街衂=ZTE(或ZTM或ZTEM)。8.1.4模式電壓與模式電流1.TM波式中：上式左邊僅是橫向坐標(biāo)(u1,u2)的函數(shù)，右邊僅是縱向坐標(biāo)z的函數(shù)，要使等式成立，兩邊必須等于同一常數(shù)-k2c，即式中，ZTM=β/ωε。2.TE波TE波型電場(chǎng)的縱向分量Ez=0，代入式(8-2a)得▽t×Ht=0。令3.TEM波橫電磁波的縱向電磁場(chǎng)分量都為零，即Ez=0，Hz=0，故E=Et,H=Ht。顯然，如果TM波的Ez(或TM波的Hz)等于零，它就變成了TEM波，但由式(8-6)可知，此時(shí)必有kc=0，γ=jβ=jkz。這樣Et和Ht仍可由式(8-15a)計(jì)算，即式中：8.1.5邊界條件圖8-1導(dǎo)波系統(tǒng)橫截面對(duì)于TM波，其邊界條件為由于kc≠0，所以有對(duì)于TE波，其邊界條件為用橫向分布函數(shù)表示時(shí)有對(duì)于TEM波，其邊界條件為或者是用橫向分布函數(shù)表示為8.2矩形波導(dǎo)8.2.1矩形波導(dǎo)中的TM波圖8-2矩形波導(dǎo)上式兩邊除以XY，得這里的x和y是互不相關(guān)的獨(dú)立變量。欲使上式對(duì)任意x和y值都成立，只有等式左邊的兩項(xiàng)分別等于常數(shù)。因此，可令且于是Ez的通解是(1)當(dāng)x=0時(shí)，Ez=0(理想導(dǎo)體表面切向場(chǎng)為零)：欲使上式對(duì)所有y值都成立，則c１應(yīng)等于零。(2)當(dāng)y=0時(shí)，Ez=0，欲使上式對(duì)所有x值都成立，則c3應(yīng)為零。此時(shí)c2不能為零，因?yàn)槿鬰2等于零，則Ez在非邊界處也恒為零，這與TM波的情況不符，因此只能取c3等于零。(8-38)(3)當(dāng)x=a時(shí)，Ez=0，式(8-38)變?yōu)橛股鲜綄?duì)所有y值都成立，kx必須滿足下面關(guān)系：這里m不能等于零，否則kx=0，則Ez恒等于零，這不符合TM波的定義。(4)當(dāng)y=b時(shí)，Ez=0，欲使上式對(duì)所有x值都成立，ky必須滿足下面關(guān)系：這樣Ez的表示式為式中：在矩形波導(dǎo)中TM波的傳輸常數(shù)為當(dāng)傳輸常數(shù)γ=0所對(duì)應(yīng)的頻率為載止頻率fc，且截止頻率為當(dāng)工作頻率高于截止頻率時(shí)，即f>fc，γ為純虛數(shù)，γ=jβ=jkz，電磁波才可能在波導(dǎo)中沿+z方向傳輸。這種z方向傳輸常數(shù)為或?qū)懗僧?dāng)工作頻率低于截止頻率時(shí)，即f<fc，γ為實(shí)數(shù)，γ=α。此時(shí)e-αz表示衰減，電磁波衰減很快，不可能在波導(dǎo)中傳輸。式中為無(wú)限介質(zhì)中的電磁波的波度。電磁波在矩形波導(dǎo)中的速度vp為在矩形波導(dǎo)中的波導(dǎo)波長(zhǎng)λg為圖8-3矩形波導(dǎo)中幾種波型的場(chǎng)結(jié)構(gòu)(—磁力線；—電力線)8.2.2矩形波導(dǎo)中的TE波其中：截止波數(shù)kc為截止頻率為截止波長(zhǎng)為TE波在波導(dǎo)中的相速vp為TE波在波導(dǎo)中的波導(dǎo)波長(zhǎng)λg為圖8-4矩形波導(dǎo)中截止波長(zhǎng)分布圖(以BJ—100為例)8.2.3矩形波導(dǎo)中的TE10波將m=1、n=0、kx=kc=π/a代入式(8-49)，便可得到TE10模的場(chǎng)分量表示式為式中傳輸常數(shù)TE10模電磁場(chǎng)各分量的瞬時(shí)表示式為圖8-5TE10模的電場(chǎng)、磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖8-6TE10模電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)立體圖當(dāng)波導(dǎo)中有電磁能量傳輸時(shí)，波導(dǎo)內(nèi)壁處有感應(yīng)的高頻傳導(dǎo)電流。由于波導(dǎo)內(nèi)壁是導(dǎo)電率極高的良導(dǎo)體，在微波波段，其趨膚深度在微米數(shù)量級(jí)。因此波導(dǎo)內(nèi)壁上的電流可看成表面電流，其面電流密度由下式確定：式中n為波導(dǎo)內(nèi)壁上的單位法向矢量，它由波導(dǎo)管壁指向波導(dǎo)管內(nèi)；Ht是波導(dǎo)管內(nèi)壁處的切向磁場(chǎng)。TE10模在波導(dǎo)管內(nèi)壁上的感應(yīng)面電流密度為圖8-7TE10模的壁電流分布在矩形波導(dǎo)中傳輸TE10模時(shí)，其截止波長(zhǎng)為波導(dǎo)波長(zhǎng)為波阻抗為8.3波導(dǎo)中的能量傳輸與損耗在矩形波導(dǎo)中傳輸功率為在圓柱形波導(dǎo)中其傳輸功率為(8-72)8.3.1波導(dǎo)的擊穿功率與功率容量對(duì)于矩形波導(dǎo)中的TE10模，其橫向電場(chǎng)只有Ey分量，其表示式為(8-74)式中E0=ωμaH0/π。將式(8-74)代入式(8-72)，則在行波狀態(tài)下TE10模的傳輸功率為式中為無(wú)限介質(zhì)中的波阻抗。設(shè)Ebr為波導(dǎo)中填充介質(zhì)的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度，即介質(zhì)所能承受的最大電場(chǎng)強(qiáng)度，將式(8-75)中的E0用Ebr代替，則在行波狀態(tài)下TE10模傳輸?shù)臉O限功率Pbr為圖8-9矩形波導(dǎo)功率容量與波長(zhǎng)的關(guān)系在實(shí)際應(yīng)用中，由于傳輸線終端難以完全匹配，傳輸線處于行駐波工作狀態(tài)(而有部分反射波存在)，此時(shí)駐波系數(shù)ρ>1，這時(shí)擊穿功率可減小到事實(shí)上，波導(dǎo)的擊穿功率還與其它因素有關(guān)。如波導(dǎo)內(nèi)表面不干凈，有毛刺或出現(xiàn)不均勻性等等，都會(huì)使波導(dǎo)的擊穿功率進(jìn)一步降低。為使波導(dǎo)能安全地工作，通常把傳輸線允許通過的功率Pt規(guī)定為8.3.2波導(dǎo)的損耗和衰減在考慮損耗的波導(dǎo)中，電磁波的傳輸常數(shù)是復(fù)數(shù)，即γ=α+jβ=α+jkz，此時(shí)電磁波的場(chǎng)矢量式中E′(u1，u2)e-αz和H′(u1，u2)e-αz是場(chǎng)矢量的振幅。顯然電磁波每傳輸一個(gè)單位距離，場(chǎng)矢量的振幅是原來(lái)值的e-αz倍，而電磁波所攜帶的功率則是原來(lái)值的e-2α倍。設(shè)在z處通過波導(dǎo)橫截面的功率為P，則傳輸一個(gè)單位距離所損耗的功率PL為(8-80)在一般情況下，波導(dǎo)中任意橫截面處的傳輸功率P總是遠(yuǎn)大于該處單位長(zhǎng)度波導(dǎo)中損耗的功率PL，即P>>PL，這說明衰減常數(shù)α<<1。在此種情況下，將e-2α展成冪級(jí)數(shù)，并取前兩項(xiàng)作近似，則式(8-80)可簡(jiǎn)化為由此可得衰減常數(shù)的近似表示式為(8-81)

1.波導(dǎo)內(nèi)壁導(dǎo)體損耗引起的衰減常數(shù)αc若要計(jì)算αc，必須先計(jì)算傳輸功率P和損耗功率PL。由電磁場(chǎng)理論可知，這兩部分功率分別為式中，Z為傳輸模的波阻抗，RS為金屬材料的表面電阻。將式(8-84)和式(8-85)代入式(8-81)，可得(8-84)(8-85)圖8-10矩形波導(dǎo)中TE10模的αc特性曲線2.波導(dǎo)中填充介質(zhì)的損耗引起的衰減常數(shù)αd當(dāng)波導(dǎo)中填充非理想介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)中將損耗部分功率，使得電磁波在傳輸過程中衰減。波導(dǎo)中非理想介質(zhì)引起的損耗包括兩部分：一部分是由介質(zhì)電導(dǎo)率不等于零，即σ≠0而引起的；另一部分是由介質(zhì)極化阻尼而引起的。介質(zhì)電導(dǎo)率不為零引起的衰減常數(shù)αdc由傳輸常數(shù)γ的表示式可以導(dǎo)出，其αdc為介質(zhì)極化阻尼損耗引起的衰減常數(shù)αde為式中tanδe=ε″/ε′稱為介質(zhì)損耗角正切。以上的分析表明，對(duì)于空氣填充的波導(dǎo)，其損耗是由波導(dǎo)壁有限電導(dǎo)率引起的，衰減系數(shù)α=αc；對(duì)于非理想介質(zhì)填充的波導(dǎo)，不僅有波導(dǎo)壁引起的損耗，而且還有介質(zhì)引起的損耗，其衰減常數(shù)α=αc+αdc+αde。8.4同軸線圖8-11同軸線的結(jié)構(gòu)與坐標(biāo)8.4.1同軸線主模TEM波的性質(zhì)1.同軸線中的場(chǎng)方程該方程的一般解為將φ以及式(8-22d)代入式(8-22a)，可得到同軸線中TEM波的橫向場(chǎng)分量為式中E0是電場(chǎng)的振幅，η是TEM波的波阻抗。2.傳輸參數(shù)設(shè)同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓為U(z)，內(nèi)導(dǎo)體上的軸向電流為I(z)，則由特性阻抗的定義可知其特性阻抗Z0為其相移常數(shù)β和相速vp分別為(v0=光速)其波導(dǎo)波長(zhǎng)(相波長(zhǎng))為3.傳輸功率與衰減設(shè)z=0時(shí)，內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓為U0，同軸線傳輸TEM波的平均功率：同軸線的功率容量Pbr可按下式計(jì)算：Ubr與Ebr的關(guān)系：故功率容量的計(jì)算公式可寫成8.4.2同軸線中的高次模對(duì)于同軸線內(nèi)的TE或TM高階模來(lái)說，其截止波數(shù)kc所滿足的方程都是超越方程，嚴(yán)格求解是很困難的，一般采用近似的方法得到其截止波長(zhǎng)的近似表達(dá)式。對(duì)于TM波，最低波型為TM01，其截止波長(zhǎng)λc(E01)=2(b-a)。當(dāng)m≠0、n=1時(shí)，對(duì)于TE波，其截止波長(zhǎng)為最低波型為H11，其截止波長(zhǎng)為在m=0時(shí)，TE01模的截止波長(zhǎng)為8.4.3同軸線尺寸的選擇1.保證同軸線中單模(TEM)傳輸為了保證在同軸線中只傳輸TEM波，其工作波長(zhǎng)與同軸線尺寸的關(guān)系應(yīng)滿足2.保證傳輸電磁波能量時(shí)導(dǎo)體損耗最小為了保證獲得最小的導(dǎo)體損耗，將αc表達(dá)式(8-100a)中b保持不變，對(duì)a求導(dǎo)并令，可求得αc取最小值時(shí)b/a的比值為此尺寸相應(yīng)空氣同軸線的特性阻抗約為77Ω。3.保證同軸線具有最大的功率容量為了保證獲得最大的功率容量，可將Pbr的表達(dá)式(8-99)中b保持不變，對(duì)a求導(dǎo)并令，可求得Pbr取最大值時(shí)b/a的比值為此尺寸相應(yīng)空氣同軸線的特性阻抗約為33Ω。8.5諧振腔8.5.1空腔諧振器的一般概念圖8-12集總參數(shù)LC電路向空腔諧振器過渡1.諧振波長(zhǎng)λ0空腔諧振器的諧振波長(zhǎng)λ0是指在空腔諧振器中工作模式的電磁場(chǎng)發(fā)生諧振時(shí)的波長(zhǎng)。這時(shí)諧振器內(nèi)的電場(chǎng)能量的時(shí)間平均值與磁場(chǎng)能量的時(shí)間平均值相等。諧振波長(zhǎng)λ0取決于諧振器的結(jié)構(gòu)形式、尺寸大小和工作模式。f0=v/λ0(空氣填充時(shí)，v為自由空間的光速)稱為諧振頻率。2.固有品質(zhì)因數(shù)Q0品質(zhì)因數(shù)Q是空腔諧振器的另一個(gè)重要參數(shù)。它表征了空腔諧振器的頻率選擇性和諧振器能量損耗，其定義為一個(gè)與外界沒有耦合的孤立空腔諧振器的品質(zhì)因數(shù)稱為固有品質(zhì)因數(shù)，以Q0表示。對(duì)孤立的空腔諧振器，式(8-101)中系統(tǒng)中每秒的能量損耗僅包括空腔諧振器本身的損耗，如導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗等。當(dāng)場(chǎng)量用瞬時(shí)值定義時(shí)，總儲(chǔ)能的時(shí)間平均值為式中ε1為諧振器內(nèi)部介質(zhì)的介電常數(shù)，μ1為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，V為諧振器的體積。對(duì)于孤立的金屬空腔諧振器，其損耗主要來(lái)自導(dǎo)體壁的損耗，所以PL為由于所以式(8-104)也可以寫成(8-104)8.5.2矩形空腔諧振器圖8-13矩形波導(dǎo)諧振腔1.諧振頻率矩形波導(dǎo)諧振腔內(nèi)的場(chǎng)分量可由入射波和反射波疊加來(lái)求得。式中，E0(x,y)為該模式橫向電場(chǎng)的橫向坐標(biāo)函數(shù)，A+、A-分別為正向和反向行波的任意振幅系數(shù)。TEmn和TMmn的傳輸常數(shù)為式中，，μ和ε是腔體內(nèi)填充介質(zhì)的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)。將z=0處的邊界條件Et=0代入式(8-106)，得到A+=A-，再將z=l處的邊界條件Et=0代入式(8-106)，可得E(x,y,l)=-E0(x,y)2jA+sinkzl=0，由此可得這表明，諧振腔