第九章量綱分析與相似理論

第九章量綱分析與相似理論§9-1量綱分析§9-2相似的基本概念§9-3相似準(zhǔn)則1引言高126m相似理論23§9-1量綱分析

一、量綱與單位1.單位：表征各物理量的大小。

如長(zhǎng)度單位m、cm、mm；時(shí)間單位小時(shí)、分、秒等；質(zhì)量單位千克、克等2.量綱：表征各物理量單位的種類。

如m、cm、mm等同屬于長(zhǎng)度類，用L表示；小時(shí)、分、秒等同屬于時(shí)間類，用T表示；公斤、克等同屬于質(zhì)量類，用M表示。43.基本量綱和導(dǎo)出量綱（1）基本量綱：量綱互不依賴、相互獨(dú)立。

長(zhǎng)度量綱質(zhì)量量綱時(shí)間量綱（2）導(dǎo)出量綱：由基本量綱表示的量綱，可用基本量綱的指數(shù)乘積來(lái)表示。力粘度

速度54.量綱分類

（1）幾何學(xué)量綱：

（2）運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱：

（3）動(dòng)力學(xué)量綱：

（4）無(wú)量綱數(shù)：

6粘度系數(shù)力密度，重度流量速度，加速度

常用量及量綱

7二、量綱和諧性原理1.量綱和諧原理是指在一個(gè)反映客觀規(guī)律的物理方程式中，各項(xiàng)的量綱必須是一致的，它是被無(wú)數(shù)事實(shí)所證明的一個(gè)客觀原理。連續(xù)性方程

伯努力方程

2.在經(jīng)驗(yàn)公式中常有帶量綱的系數(shù)，這類公式的量綱是不和諧的。

動(dòng)量方程

8三、量綱分析法量綱分析法：在量綱和諧性原理的基礎(chǔ)上，形成了兩種按照物理量之間的量綱和諧性建立各物理量之間的函數(shù)關(guān)系式的方法。瑞利法若某一物理過程與n個(gè)物理量有關(guān)，即其中一個(gè)物理量可以表示成其它物理量的指數(shù)乘積形式

無(wú)量綱數(shù)

待定系數(shù)

9例9-1已知作用在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體上的離心力，與物體的質(zhì)量、速度和圓周半徑有關(guān)，試用瑞利法推導(dǎo)離心力公式。[解]根據(jù)已知條件，離心力可以寫成以下指數(shù)形式根據(jù)量綱和諧性，有

10例9-2由實(shí)驗(yàn)得知：恒定有壓管流的臨界流速與管徑、流體密度和動(dòng)力黏性系數(shù)有關(guān)，試用瑞利法求出它們之間的關(guān)系式。[解]根據(jù)已知條件，有以下待定函數(shù)關(guān)系根據(jù)量綱和諧性有

112.定理法

(布金漢法)若物理方程為

而這些變量中含有m個(gè)基本物理量，則可組合這些變量成為(n–m)個(gè)無(wú)量綱π數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即…這三個(gè)基本量分別表征流體物性、幾何特性和運(yùn)動(dòng)特征12必須相互獨(dú)立

表征流體物性：密度、粘度等表征幾何特性:管徑、管長(zhǎng)等

表征運(yùn)動(dòng)特性：速度、重力加速度等

13定理法的運(yùn)用步驟：

（1）找出對(duì)物理過程有影響的個(gè)物理量，寫成函數(shù)形式。所謂有影響的物理量是指對(duì)研究的物理過程起作用的各種獨(dú)立因素（2）選出個(gè)相互獨(dú)立的基本量，一般取個(gè)（4）根據(jù)量綱和諧性原理，找出各項(xiàng)的待定系數(shù)、、。

（3）將個(gè)基本量依次與其余量組成個(gè)無(wú)量綱項(xiàng)

（5）寫出描述該物理過程的關(guān)系式

14例9-3已知圓球的繞流阻力與流體的密度和粘度、圓球的直徑、來(lái)流的流速相關(guān)，試用定理推導(dǎo)繞流阻力公式。[解]（1）建立函數(shù)關(guān)系式

（2）選取、、為三個(gè)基本量，求各項(xiàng)。

15根據(jù)量綱和諧性原理

同理

（3）寫出無(wú)量綱方程

16例9-4根據(jù)實(shí)驗(yàn)，某氣體管流現(xiàn)象的物理方程為

壓強(qiáng)損失：

氣體密度：

流速：

動(dòng)力粘度：

管徑：

管長(zhǎng)：

管壁粗糙度：

試用定理推導(dǎo)氣體管路壓強(qiáng)損失公式。[解]

（1）取、、作為三個(gè)基本量，求各項(xiàng)

17（2）根據(jù)量綱和諧性原理，略去具體計(jì)算步驟，求得各項(xiàng)結(jié)果為（3）寫出無(wú)量綱方程

18§9-2相似的基本概念一、幾何相似

模型和實(shí)際流場(chǎng)的幾何形狀相似，即對(duì)應(yīng)的線段成比例，對(duì)應(yīng)的夾角相等。長(zhǎng)度比尺

面積比尺

體積比尺

1920幾何相似的意義：

幾何相似是力學(xué)相似的前提，只有在幾何相似的流動(dòng)中才能找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，從而進(jìn)一步探討對(duì)應(yīng)點(diǎn)其它物理量之間的相似。21二、運(yùn)動(dòng)相似

兩個(gè)流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即速度比尺

加速度比尺

時(shí)間比尺

重力加速度比尺

222324運(yùn)動(dòng)相似是模型實(shí)驗(yàn)的真正目的。運(yùn)動(dòng)相似的意義：三、動(dòng)力相似

兩個(gè)流動(dòng)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)上受到的各種同名力方向相同、大小成比例，即粘性力重力壓力彈性力表面張力慣性力力的比尺

密度比尺粘度比尺

25條件：2>對(duì)應(yīng)點(diǎn)上同物理性質(zhì)的力方向相對(duì)應(yīng)，大小成比例。1>幾何相似；

根據(jù)達(dá)郎貝爾原理，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，設(shè)想加上該質(zhì)點(diǎn)的慣性力，則慣性力與質(zhì)點(diǎn)所受作用力平衡，形式上構(gòu)成封閉力多邊形。因此動(dòng)力相似又可表述為相應(yīng)點(diǎn)上的力多邊形相似，相應(yīng)邊（即同名力）成比例。26動(dòng)力相似的意義：動(dòng)力相似是力學(xué)相似的保證，是力學(xué)相似的主導(dǎo)因素。運(yùn)動(dòng)相似是動(dòng)力相似的表征。27四、初始條件和邊界條件相似1.初始條件和邊界條件的相似是保證兩個(gè)流動(dòng)相似的必要條件，正如初始條件和邊界條件是微分方程的定解條件一樣。2.對(duì)于非恒定流，初始條件是必須的，而對(duì)于恒定流，初始條件則失去了意義。3.邊界條件是指兩個(gè)流動(dòng)相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，比如，自由表面上的壓強(qiáng)等于大氣壓強(qiáng)，固體邊界上的法線速度為零等。281