第14章光的衍射

第4篇波動光學第十四章光的衍射

2一.光的衍射現(xiàn)象saE

幾何陰影區(qū)

幾何陰影區(qū)

光在傳播過程中遇到障礙物，能夠繞過障礙物的邊緣偏離直線傳播，并且光強重新分布的現(xiàn)象稱為衍射現(xiàn)象。§14.1光的衍射現(xiàn)象

惠更斯－菲涅耳原理

縫寬3

波振面上任何一點都是發(fā)射子波的波源，各子波在空間某點相干疊加，就決定了該點波的強度?！ぁdE(P)rQdSS(波前)設初相為零nK():方向因子P點的振動為合振動：二.惠更斯－菲涅耳原理P點的振幅4*

衍射的分類菲涅耳衍射夫瑯和費衍射光源—障礙物—接收屏距離為有限遠。光源—障礙物—接收屏距離為無限遠。平行光衍射光源障礙物接收屏光源障礙物接收屏5P1.實驗裝置

屏幕中心為中央明紋，兩側對稱分布著其他明暗條紋，這是縫處波陣面上(連續(xù)的)無窮多子波發(fā)出的光的相干疊加的結果。AB=a

為縫寬：衍射角§14.2單縫夫瑯和費衍射SfafBA透鏡L1單縫透鏡L2觀察屏o62.菲涅耳半波帶法

P

o

fa

fS

B

A

透鏡L1單縫

透鏡L2

觀察屏

——中央明紋(中心)A→P和B→P的光程差P點(衍射角),該束光線的最大光程差為:d72

相鄰波帶上對應點發(fā)出的平行光線會聚時的光程差都是/2，因而總是相干相消。由此得出結論：

兩個相鄰波帶所發(fā)出的光線會聚于屏幕上時全部干涉相消。如果單縫被分成偶數(shù)個半波帶，屏幕上對應點P出現(xiàn)暗紋;如果單縫被分成奇數(shù)個半波帶，于是屏幕上對應點P出現(xiàn)亮紋.

這些平面把縫上的波振面就分割成許多等寬的窄帶——菲涅耳半波帶。22ABaC

平行于AC作一系列相距/2的平面,??????8

綜上所述，單縫衍射明暗紋的中心位置是:暗紋

(k=1,2,3,…)亮紋

(k=1,2,3,…)零級(中央)亮紋直線條紋波帶數(shù)注意：1.k與波帶數(shù)的關系2.明暗…3.k≠0afoPABC*S93.振幅矢量疊加法(定量)相鄰兩波帶發(fā)出的子波到達P點的光程差：相位差為：將a劃分為N個等寬的狹窄波帶，設每個波帶發(fā)出的子波在P點引起的光振動的振幅近似相等，即10

根據(jù)惠更斯－菲涅耳原理，P點合振動的振幅等于這N個振幅相等、相差依次為的光振動的疊加，如圖所示。θθθθθθθθ11則令合振幅：——P點合振動的振幅12與半波帶法所得結論一致①在=0處，

=0，

則I=I0，光強最大，即中央亮紋；②當

=±k,

k=1,2,3…時，sin

=0則I=0，光強最小，為暗紋；此時③其他各級亮紋的位置：令得與半波帶法所得結論略有差異13

中央明紋又亮又寬(約為其它明紋寬度的2倍)。中央兩旁，明紋的亮度隨著級次的增大迅速減小。這是由于k越大，分成的波帶數(shù)越多,而未被抵消的波帶面積越小的緣故。(1)光強分布sin相對光強曲線1.0oaa2a2a圖15-64.條紋特點:14(2)中央亮紋寬度：兩個第一級暗紋間的距離稱為中央亮紋的寬度1是第一級暗紋中心對應的角位置也稱為中央亮紋半角寬度：

中央亮紋的線寬度：其它各級明條紋的寬度為中央明條紋寬度的一半。λΔxIx1x2衍射屏透鏡觀測屏Δx0

f115(4)波長對條紋寬度的影響(3)縫寬對條紋的影響當a一定時條紋在屏幕上的位置與波長成正比，如果用白光做光源，中央為白色明條紋，其兩側各級都為彩色條紋。該衍射圖樣稱為衍射光譜。當，各級條紋全部并入中央條紋，形成單一的明條紋,這是光直線傳播的結果，即衍射現(xiàn)象消失。幾何光學是波動光學在a>>

時的極限情況?？p寬a越小，衍射現(xiàn)象越明顯。——衍射反比定律16例1

波長為的單色光垂直入射到一狹縫上，若第一級暗紋對應的衍射角為30°，求狹縫的縫寬及對應此衍射角狹縫的波陣面可分為幾個半波帶。解:

由單縫的暗紋條件：k=1,

=30°,算得：a=2

。

(半)波帶數(shù)=(半)波帶數(shù)

若不知某處是明紋還是暗紋，則計算波帶數(shù)的方法是：2k=2。17例2單縫衍射，a=0.6mm透鏡焦距f=40cm,可見光垂直入射。在屏上x=1.4mm處觀察到明紋極大。求入射光波長及該處衍射條紋的級次。解:k=11=14000?k=22=8400?k=33=6000?k=44=4667?即在x=1.4mm處兩種波長光的亮紋重疊橙色第3級7個半波帶青色第4級9個半波帶x

f明紋：18例3已知一雷達位于路邊d=15m處，射束與公路成15°，天線寬度a=0.20m，射束波長=30mm。求：該雷達監(jiān)視范圍內公路長L=?解：將雷達波束看成是單縫衍射的中央亮紋。由：如圖：可以將雷達天線看成是發(fā)出衍射波的單縫，考慮到雷達距離公路較遠,故可按夫瑯禾費衍射作近似計算。daβLθ11519a12AB例4設有一單色光斜射到寬度為a的單縫上，求單縫衍射明暗紋的中心位置。各級明、暗紋的中心位置：a(sin+sin)=DC光線1與2的光程差為：BD+CB=asin+asin(規(guī)定：衍射光在縫法線上側，取“+”，下側取“-”)解：（k=1,2,……）暗紋=-零級亮紋亮紋20*14.3圓孔衍射光學儀器的分辨本領相對光強曲線I圓孔直徑D一.小圓孔的夫瑯和費衍射愛里斑的半角寬度：愛里斑21二.光學成像儀器的分辨本領幾何光學：一個點通過透鏡成像于一點。衍射觀點：一個點通過透鏡形成衍射圖樣。..0.81.0不能分辨恰能分辨

瑞利判據(jù):

若一個點光源的衍射圖樣的中央最大處恰好與另一點光源衍射圖樣的第一極小處相重合,則這兩個點光源恰能被分辨。..22

光學儀器的最小分辨角—恰能分辨時兩光點對透鏡中心所張的角(即為愛里斑的半角寬度):分辨率為

對望遠鏡，不變，盡量增大透鏡孔徑D，以提高分辨率。90年哈勃太空望遠鏡直徑達2.4米。對顯微鏡主要通過減小波長來提高分辨率。榮獲1986年諾貝爾物理學獎的掃描隧道顯微鏡最小分辨距離已達0.01?，能觀察到單個原子的運動圖像。S1S2透鏡L透鏡直徑D23例題

通常亮度下,人眼瞳孔的直徑D=3mm，同學們最多坐多遠，才不會把黑板上寫的相距1cm的等號“=”號看成是減號“”？解只需“=”號對人眼所張的角最小分辯角就行。取=5500?，有(人眼的最小分辯角)由上式算得：d=45.5m。人眼dL等號24反射光柵透射光柵§14.4光柵衍射一.光柵

大量等寬等間距的平行狹縫(或反射面)構成的光學元件。dda是透光(或反光)部分的寬度d=a+b

光柵常數(shù)b是不透光(或不反光)部分的寬度種類：25設平行光線垂直入射。每條狹縫有衍射，縫間光線還有干涉，光柵衍射圖樣是是單縫衍射和多縫干涉的總效果?？梢宰C明：屏上合成光強=縫間干涉光強×單縫衍射光強二.平面透射光柵的衍射1.多光束干涉

設衍射角為的光束經透鏡會聚在屏上的P點，任意相鄰兩光束到達P點的光程差：(a+b)sind=(a+b)oPEfabP26(a+b)sind=(a+b)oPEfab(1)明紋(主極大)條件：(k=0,1,2,…)此時縫間干涉加強，對應主極大亮紋。上式稱為光柵方程。根據(jù)干涉理論，當NAiAi(N為光柵的總縫數(shù))相位差:振幅矢量圖:P點合振動的振幅:光強:光程差：27得：

和N－2個次極大。當N

很大時，在主極大明條紋之間實際上形成一片相當暗的背底。(2)暗紋條件：如果N束衍射光在P點的光振動的振幅首尾連接成一閉合多邊形，則P點的光振動的合振幅為零。即這時N束衍射光在P點干涉相消，P點為暗紋。A2A3A4A5A6A1相鄰主極大間有N－1個暗紋282.單縫衍射縫數(shù)愈多，亮紋愈細。0Ii-2-112單縫衍射光強(asin)/lk=(a)(dsin)/l04-8-48多縫干涉光強

亮紋(主極大)k=(b)IN2I0單048-4-8dsin(l/d)單縫衍射

輪廓線光柵衍射光強曲線k=(dsin)/l(c)29(2)主極大亮紋出現(xiàn)缺級現(xiàn)象單縫衍射暗紋：縫間干涉明紋：為整數(shù)時，會出現(xiàn)缺級：(1)各主極大亮紋的強度受到單縫衍射的調制。IN2I0單048-4-8dsin(l/d)單縫衍射

輪廓線光柵衍射光強曲線k=(dsin)/l圖15-10(c)30綜上所述，光柵衍射是N縫干涉和N個單縫衍射的總效果，衍射圖樣的特點:在黑暗的背景上顯現(xiàn)窄細明亮的譜線(N越大譜線越細越亮)，且各級亮紋強度不同，還可能出現(xiàn)缺級。如果用白光照射光柵,由光柵方程

dsin=±k

,(k=0,1,2,…)可知,同一級譜線中，不同波長的譜線出現(xiàn)在不同的角處(中央零級除外),由中央向外按波長由短到長的次序分開排列，形成顏色的光帶—光柵光譜。這就是光柵的色散特性。3.光柵光譜k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-331例5

波長=6000?的單色平行光垂直照射光柵，發(fā)現(xiàn)兩相鄰的主極大分別出現(xiàn)在sin1=0.2和sin2=0.3處，而第4級缺級。求：(1)光柵常數(shù)d=？

(2)最小縫寬a=？

(3)屏上實際呈現(xiàn)的全部級別和亮紋條數(shù)。解：(1)由題意有

dsin1=k,dsin2=(k+1)于是求得光柵常數(shù)=10=6×10-6m(2)因第4級缺級，由缺級公式：=4，取k′=1(因要a最小)32求得：a=d/4

=1.5×-6m由光柵方程：

dsin

=k

最大k對應

=90°，于是

kmax=d/=10缺級：屏上實際呈現(xiàn)

0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9級，15條亮紋(±10在無窮遠處，看不見)。opEfab(3)屏上實際呈現(xiàn)的全部級別和亮紋條數(shù):33例6一雙縫，縫距d=0.40mm，兩縫寬度都是a=0.08mm,用波長為=4800?的平行光垂直照射雙縫，在雙縫后放一焦距f=2.0m的透鏡，求：(1)在透鏡焦平面處的屏上，雙縫干涉條紋的間距x；(2)在單縫衍射中央亮紋包跡內可能出現(xiàn)的主極大亮紋數(shù)目。第k級亮紋在屏上的位置：相鄰亮紋的間距：(1)雙縫干涉第k級亮紋條件：ad

f透鏡λP

解:34(2)衍射的影響：單縫衍射中央明紋寬度:IN2I0單048-4-8單縫衍射輪廓線應缺±5±10…等級在單縫衍射中央亮紋范圍內，雙縫干涉亮紋數(shù)目為：又因等9條35例7一個每厘米刻有4000條縫的光柵，在白光垂直照射下，可以產生多少完整的光譜？問哪一級光譜中的哪個波長的光開始與其它譜線重疊？

解:根據(jù)光柵方程對第k級光譜，要產生完整的光譜，必須滿足由:36得：只有k=1才滿足上式，所以只能產生一個完整的可見光譜，而第二級和第三級光譜即有重疊出現(xiàn)。

設第二級光譜中波長為的光與第三級中紫光開始重疊，這樣(白)0級1級2級-2級-1級3級-3級37解：(1)光柵常數(shù)為例8用每毫米刻有500條紋的光柵，觀察鈉光譜線=589.3nm。問(1)平行光線垂直入射時；(2)平行光線以入射角i=30°入射時,最多能看見第幾級條紋？總共有多少條條紋？得：k只能取整數(shù)，故取k=3,即能看到第三級條紋。根據(jù)光柵方程共7條明紋。38(2)如平行光以i角入射時，光程差的計算公式應做適當?shù)恼{整,如圖所示。斜入射時的光柵方程為d(sin-

sini)=±k,k=0,1,2,...oPEfabi21在o點上方觀察到的最大級次為k1m，取=90o得而在o點下方觀察到的最大級次為k2m，取=-90o

得所以斜入射時，總共有7條明紋，即(+1、0、-1、-2、-3、-4、-5)39三.光柵的分辨本領由光柵方程和暗紋方程:是恰能分辨的兩條譜線的波長差,是兩條譜線的平均波長。表征光柵性能的主要技術指標就是光柵的分辨本領，定義為：怎樣才算是恰能分辨？(瑞利判據(jù))得到:40一.X射線的產生-KAX射線X射線管+X射線