2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系3.1直線與平面垂直的判定3作業(yè)含解析新人教版必修220220226137

PAGEPAGE7直線與平面垂直的判定（45分鐘100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.(2013·成都高一檢測)m,n是空間兩條不同直線,α,β是空間兩個(gè)不同平面,下面有四種說法：①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n;②m⊥n,α∥β,m⊥α?n∥β;③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β;④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β.其中正確說法的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C2.直線a∥平面M,直線b⊥a,則b與M的位置關(guān)系是()A.b∥MB.b⊥MC.b?MD.不能確定3.(2013·福州高一檢測)已知m是平面α的一條斜線,點(diǎn)A?α,l為過點(diǎn)A的一條動(dòng)直線,那么下列情形可能出現(xiàn)的是()A.l∥m,l⊥αB.l⊥m,l⊥αC.l⊥m,l∥αD.l∥m,l∥α4.(2013·汕頭高一檢測)如圖,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列說法中不正確的是()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角5.如圖,正方體AC1的棱長為1,過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線,垂足為點(diǎn)H,則以下命題中,錯(cuò)誤的是()A.點(diǎn)H是△A1BD的垂心B.AH垂直平面CB1D1C.AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C1D.直線AH和BB1所成的角為45°二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013·南陽高一檢測)如圖,BC是Rt△ABC的斜邊,AP⊥平面ABC,連接PB,PC,作PD⊥BC于D,連接AD,則圖中共有直角三角形個(gè).7.(2013·大同高二檢測)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則AC1與平面A1B1C1D1所成的角的正弦值為8.如圖,在Rt△ABC中,D是斜邊AB的中點(diǎn),AC=6cm,BC=8cm,EC⊥平面ABC,EC=12cm,則ED=cm.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,PC=2,E,F是PA和AB的中點(diǎn),求PA與平面PBC所成的角的正弦值.10.(2013·濰坊高一檢測)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,且DB平分∠ADC,E為PC的中點(diǎn),AD=CD=1,DB=2.(1)證明PA∥平面BDE.(2)證明AC⊥平面PBD.(3)求直線BC與平面PBD所成的角的正切值.11.(能力挑戰(zhàn)題)某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均為正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)A1B1C1D1-ABCD,上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2(1)證明：直線B1D1⊥平面ACC2A2(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(單位：cm),每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元,需加工處理費(fèi)多少元?答案解析1.【解析】選B.①正確,因?yàn)閚∥β,α∥β,所以在α內(nèi)有與n平行的直線,又m⊥α,則m⊥n;②錯(cuò)誤,α∥β,m⊥α?m⊥β,因?yàn)閙⊥n,則可能n?β;③錯(cuò)誤,因?yàn)閙⊥n,α∥β,m∥α,則可能n?β且m?β;④正確,m⊥α,α∥β,得m⊥β,因?yàn)閙∥n,則n⊥β.2.【解析】選D.b和a垂直,則b和平面M的位置關(guān)系都有可能.3.【解析】選C.設(shè)m在平面α內(nèi)的射影為n,當(dāng)l⊥n且與α無公共點(diǎn)時(shí),l⊥m,l∥α.4.【解析】選D.四棱錐S-ABCD的底面為正方形,所以AC⊥BD,又SD⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,從而AC⊥平面SBD,故AC⊥SB,即A正確;由AB∥CD,可得AB∥平面SCD,即B正確;選項(xiàng)A中已證得AC⊥平面SBD,又SA=SC,所以SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角,即C正確;AB與SC所成的角為∠SCD,此為銳角,而DC與SA所成的角即AB與SA所成的角,此為直角,二者不相等,故D不正確.5.【解析】選D.因?yàn)槿忮FA-A1BD是正三棱錐,所以頂點(diǎn)A在底面的射影H是底面的垂心,所以選項(xiàng)A正確;易證平面A1BD∥平面CB1D1,而AH垂直平面A1BD,所以AH垂直平面CB1D1,所以選項(xiàng)B正確;連接正方體的體對(duì)角線AC1,則它在各面上的射影分別垂直于BD,A1B,A1D等,所以AC1⊥平面A1BD,則直線AC1與AH重合,所以選項(xiàng)C正確.故選D.6.【解析】由題意可知Rt△PAB,Rt△PAC,Rt△ABC,Rt△ADP,Rt△PDB,Rt△PDC.又可證BC⊥平面APD,得BC⊥AD,則可得Rt△ADB,Rt△ADC,共8個(gè).答案：8【誤區(qū)警示】本題易錯(cuò)在考慮不全,從而證明不出BC⊥平面APD,少查或漏查直角三角形.【變式訓(xùn)練】如圖,PA⊥圓O所在平面,AB是圓O的直徑,C是圓周上一點(diǎn),則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是.【解析】由題干圖與已知得直角三角形有：△PAC,△PAB,△ABC,△PBC.答案：47.【解析】連接A1C1,因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是長方體,所以AA1⊥平面A1B1C1D1所以A1C1是AC1在平面A1B1C1D所以∠A1C1A為AC1與平面A1B1C在Rt△AA1C1中,AA1AC1==3,所以sin∠A1C1A=.答案：8.【解析】因?yàn)镋C⊥平面ABC,CD?平面ABC,所以EC⊥CD.AB==10cm,因?yàn)镈是斜邊AB的中點(diǎn),所以CD=AB=5cm,所以ED==13cm.答案：139.【解題指南】過A作BC的垂線,聯(lián)系PC⊥平面ABCD,利用線面垂直的判定定理可以證明所作垂線與平面PBC垂直.【解析】過A作AH⊥BC于H,連接PH,因?yàn)镻C⊥平面ABCD,AH?平面ABCD,所以PC⊥AH,又PC∩BC=C,所以AH⊥平面PBC,所以∠APH為PA與平面PBC所成的角,邊長為2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,所以△ABC為正三角形,又AH⊥BC,所以H為BC的中點(diǎn),AH=,因?yàn)镻C=AC=2,所以PA=2,所以sin∠APH=,故PA與平面PBC所成的角的正弦值為.10.【解析】(1)設(shè)AC∩BD=H,連接EH.在△ADC中,因?yàn)锳D=CD,且DB平分∠ADC,所以H為AC的中點(diǎn),又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),故EH∥PA,又HE?平面BDE,PA?平面BDE,所以PA∥平面BDE.(2)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以PD⊥AC,由(1)知,BD⊥AC,PD∩BD=D,故AC⊥平面PBD.(3)由AC⊥平面PBD可知,BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影,所以∠CBH為直線BC與平面PBD所成的角.由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=,可得DH=CH=,BH=,在Rt△BHC中,tan∠CBH=,所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為.11.【解析】(1)因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A2B2C2D2的側(cè)面是全等的矩形,所以AA2⊥AA2⊥AD.又AB∩AD=A,所以AA2⊥平面ABCD.連接BD,因?yàn)锽D?平面ABCD,所以AA2⊥BD.根據(jù)棱臺(tái)的定義知,BD與B1D1共面.又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1且平面ABCD∩平面BB1D1D=BD,平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1所以BD∥B1D1,于是由AA2⊥BD,AC⊥BD,BD∥B1D1,可得AA2⊥B1D1,AC⊥B1D1.又AA2∩AC=A,所以直線B1D1⊥平面ACC2A2(2)由于四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,側(cè)面是全等的矩形,所以S1=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1300(cm2).又四棱臺(tái)A1B1C1D1-ABCD的下底面是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形,設(shè)四棱臺(tái)側(cè)面的高為h,所以S2==(A1B1