湖南省株洲市醴陵市第二中學(xué)2023屆高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.2.設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為,到直線的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.33.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.4.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個(gè)表面中任選個(gè),則選取的個(gè)表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.5.已知銳角滿足則()A. B. C. D.6.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽,如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖(例如:年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、),根據(jù)該圖,以下結(jié)論一定正確的是()A.年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C.三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩D.口罩的產(chǎn)量逐年增加7.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A.k2+1C.k2+18.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)()A. B. C.2 D.9.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.10.閱讀如圖的程序框圖,若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是()A. B. C. D.11.點(diǎn)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.12.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[32二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)為上的奇函數(shù),滿足.則不等式的解集為________.14.的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為______;系數(shù)最大的項(xiàng)是______.15.已知函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______.16.若、滿足約束條件,則的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大?。唬?)若△ABC外接圓的半徑為,求△ABC面積的最大值.18.(12分)已知函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若且A為銳角,a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面積.19.(12分)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷,規(guī)定凡在該超市購(gòu)物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下:獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).(1)求1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式:;(2)求證:.21.(12分)改革開放40年,我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí),某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各50人,進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng),所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)(Ⅰ)求的值,并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率;(Ⅱ)已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識(shí)強(qiáng)的駕駛員中隨機(jī)抽取2人,求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82822.(10分)如圖,在底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點(diǎn),.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,都有,并證明你的結(jié)論.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

分析:題設(shè)的直線與拋物線是相離的,可以化成,其中是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,也就是到焦點(diǎn)的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無(wú)解,所以直線與拋物線是相離的.由,而為到準(zhǔn)線的距離,故為到焦點(diǎn)的距離,從而的最小值為到直線的距離,故的最小值為,故選A.點(diǎn)睛:拋物線中與線段的長(zhǎng)度相關(guān)的最值問(wèn)題,可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動(dòng)線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離來(lái)求解.3、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對(duì)數(shù),再求出四個(gè)面中任選2個(gè)的方法數(shù),從而可計(jì)算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個(gè)面中任選個(gè)面共有種不同的選法,而選取的個(gè)表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù).5、C【解析】

利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知,,因?yàn)殇J角,所以,,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤,根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知,所以,從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無(wú)法比較,故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤;由堆積圖可知,從年至年,該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的,則三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩,C選項(xiàng)正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當(dāng)n=k時(shí),等式左端=1+1+…+k1,當(dāng)n=k+1時(shí),等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了項(xiàng)(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法,屬于中檔題./8、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設(shè),得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都用表示出來(lái),從而再由勾股定理建立的關(guān)系.10、C【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,帶入依次計(jì)算可得輸出為25時(shí)的值,進(jìn)而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知,則,,,,,此時(shí)輸出,因而不符合條件框的內(nèi)容,但符合條件框內(nèi)容,結(jié)合選項(xiàng)可知C為正確選項(xiàng),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,完善程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識(shí),利用的幾何意義即可得到結(jié)論.【詳解】不等式組作出可行域如圖:,,,的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到的斜率,由圖象可知的斜率為1,的斜率為:,則的取值范圍是:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.12、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù)fgx二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再將所求不等式變形為,利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】設(shè),則,設(shè),則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以,函數(shù)在處取得極小值,也是最小值,即,,,,即,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為上的奇函數(shù),則,,則不等式等價(jià)于,又,解得.因此,不等式的解集為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng).14、【解析】

求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),令指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,代入可得出展開式中的常數(shù)項(xiàng);求出項(xiàng)的系數(shù),利用作商法可求出系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】的展開式的通項(xiàng)為,令,得,所以,展開式中的常數(shù)項(xiàng)為;令,令,即,解得,,,因此,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的求解,同時(shí)也考查了系數(shù)最大項(xiàng)的求解,涉及展開式通項(xiàng)的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.15、【解析】

求導(dǎo),x=0代入求k,點(diǎn)斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點(diǎn)睛】本題考查切線方程,求導(dǎo)法則及運(yùn)算,考查直線方程,考查計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題16、【解析】

作出不等式組所表示的可行域,利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)取得最小時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,解得,即點(diǎn),平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最小,此時(shí)取最小值,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)B(2)【解析】

(1)由已知結(jié)合余弦定理,正弦定理及和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求cosB,進(jìn)而可求B;(2)由已知結(jié)合正弦定理,余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍,然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)因?yàn)閎(a2+c2﹣b2)=ca2cosC+ac2cosA,∴,即2bcosB=acosC+ccosA由正弦定理可得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,因?yàn)?,所以,所以B;(2)由正弦定理可得,b=2RsinB2,由余弦定理可得,b2=a2+c2﹣2accosB,即a2+c2﹣ac=4,因?yàn)閍2+c2≥2ac,所以4=a2+c2﹣ac≥ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào),即ac的最大值4,所以△ABC面積S即面積的最大值.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1)利用降次公式、輔助角公式化簡(jiǎn)解析式,根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)先由求得,利用正弦定理得到,結(jié)合余弦定理列方程,求得,由此求得三角形的面積.【詳解】(1)函數(shù),,由,得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)因?yàn)榍覟殇J角,所以.由及正弦定理可得,又,由余弦定理可得,解得,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,屬于中檔題.19、(1);(2)20.【解析】

(1)1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止,說(shuō)明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,即求概率;(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.分別求出取各個(gè)值時(shí)的概率,即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止,說(shuō)明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,所以1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率.(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.,∴隨機(jī)變量X的分布列為:X01020301P數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.20、(1);(2)見解析.【解析】

(1)代入得,分類討論,解不等式即可;(2)利用絕對(duì)值不等式得性質(zhì),,,比較大小即可.【詳解】(1)由于,于是原不等式化為,若,則,解得;若,則,解得;若,則,解得.綜上所述,不等式解集為.(2)由已知條件,對(duì)于,可得.又,由于,所以.又由于,于是.所以.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式得求解和恒成立問(wèn)題,考查了學(xué)生分類討論,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ).0.2(Ⅱ)見解析,有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)(Ⅲ)見解析,【解析】

(Ⅰ)直接根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案.(Ⅱ)完善列聯(lián)表,計(jì)算,對(duì)比臨界值表得到答案.(Ⅲ)的取值為,計(jì)算概率得到分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(Ⅰ),解得.所以該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率.(Ⅱ

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