湖南省學(xué)海大聯(lián)考2023年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合,如果圓錐的表面積與半球的表面積相等,那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是()A. B. C. D.2.若P是的充分不必要條件,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像,則的最小值為()A. B. C. D.4.已知,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),為圖象的對(duì)稱(chēng)中心,若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿(mǎn)足,則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是()A. B. C. D.6.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列通項(xiàng)公式為,則該數(shù)列是等差數(shù)列;②若直線(xiàn)上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等,則;③在中,“”是“”的必要不充分條件;④若,則的最大值為2.A.1 B.2 C.3 D.07.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.88.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.9.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.10.?dāng)?shù)列滿(mǎn)足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.11.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.12.在直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線(xiàn)x+my﹣1=0上存在點(diǎn)P,使得|PA|=2|PB|,則正實(shí)數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)_______.14.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,則的值為_(kāi)_______.15.拋物線(xiàn)上到其焦點(diǎn)距離為5的點(diǎn)有_______個(gè).16.一次考試后,某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為正數(shù),若把當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù),與原來(lái)的50個(gè)分?jǐn)?shù)一起,算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程以及曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)、曲線(xiàn)在第一象限交于兩點(diǎn),且,點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的面積.18.(12分)如圖,在棱長(zhǎng)為的正方形中,,分別為,邊上的中點(diǎn),現(xiàn)以為折痕將點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置,使得為直二面角.(1)證明:;(2)求與面所成角的正弦值.19.(12分)如圖,三棱錐中,,,,,.(1)求證:;(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.20.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說(shuō)明理由.21.(12分)設(shè)橢圓,直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),直線(xiàn)直線(xiàn),且直線(xiàn)分別與橢圓相交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn).(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且直線(xiàn)軸,求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線(xiàn)的斜率存在且不為0,四邊形為平行四邊形,求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷四邊形能否為矩形,說(shuō)明理由.22.(10分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中點(diǎn),AC,BD交于點(diǎn)O.(1)求證:OE∥平面PBC;(2)求三棱錐E﹣PBD的體積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

試題分析:通過(guò)逆否命題的同真同假,結(jié)合充要條件的判斷方法判定即可.由p是的充分不必要條件知“若p則”為真,“若則p”為假,根據(jù)互為逆否命題的等價(jià)性知,“若q則”為真,“若則q”為假,故選B.考點(diǎn):邏輯命題3、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到,此時(shí)與函數(shù)的圖象重合,則,即,,當(dāng)時(shí),取得最小值為,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵.4、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對(duì)比,即可求出結(jié)論.【詳解】由題知,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對(duì)比,屬于基礎(chǔ)題..5、A【解析】

結(jié)合已知可知,可求,進(jìn)而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿(mǎn)足,即,,,且,,,,,,當(dāng)時(shí),為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),而.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.6、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義,線(xiàn)面關(guān)系,余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可;【詳解】解:①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,可得為一次項(xiàng)系數(shù)),則該數(shù)列是等差數(shù)列,故①正確;②若直線(xiàn)上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等,則與可以相交或平行,故②錯(cuò)誤;③在中,,而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故“”可得“”,由“”可得“”,故“”是“”的充要條件,故③錯(cuò)誤;④若,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故④正確;綜上可得正確的有①④共2個(gè);故選:B【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷,主要是正弦定理的運(yùn)用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.7、B【解析】

先求出向量,的坐標(biāo),然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

先計(jì)算集合,再計(jì)算,最后計(jì)算.【詳解】解:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交,補(bǔ)混合運(yùn)算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類(lèi)題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無(wú)路可循.解答這類(lèi)題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.10、A【解析】分析:通過(guò)對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.11、C【解析】

根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.12、D【解析】

設(shè)點(diǎn),由,得關(guān)于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實(shí)數(shù)m的取值范圍,即求正實(shí)數(shù)m的最小值.【詳解】由題意,設(shè)點(diǎn).,即,整理得,則,解得或..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與方程,考查平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出,再利用共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可解得.【詳解】解:,,,,,,,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

設(shè)符合條件的點(diǎn),由拋物線(xiàn)的定義可得,即可求解.【詳解】設(shè)符合條件的點(diǎn),則,所以符合條件的點(diǎn)有2個(gè).故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義的應(yīng)用,考查拋物線(xiàn)的焦半徑.16、1【解析】

根據(jù)均值的定義計(jì)算.【詳解】由題意,∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查均值的概念,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)的極坐標(biāo)方程為,的直角坐標(biāo)方程為(2)【解析】

(1)先把曲線(xiàn)的參數(shù)方程消參后,轉(zhuǎn)化為普通方程,再利用求得極坐標(biāo)方程.將,化為,再利用求得曲線(xiàn)的普通方程.(2)設(shè)直線(xiàn)的極角,代入,得,將代入,得,由,得,即,從而求得,,從而求得,再利用求解.【詳解】(1)依題意,曲線(xiàn),即,故,即.因?yàn)?,故,即,?(2)將代入,得,將代入,得,由,得,得,解得,則.又,故,故的面積.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)的幾何意義,還考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.18、(1)證明見(jiàn)詳解;(2)【解析】

(1)在折疊前的正方形ABCD中,作出對(duì)角線(xiàn)AC,BD,由正方形性質(zhì)知,又//,則于點(diǎn)H,則由直二面角可知面,故.又,則面,故命題得證;(2)作出線(xiàn)面角,在直角三角形中求解該角的正弦值.【詳解】解:(1)證明:在正方形中,連結(jié)交于.因?yàn)?/,故可得,即又旋轉(zhuǎn)不改變上述垂直關(guān)系,且平面,面,又面,所以(2)因?yàn)闉橹倍娼?,故平面平?又其交線(xiàn)為,且平面,故可得底面,連結(jié),則即為與面所成角,連結(jié)交于,在中,,在中,.所以與面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面垂直的證明與性質(zhì),利用定義求線(xiàn)面角,屬于中檔題.19、(1)證明見(jiàn)詳解;(2)【解析】

(1)取中點(diǎn),根據(jù),利用線(xiàn)面垂直的判定定理,可得平面,最后可得結(jié)果.(2)利用建系,假設(shè)長(zhǎng)度,可得,以及平面的一個(gè)法向量,然后利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接,如圖由,所以由,平面所以平面,又平面所以(2)假設(shè),由,,.所以則,所以又,平面所以平面,所以,又,故建立空間直角坐標(biāo)系,如圖設(shè)平面的一個(gè)法向量為則令,所以則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直的應(yīng)用,還考查線(xiàn)面角,學(xué)會(huì)使用建系的方法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題,將幾何問(wèn)題代數(shù)化,化繁為簡(jiǎn),屬中檔題.20、(1);(2)不存在.【解析】

(1)由已知,利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求,利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為,由不等式的傳遞性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值為,而,故不存在.【詳解】(1)由,得,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).故,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為;(2)由(1)知,.由于,從而不存在,使得成立.【考點(diǎn)定位】基本不等式.21、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見(jiàn)解析;(Ⅲ)不能,證明見(jiàn)解析【解析】

(Ⅰ)計(jì)算得到故,,,,計(jì)算得到面積.(Ⅱ)設(shè)為,聯(lián)立方程得到,計(jì)算,同理,根據(jù)得到,得到證明.(Ⅲ)設(shè)中點(diǎn)為,根據(jù)點(diǎn)差法得到,同理,故,得到結(jié)論.【詳解】(Ⅰ),,故,,,.故四邊形的面積為.(Ⅱ)設(shè)為,則,故,設(shè),,故,,同理可得,,故,即,,故.(Ⅲ)設(shè)中點(diǎn)為,則,,相減得到,即,同理可得:的中點(diǎn),滿(mǎn)足,故,故四邊形不能為矩形.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)四邊形的面積,形狀,根據(jù)四邊形形狀求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.22、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)連接OE,利用三

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