湖南省雙峰縣一中2023屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù),前項和為,,且,則()A.128 B.65 C.64 D.632.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.3.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A. B. C. D.4.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.6.若,則的虛部是()A. B. C. D.7.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對于任意一個大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.98.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件9.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},則=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}10.已知為定義在上的奇函數(shù),若當(dāng)時,(為實數(shù)),則關(guān)于的不等式的解集是()A. B. C. D.11.已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為().A. B. C. D.12.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點從小到大依次記為,并記相應(yīng)的極大值為,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,,且,則的最小值為___________.14.某公園劃船收費標(biāo)準(zhǔn)如表:某班16名同學(xué)一起去該公園劃船,若每人劃船的時間均為1小時,每只租船必須坐滿,租船最低總費用為______元,租船的總費用共有_____種可能.15.已知實數(shù),且由的最大值是_________16.在中,點在邊上,且,設(shè),,則________(用,表示)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的焦點為,,離心率為,點P為橢圓C上一動點,且的面積最大值為,O為坐標(biāo)原點.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點,為橢圓C上的兩個動點,當(dāng)為多少時,點O到直線MN的距離為定值.18.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點,圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點,試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,時,在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)若,,,求證:當(dāng)時,.21.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面為菱形,.(1)求證:平面;(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,滿足條件.(1)求角;(2)若邊上的高為,求的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù),得到,即,由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列,然后再利用前n項和公式求.【詳解】因為,所以,所以,所以數(shù)列是等比數(shù)列,又因為,所以,.故選:D【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項和公式,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.2、A【解析】

化簡為,求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達(dá)式,利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得,問題得解?!驹斀狻亢瘮?shù)可化為:,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,又所得到的圖象關(guān)于軸對稱,所以,解得:,即:,又,所以.故選:A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題。3、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為,故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,以及古典概型及其概率的計算問題,其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù),利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項.【詳解】.設(shè)直線與相切于點,斜率為,所以切線方程為,化簡得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡得②.由①②對比系數(shù)得,化簡得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.5、A【解析】

首先求得時,的取值范圍.然后求得時,的單調(diào)性和零點,令,根據(jù)“時,的取值范圍”得到,利用零點存在性定理,求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時,.當(dāng)時,為增函數(shù),且,則是唯一零點.由于“當(dāng)時,.”,所以令,得,因為,,所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選:A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點,考查零點存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6、D【解析】

通過復(fù)數(shù)的乘除運算法則化簡求解復(fù)數(shù)為:的形式,即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算,復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

模擬程序運行,觀察變量值可得結(jié)論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時:,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu),解題時可模擬程序運行,觀察變量值,從而得出結(jié)論.8、B【解析】

先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.9、C【解析】

根據(jù)集合的并集、補集的概念,可得結(jié)果.【詳解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故選:C.【點睛】本題考查的是集合并集,補集的概念,屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值,然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意,得,得,所以當(dāng)時,.分析知,函數(shù)在上為增函數(shù).又,所以.又,所以,所以,故選A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).11、D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.考點:二項式系數(shù),二項式系數(shù)和.12、C【解析】

對此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知,當(dāng)時有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點的通項公式,且相應(yīng)極大值,分組求和即得【詳解】當(dāng)時,,顯然當(dāng)時有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個極值點又∵時,∴,,,…,均為其極值點∵函數(shù)不能在端點處取得極值∴,,∴對應(yīng)極值,,∴故選:C【點睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學(xué)生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由,先將變形為,運用基本不等式可得最小值,再求的最小值,運用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解:因為,,,且,所以因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,所以令,則,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以所以則所求最小值為故答案為:【點睛】此題考查基本不等式的運用:求最值,注意變形和滿足的條件:一正二定三相等,考查利用單調(diào)性求最值,考查化簡和運算能力,屬于中檔題.14、36010【解析】

列出所有租船的情況,分別計算出租金,由此能求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)租兩人船時,租金為:元,當(dāng)租四人船時,租金為:元,當(dāng)租1條四人船6條兩人船時,租金為:元,當(dāng)租2條四人船4條兩人船時,租金為:元,當(dāng)租3條四人船2條兩人船時,租金為:元,當(dāng)租1條六人船5條2人船時,租金為:元,當(dāng)租2條六人船2條2人船時,租金為:元,當(dāng)租1條六人船1條四人船3條2人船時,租金為:元,當(dāng)租1條六人船2條四人船1條2人船時,租金為:元,當(dāng)租2條六人船1條四人船時,租金為:元,綜上,租船最低總費用為360元,租船的總費用共有10種可能.故答案為:360,10.【點睛】本小題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查實際應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義,然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡得,又實數(shù),圖形為圓,如圖:,可得,則由幾何意義得,則,為求最大值則當(dāng)過點或點時取最小值,可得所以的最大值是【點睛】本題考查了二元最值問題,將其轉(zhuǎn)化為幾何意義,得到圓的方程及斜率問題,對要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡,然后求出最值問題,本題有一定難度。16、【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運算將轉(zhuǎn)化為用向量表示,即可得到結(jié)果.【詳解】在中,因為,所以,又因為,所以.故答案為:【點睛】本題主要考查三角形中向量的線性運算,關(guān)鍵是利用已知向量為基底,將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)當(dāng)=0時,點O到直線MN的距離為定值.【解析】

(1)的面積最大時,是短軸端點,由此可得,再由離心率及可得,從而得橢圓方程;(2)在直線斜率存在時,設(shè)其方程為,現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元()后應(yīng)用韋達(dá)定理得,注意,一是計算,二是計算原點到直線的距離,兩者比較可得結(jié)論.【詳解】(1)因為在橢圓上,當(dāng)是短軸端點時,到軸距離最大,此時面積最大,所以,由,解得,所以橢圓方程為.(2)在時,設(shè)直線方程為,原點到此直線的距離為,即,由,得,,,所以,,,所以當(dāng)時,,,為常數(shù).若,則,,,,,綜上所述,當(dāng)=0時,點O到直線MN的距離為定值.【點睛】本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查運算求解能力.解題方法是“設(shè)而不求”法.在直線與圓錐曲線相交時常用此法通過韋達(dá)定理聯(lián)系已知式與待求式.18、(1);(2)見解析.【解析】

(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計算A的坐標(biāo),計算切線與橢圓交點坐標(biāo),代入橢圓方程,計算參數(shù),即可.(II)分切線斜率存在與不存在討論,設(shè)出M,N的坐標(biāo),設(shè)出切線方程,結(jié)合圓心到切線距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得,∴點在橢圓上,∴,解得,∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過點且與圓相切的切線斜率不存在時,不妨設(shè)切線方程為,由(Ⅰ)知,,,∴.當(dāng)過點且與圓相切的切線斜率存在時,可設(shè)切線的方程為,,∴,即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得,∴,得.∵,∴,,∴.綜上所述,圓上任意一點處的切線交橢圓于點,都有.在中,由與相似得,為定值.【點睛】本道題考查了橢圓方程的求解,考查了直線與橢圓位置關(guān)系,考查了向量的坐標(biāo)運算,難度偏難.19、(1);(2)【解析】

(1)分類討論去絕對值號,即可求解;(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立,分別求函數(shù)與的最小值,根據(jù)能同時成立,可得的最小值,即可求解.【詳解】(1)①當(dāng)時,不等式可化為,得,無解;②當(dāng)-2≤x≤1時,不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當(dāng)x>1時,不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上,不等式的解集為(2)由題意知在R上恒成立,所以令,則當(dāng)時,又當(dāng)時,取得最小值,且又所以當(dāng)時,與同時取得最小值.所以所以,即實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法,分類討論,函數(shù)的最值,屬于中檔題.20、(1)(2)見解析【解析】

(1)在上單調(diào)遞減等價于在恒成立,分離參數(shù)即可解決.(2)先對求導(dǎo),化簡后根據(jù)零點存在性定理判斷唯一零點所在區(qū)間,構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式求解即可.【詳解】(1),時,,,∵在上單調(diào)遞減.∴,.令,,時,;時,,∴在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).∴,∴.∴的取值范圍為.(2)若,,時,,,令,顯然在上為增函數(shù).又,,

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