湖南省郴州市一中2022-2023學(xué)年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
湖南省郴州市一中2022-2023學(xué)年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析_第2頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.2.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)()A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則()A. B. C. D.4.已知點(diǎn),點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.45.已知命題:使成立.則為()A.均成立 B.均成立C.使成立 D.使成立6.寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.7.設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.9.的展開式中有理項(xiàng)有()A.項(xiàng) B.項(xiàng) C.項(xiàng) D.項(xiàng)10.若,則“”是“的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.12.已知函數(shù),則()A. B.1 C.-1 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.用數(shù)字、、、、、組成無重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù),其中相鄰兩個(gè)數(shù)字奇偶性不同的有_____個(gè).14.在數(shù)列中,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式_____.15.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),,是該拋物線上的兩點(diǎn),若,則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________.16.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,則的值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)團(tuán)購已成為時(shí)下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費(fèi)方式,不少商家同時(shí)加入多家團(tuán)購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站在市開展了團(tuán)購業(yè)務(wù),市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團(tuán)購網(wǎng)站在本市的開展情況,從本市已加入了團(tuán)購網(wǎng)站的商家中隨機(jī)地抽取了50家進(jìn)行調(diào)查,他們加入這三家團(tuán)購網(wǎng)站的情況如下圖所示.(1)從所調(diào)查的50家商家中任選兩家,求他們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率;(2)從所調(diào)查的50家商家中任取兩家,用表示這兩家商家參加的團(tuán)購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)將頻率視為概率,現(xiàn)從市隨機(jī)抽取3家已加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家,記其中恰好加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的商家數(shù)為,試求事件“”的概率.18.(12分)已知直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn),與圓相交于兩點(diǎn).(I)求與的關(guān)系式;(II)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.若當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,求橢圓的離心率.19.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點(diǎn)M在橢圓C上,求直線l的方程.20.(12分)如圖,已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),且離心率,過右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,記直線的斜率分別為,求證:為定值.21.(12分)△的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長.22.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1},求實(shí)數(shù)a的值;(2)證明:f(x).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對于向量問題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€(gè)向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡、整理.2、D【解析】

通過變形,通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象,故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,難度不大.3、C【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,求得其通項(xiàng)公式,由此求得.【詳解】由于,所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,第二項(xiàng)為,所以公比為.所以,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

如圖所示:過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于,交軸于,則,設(shè),,則,利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示:過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于,交軸于,則,設(shè),,則,當(dāng),即時(shí)等號成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、A【解析】試題分析:原命題為特稱命題,故其否定為全稱命題,即.考點(diǎn):全稱命題.6、B【解析】

根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

先把變形為,然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,求出,得到其坐標(biāo)可得答案.【詳解】解:由,得,所以,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限故選:D【點(diǎn)睛】此題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

所求的分母特征,利用變形構(gòu)造,再等價(jià)變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因?yàn)闈M足,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.9、B【解析】

由二項(xiàng)展開式定理求出通項(xiàng),求出的指數(shù)為整數(shù)時(shí)的個(gè)數(shù),即可求解.【詳解】,,當(dāng),,,時(shí),為有理項(xiàng),共項(xiàng).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式項(xiàng)的特征,熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

求得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令時(shí),可得項(xiàng)的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令,即,則項(xiàng)的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_式中項(xiàng)的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計(jì)算能力,難度較易.11、D【解析】

做出函數(shù)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個(gè)交點(diǎn),而函數(shù)在上有3個(gè)交點(diǎn),則在上有4個(gè)不同的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),;當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),,可知當(dāng)時(shí),直線與的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn),即方程,在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本思想,屬于中檔題.12、A【解析】

由函數(shù),求得,進(jìn)而求得的值,得到答案.【詳解】由題意函數(shù),則,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題,其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式,代入求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

對首位數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】①若首位為奇數(shù),則第一、三、五個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù),其余三個(gè)數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù),此時(shí),符號條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè);②若首位數(shù)為偶數(shù),則首位數(shù)不能為,可排在第三或第五個(gè)數(shù)位上,第二、四、六個(gè)數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù),此時(shí),符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).綜上所述,符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的排列問題,要注意首位數(shù)字的分類討論,考查分步乘法計(jì)數(shù)和分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.14、【解析】

由題意可得,又,數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,分別求出,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),則為奇數(shù),∴,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式,解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出,從而確定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,求出通項(xiàng)公式后再由已知求出偶數(shù)項(xiàng),要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式.15、2【解析】

運(yùn)用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離,然后求解結(jié)果.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,則拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè),,則,所以,則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離,需要熟練掌握定義,并能靈活運(yùn)用,本題較為基礎(chǔ).16、【解析】

運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可解得.【詳解】解:,,,,,,,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)從而的分布列為012;(3).【解析】

(1)運(yùn)用概率的計(jì)算公式求概率分布,再運(yùn)用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解;(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用貝努力公式進(jìn)行分析求解:(1)記所選取額兩家商家加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量相等為事件,則,所以他們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率為.(2)由題,知的可能取值分別為0,1,2,,,從而的分布列為012.(3)所調(diào)查的50家商家中加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的商家有25家,將頻率視為概率,則從市中任取一家加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家,他同時(shí)加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的概率為,所以,所以事件“”的概率為.18、(Ⅰ)(II)【解析】

(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)判別式等于0,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,可得的面積是的面積的兩倍,再由當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,可得,進(jìn)而可得原點(diǎn)到直線的距離,再由點(diǎn)到直線的距離公式,以及(I)的結(jié)果,即可求解.【詳解】(I)由,得,則化簡整理,得;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,故的面積是的面積的兩倍.所以當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,此時(shí),從而原點(diǎn)到直線的距離,又,故.再由(I),得,則.又,故,即,從而,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,以及橢圓的簡單性質(zhì),通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等求解,屬于中檔試題.19、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)以及列方程,由此求得,進(jìn)而求得橢圓的方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo),將的坐標(biāo)代入橢圓方程,化簡后可求得直線的斜率,由此求得直線的方程.【詳解】(1)由橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上,所以,且解得,所以橢圓的方程為.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,設(shè),由消去得,所以,由已知得,所以,由于點(diǎn)都在橢圓上,所以,展開有,又,所以,經(jīng)檢驗(yàn)滿足,故直線的方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(1);(2)詳見解析.【解析】

(1)由橢圓離心率、系數(shù)關(guān)系和已知點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建方程組,求得,代入標(biāo)準(zhǔn)方程中即可;(2)依題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線的方程為,設(shè),,通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程化簡整理和中點(diǎn)的坐標(biāo)表示用含k的表達(dá)式表示,,進(jìn)而表示;由韋達(dá)定理表示根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)而表示用含k的表達(dá)式表示,最后做比即得證.【詳解】(1)設(shè)橢圓的焦距為,則,即,所以.依題意,,即,解得,所以,.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明:依題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線的方程為,設(shè),.與橢圓聯(lián)立整理得,故所以,,所以.又,所以為定值,得證.【點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,還考查了橢圓中的定值問題,屬于較難題.21、(I);(II).【解析】

試題分析:(I)由已知可得;(II)依題意得:的周長為.試題解析:(I)∵,∴.∴,∴,∴,∴,∴.(II)依題意得:∴,∴,∴,∴,∴的周長為.考點(diǎn):1、解三角形;2、三角恒等變換.22、(1)a=1;(2)見解析【解析】

(1)由題意可得|x﹣a|

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