華中科技大學(xué)大學(xué)CAD技術(shù)及應(yīng)用第三部分曲線曲面基礎(chǔ)

曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法工業(yè)產(chǎn)品的形狀大致可分為兩類：第一類是僅由初等解析曲面(例如平面、圓柱面、圓錐面、球面、圓環(huán)面等)組成，大多數(shù)機械零件屬于這一類，可以用畫法幾何與機械制圖的方法完全清楚表達和傳遞所包含的全部形狀信息。第二類是不能由初等解析曲面組成，而以復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面即所謂自由型曲線曲面組成，例如飛機、汽車、船舶的外形零件。這一類形狀單純用畫法幾何與機械制圖是不能表達清楚的。自由曲線和曲面因不能由畫法幾何與機械制圖方法表達清楚，成為工程師們首要解決的問題。人們一直在尋求用數(shù)學(xué)方法唯一定義自由曲線和曲面的形狀。曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法曲面造型(SurfaceModeling)是計算機輔助幾何設(shè)計(ComputerAidedGeometricDesign,CAGD)和計算機圖形學(xué)的一項重要內(nèi)容，主要研究在計算機圖象系統(tǒng)的環(huán)境下對曲線曲面的表示、設(shè)計、顯示和分析。它起源于汽車、飛機、船舶、葉輪等的外形放樣工藝，由Coons、Bezier等大師于二十世紀(jì)六十年代奠定其理論基礎(chǔ)。經(jīng)過四十多年的發(fā)展，曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理B樣條曲面(RationalB-splineSurface)為基礎(chǔ)的參數(shù)化特征設(shè)計和隱式代數(shù)曲面(ImplicitAlgebraicSurface)表示這兩類方法為主體，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)這二種手段為骨架的幾何理論體系。曲線曲面發(fā)展歷程1963年美國波音飛機公司的佛格森（Ferguson）最早引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線和由四角點的位置矢量、兩個方向的切矢定義的佛格森雙三次曲面片。Note:C1continuous,“planarpot”1964年，美國麻省理工學(xué)院的孔斯（Coons）用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。

Note:C2continuous,Flexibleshapecontrol1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bezier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。Note:C2continuous,Moreflexibleshapecontrolwithseveralcontrolpoints.1974年，美國通用汽車公司的戈登（Gorden）和里森費爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線和曲面。

u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）titi＋3ti＋1ti＋2ti＋4ti＋5ti＋6ti＋71975年，美國錫拉丘茲（Syracuse）大學(xué)的佛斯普里爾（Versprill）提出了有理B樣條方法。80年代后期皮格爾（Piegl）和蒂勒（Tiller）將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條(NURBS)方法，并已成為當(dāng)前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)。非均勻有理B樣條（NURBS）成為當(dāng)前大多數(shù)商用CAD軟件系統(tǒng)的內(nèi)部表達技術(shù)。SolidEdge

CATIAUGNXPro/EInventor曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法解析曲面（代數(shù)曲面）代數(shù)曲面在造型系統(tǒng)中常見，但遠遠不能滿足復(fù)雜曲面造型的要求適合構(gòu)造簡單曲面，不能構(gòu)造自由曲面不同類型曲面拼接連續(xù)性難以保證不同曲面求交公式不一，程序?qū)崿F(xiàn)量大工程設(shè)計交互性差因此，CAD系統(tǒng)中除簡單代數(shù)曲面外，必須具有強大的自由曲面造型能力Bezier、B樣條、BURBS曲面在商用CAD系統(tǒng)中常見。曲線曲面的參數(shù)表示非參數(shù)表示有顯式和隱式之分顯式表示:如曲面方程z=f(x，y)，式中每個z值對應(yīng)唯一的x、y值，該表示計算非常方便，但無法描述多值或封閉面，如球。

隱式表示:如曲面f(x,y，z)=0，這種表示不便于由已知的參量x，y計算z值-1=0曲線參數(shù)表示空間曲線上一點p的每個坐標(biāo)被表示成參數(shù)u的函數(shù)：x=x(u),y=y(u),z=z(u)。合起來，曲線被表示為參數(shù)u的矢函數(shù)：p(u)=[xyz]=[x(u)y(u)z(u)]

最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為：P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];參數(shù)表示優(yōu)點易于滿足幾何不變性的要求，可以對參數(shù)方程直接進行幾何變換，節(jié)省計算量。曲線曲面表示的幾何不變性是指它們不依賴于坐標(biāo)系的選擇或者說在旋轉(zhuǎn)和平移變換下不變的性質(zhì)有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。例如：一條二維三次曲線的顯式表示為：只有四個系數(shù)控制曲線的形狀。而采用二維三次曲線的參數(shù)表達式為：則有8個系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。易于規(guī)定曲線、曲面的范圍。易于處理多值問題和斜率無窮大的情形。易于計算曲線、曲面上的點。而隱式方程需求解非線性或超越方程，另外，求導(dǎo)、等距的計算也被簡化；參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。這種變量分離的特點使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。有關(guān)基本概念介紹ParametriccurveTangentBinormalNormalCurvatureNote:FirstderivativemaynotbeperpendiculartothesecondderivativeP(u)P〞(u)插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。常用插值方法有線性插值、拋物線插值等。逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。擬合：插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合（fitting）。有關(guān)基本概念介紹曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法Bezier曲線給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier參數(shù)曲線上各點坐標(biāo)的插值公式是：

其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)，也稱為調(diào)和函數(shù)：

t[0,1]Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)1）正性2）端點性質(zhì)3）權(quán)性

4）對稱性5）遞推特性其計算過程表示為：高次Bernstein基函數(shù)可由兩個低一次的Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成三次Bezier曲線例如，由P0、P1、P2、P3四個控制點構(gòu)成的控制多邊形來構(gòu)造則三次Bezier曲線表示為：此時調(diào)和函數(shù)為：

上式展開表示為：Bezier曲線性質(zhì)1)端點性質(zhì)曲線過控制頂點的首末頂點。將u＝0和1分別代入表達式p(u)中可知p(0)=P0,p(1)=Pn對于三次Bezier曲線，p(1)=P3。

如圖為三次Bezier曲線：2)切矢性質(zhì)曲線在首末兩點相切于多邊形的起、止邊。對三次Bezier曲線求一階導(dǎo)數(shù):

即：P’(0)=n(P1-P0)，P’(1)=n(Pn-Pn-1)4)凸包性即Bezier曲線不會越出特征多邊形的頂點所圍成的凸包3)對稱性

將控制頂點反序仍可得到同樣形狀的曲線。Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q2Q3三次Bezier曲線示例三次Bezier曲線的計算及繪制在參數(shù)空間t∈[0,1]進行均勻插值，計算對應(yīng)的坐標(biāo)點，然后連接成線，這條線就是折線逼近的Bezier曲線

編程實現(xiàn)：

也可寫成矩陣表達式，式中若求PX（t）的值，則取Pi的x坐標(biāo)進行計算，同理求Py（t）、Pz（t）的值，具體如下：

Px（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0xP1xP2xP3x]TPy（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0yP1yP2yP3y]TPz（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0zP1zP2zP3z]T注意：上式基函數(shù)的計算僅需一次，不必三次。Bezier曲線的繪制：例如利用上面的計算方法可分別求出t＝0.0，0.05,0.10,0.15,……,0.95,1.0時的曲線上的點，依次連接相鄰兩點為直線段，即可得近似的曲線圖形。Bezier曲線幾何作圖與分割特性，

給定參數(shù)t（t[0,1]），就把定義域[0,1]分成長度為t:(1-t)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點就是第一級遞推生成的中間頂點，對這些中間頂點構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點。重復(fù)進行下去，直到n級遞推得到一個中間頂點P0n即為所求曲線上的點P(t)。例如：對三次Bezier曲線（給定參數(shù)域t[0,1]）上t＝1/3的點。把定義域分成長度為1/3:(1-1/3)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點就是第一級遞推生成的中間頂點P01、P11、P21，對這些中間頂點構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點P02、P12。重復(fù)進行下去，直到第3級遞推得到一個中間頂點P03，即為所求曲線上的點P（t）。另外，這一算法隱含說明任一Bezier曲線均可被分割為兩段Bezier曲線。第一段由P0、P01、P02、P03確定，參數(shù)空間為[0,1/3];第二段P03、P12、P21、P3確定，參數(shù)空間為[1/3,1],分割后的曲線形狀保持不變。如圖所示。

Bezier曲線拼接，

工程實際中存在許多復(fù)雜形狀的曲線或曲面．不可能用一條Bezier曲線擬合出復(fù)雜的曲線，但可采用分段Bezier曲線經(jīng)拼接后擬合實際中存在的復(fù)雜曲線。工程應(yīng)用中，希望各段曲線在連接處光滑，即切矢連續(xù)(一階幾何連續(xù))或曲率連續(xù)(二階幾何連續(xù))。這里僅討論切矢連續(xù)的問題。，

下圖所示為兩段三次Bezier曲線的一階連續(xù)拼接：Q1’由圖中可以看出，Q1’的移動只要滿足共線要求即可滿足二曲線的切矢光滑拼接（即一階幾何連續(xù)）而不需滿足P’（1）＝Q’（0）（即一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）也就是說一階幾何連續(xù)比一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)限制更寬松，也能滿足光滑連續(xù)的工程要求，這是參數(shù)表達的優(yōu)勢之一。Bezier曲線的不足Bezier曲線有兩點不足：一是特征多邊形頂點數(shù)決定了Bezier曲線的階次，n很大時，特征多邊形對形狀的控制將減弱。二是Bezier曲線不能作局部修改，改變?nèi)我豢刂泣c將波及整條曲線三是繪制復(fù)雜曲線需要拼接，比較繁瑣。因此發(fā)展了B樣條曲線1972年Gordon等用B樣條基代替Bernstein基函數(shù)，從而改進上述缺點。給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier曲線定義為：其中Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)：

Bezier曲面的定義展開上式得：P(0.7,0.6)xyzovu10100.60.7Bezier曲面參數(shù)空間和三維歐式空間的映射關(guān)系Bezier曲面的特性1）2）事實上，沿Bezier曲面任何等參數(shù)的截線均為一Bezier曲線。顯然，固定參數(shù)v，對參變量u而言是一簇Bezier曲線；固定參數(shù)u，對參變量v而言也是一簇Bezier曲線。vu1010xyzo3）4)其它特性與Bezier曲線類似：Bezier曲面的計算與繪制Bezier曲面的拼接，即兩曲面的首末控制點相同。A）G0連續(xù)B）G1連續(xù)最簡單直接的方法為：，即有公共切平面為了實現(xiàn)多張曲面拼接，需要更多的自由度和更為寬松的條件才可能實現(xiàn)。為實現(xiàn)這一目標(biāo)往往需要更高階的曲面，對低階曲面可通過升階方法提高階次。特征多邊形頂點數(shù)決定了它的階次數(shù)，當(dāng)n較大時，不僅計算量增大，穩(wěn)定性降低，且控制頂點對曲線的形狀控制減弱；不具有局部性，即修改一控制點對曲線產(chǎn)生全局性影響。1972年Gordon等用B樣條基代替Bernstein基函數(shù)，從而改進上述缺點。Bezier曲面的不足曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法均勻三次B樣條曲線由于B樣條曲線比較復(fù)雜，在此以均勻三次B樣條為例進行分析定義：空間n+1個控制頂點Pi（i=0，1，……，n）可構(gòu)造n－2段三次（k＝3，四階）均勻B樣條曲線段，每相鄰四個點可定義一曲線段Pi（u）（i=1，……，n－2）

Pi＋4Pi＋5Moresegmentstoaddlocalcontrol.Howtorepres.如任意四個頂點Pi、Pi+1、Pi+2、Pi+3作為特征多邊形構(gòu)造的均勻三次B樣條曲線段的方程Pi(u)可表達式為：式中：u∈[0,1]從定義式中可以看出，上述定義和三次Bezier曲線類似，只是基函數(shù)略有不同,Buthasthesimilarprogramasbeziercurves均勻三次B樣條曲線的程序?qū)崿F(xiàn)Asbeziercurves,B-splinecurvesalsocanbedefinedinageometricway均勻三次B樣條曲線的幾何定義由前面可導(dǎo)出如下公式：()()()()()3i2i1ii1i3ii3i2i1iiP2PP1pPP211pP4PP611p+++++++++-=-=++=&&&

曲線起點位于以PiPi+1和Pi+1Pi+2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線的1/6處起點的切矢與Pi+2Pi平行，模為||Pi+2-Pi||/2起點的二階導(dǎo)矢是以PiPi+1和Pi+1Pi+2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線方向曲線段末點的情形與上述三點類似，只是向前推移一個頂點。

Betterinternalcontinuous(C2),Inbetweensegments由前面的推導(dǎo)可知，第一段曲線的末點與第二曲線的首點滿足滿足二階函數(shù)連續(xù)。依次類推，各曲線段的末點與下一個曲線段的首點均滿足滿足二階函數(shù)連續(xù)，這是B樣條曲線的優(yōu)勢之一因此采用B樣條曲線直接能夠構(gòu)造光滑的復(fù)雜曲線Pi＋4Pi＋5ThegeometricdefinitioncanbeusedtodrawaB-splinecurve均勻三次B樣條曲線的幾何作圖根據(jù)B樣條曲線起點和終點的位置、起點和終點的切矢方向即可近似的幾何作圖。四點共線二重頂點三重頂點Fromdefinitionsofbi-cubicB-spline,wecanfindmoregeometricproperties均勻三次B樣條曲線性質(zhì)1.對稱性：將控制頂點反序仍可得到同樣形狀的曲線。Q0Q4Q5Q8Q1,

Q2,Q3Q6,

Q7B樣條曲線也必須滿足幾何變換不變性，還具有：2.凸包性：

即B樣條曲線不越出特征多邊形頂點所圍成的凸包（如圖中陰影所示）(Unionofconvexhullofeachsegment)Pi＋4Pi＋5B樣條曲線具有局部性質(zhì)對均勻三次B樣條曲線任意段修改時，只被相鄰的四個頂點控制，與其它的控制點無關(guān)。換句話說，每段k次B樣條曲線只涉及k＋1個基函數(shù)，并由k＋1個頂點所定義。

如圖，當(dāng)修改P4時，只影響P1至P7之間的四條樣條段(A至B)，對其它段則不產(chǎn)生影響。這一特點對曲線的設(shè)計和修改非常有利。

P0P1P2P3P4P4P5P6P7P8連續(xù)性三次B樣條曲線段連接處具有二階函數(shù)連續(xù)性（即C2連續(xù)性）。一般來說，k次B樣條曲線具有k－1階函數(shù)連續(xù)性（即Ck－1）。由前面的作圖過程可知，當(dāng)出現(xiàn)重復(fù)控制頂點時，曲線幾何連續(xù)性可能下降（但函數(shù)導(dǎo)數(shù)仍連續(xù)），甚至產(chǎn)生尖點。反過來說明：雖然k次B樣條曲線具有k－1階函數(shù)連續(xù)性。但曲線仍然可能退化為尖點、直線段。（只要合理利用控制點的位置）5、幾何尖點、直線等特征的表達性質(zhì)4的特點說明，只要靈活選用控制點的位置，可以獲得特殊要求的曲線段，如：直線段、曲線段、尖點等。Q0Q4Q5Q8Q1,

Q2,Q3Q6,

Q7正是這種靈活性，使得B樣條方法成為CAD系統(tǒng)的主要描述手段。InCADsystem,weacctuallydefineaB-splinecurvethroughaorderedpoints,(notcontrolpoints)均勻三次B樣條曲線的反算由：Pi＋1(0)=(Bi+4Bi+1+Bi+2)/6(i=0,1,……n-2)Pi＋1(1)=(Bi+1+4Bi+2+Bi+3)/6得：PiP1Pn-1Pi+1P1′Pn-1′Bi+4Bi+1+Bi+2=6Pi＋1(i=0,1,……n-2)Bn-2+4Bn-1+Bn=6Pn-1B0+4B1+B2=6P1解方程對于開曲線，則首末點邊界切矢可由用戶隨意交互給定（通常取默認(rèn)值）對于封閉曲線，則首末的位置相同，且邊界切矢方向相同邊界條件補充時應(yīng)注意：Actually,ThereisamoregeneraldefinitionofB-splinecurvesB樣條曲線定義

n+1個控制點Pi(i=0,1,…,n)構(gòu)成特征多邊形的頂點，k+1階(k次)B樣條曲線的表達式是：其中Ni,k(u)是調(diào)和函數(shù)，也稱基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為：參數(shù)u取值范圍：【uk－1，un＋1】*ThecoreofB-splineistheknotvector式中：U＝[u0,u1,……,un+k,un+k+1]稱為B樣條基函數(shù)的節(jié)點向量，ui為節(jié)點值，且應(yīng)滿足ui

ui＋1，即節(jié)點值應(yīng)滿足有序遞增（允許有重節(jié)點）。對于B樣條基函數(shù)例如：K＝4(4次5階)，節(jié)點向量為[0000011111]的B樣條曲線的基函數(shù)如右圖。TheknotvectorcanbeusedtoclassifytheB-splinesun+k+1u0u1un+kuiuiui+1u對B樣條曲線，當(dāng)節(jié)點矢量出現(xiàn)重復(fù)節(jié)點時，在其重節(jié)點處曲線連續(xù)性將逐次下降。如當(dāng)在P2處為二重節(jié)點時，連接處為一階連續(xù)，而當(dāng)P2為三重節(jié)點時，導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，此時將出現(xiàn)尖點。01234n-kn-k+1Bi-cubicuniformB-splinecanbegotfromgeneralB-splinedefinitionp0p1p2p3p4p5p6對B樣條基函數(shù)展開，并作變量替換，則可得均勻三次B樣條基函數(shù)：式中t＝[0,1]u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）uiui＋3ui＋1ui＋2ui＋4ui＋5ui＋6ui＋7如均勻三次B樣條曲線其節(jié)點矢量等距分布(即ui＋1－ui＝1，k＝3)，其基函數(shù)及節(jié)點示意圖如下：AbeziercurvecanalsobegotfromgeneralB-splinedefinition若三次B樣條曲線控制點

＝4，次數(shù)k＝3，且節(jié)點矢量u＝[0，0，0，0，1，1，1，1]，此時三次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為三次Bezier曲線。同樣，若k次B樣條曲線節(jié)點矢量u＝[0,…,0，1,…,1]，此時首末k＋1重節(jié)點分別為0和1，則k次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為k次Bezier曲線。因此，三次均勻B樣條和Bezier都是B樣條的特例，或者說三次均勻B樣條和Bezier都可用B樣條統(tǒng)一表達*一般B樣條曲線也具有均勻B樣條曲線的特性對均勻B樣條曲線，重復(fù)控制點使曲線幾何連續(xù)性降低。6、造型的靈活性有關(guān)說明：5、連續(xù)性3、局部性2、凸包性1、對稱性一般B樣條曲線也具有均勻B樣條曲線的特性。即：4、幾何變換不變性Therefore,aB-splinecurvealsohasthesamegoodgeometricpropertiesasaBeziercurve.B樣條曲線與Bezier曲線的比較1、Bezier曲線的基函數(shù)的次數(shù)等于控制頂點數(shù)減一，而B樣條曲線的基函數(shù)的次數(shù)與控制點數(shù)無關(guān)，即可用任意多的控制點來擬合三次均勻B樣條曲線。原因是B樣條曲線是分段擬合的，這樣構(gòu)造復(fù)雜曲線更方便。2、Bezier曲線的起點和終點正好是控制多邊形的首末控制點，控制形狀直觀方便。而B樣條曲線不經(jīng)過控制多邊形頂點。3、為使B樣條曲線經(jīng)過控制多邊形首末控制頂點，使之具有Bezier類似的優(yōu)點。實際應(yīng)用中常引入準(zhǔn)均勻B樣條，即在節(jié)點矢量中兩端節(jié)點具有k＋1個重復(fù)度。例如：當(dāng)控制點數(shù)

＝6，次數(shù)k＝3的準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線的節(jié)點矢量可定義為u＝[0，0，0，0，1，2，3，3，3，3]。4、Bezier曲線和B樣條曲線的關(guān)系：若三次B樣條曲線n＝4，k＝3的節(jié)點矢量u＝[0，0，0，0，1，1，1，1]，此時三次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為三次Bezier曲線。

因此，可以說Bezier曲線僅是B樣條曲線的特例，也就是說B樣條表達能力完全覆蓋了Bezier表達。5、B樣條曲線比Bezier曲線具有更緊致的凸包。

因此，B樣條方法的凸包性比Bezier方法優(yōu)越，使曲線更加逼近特征多邊形。

因此，B樣條曲線比Bezier曲線更優(yōu)越，應(yīng)用更廣泛,B-splinesufacesalsodo類似Bezier曲面，將均勻三次B樣條曲線推廣可得到均勻雙三次B樣條曲面的定義如下：B樣條曲面的定義uvAbi-cubicuniformB-splinesurfacecanbeextendedtomultiplepatches(7-3)x(4-1)=4uv(m-3)x(n-3)B-splinesurfaceshaveidenticalpropertiesasB-splinecurvesB樣條曲面的性質(zhì)(Boundarypoints),3x3=9(Boundarycurves),3lines(Boundarytangents),3lines(Boundarysecondderivatives),3lineswecandrawaB-splinesurfaceasaBeziersurface(discreterectanglecurvedpatches)由此可見，B樣條方法能夠很方便繪制復(fù)雜曲面，并比Bezier方法更靈活，因此應(yīng)用更廣泛。B樣條曲面的計算與繪制先沿等參數(shù)方向離散成網(wǎng)格點，然后依次連線繪制InCADsystem,weacctuallydefineaB-splinesurfacethroughagrideddistributionpoints,(notcontrolpoints)B樣條曲面的反算借鑒B樣條曲線的反算思想，先對給定型值點進行u向反算，反算得到一組控制點，再以此控制點為型值點進行v向反算，具體步驟如下：a）以U向截面數(shù)據(jù)點（型值點）及端點u向切矢，應(yīng)用B樣條曲線反算，構(gòu)造出各截面曲線，求出它們的B樣條控制頂點：Controlpointsalongudirectionb）仍以U向視首末截面數(shù)據(jù)點處v向切矢為“位置矢量”表示的“數(shù)據(jù)點”，又視四角角點扭矢為“端點v向切矢”，應(yīng)用曲線反算，求出定義首末u參數(shù)邊界(即首末截面曲線)的跨界切矢曲線的控制頂點。c）然后固定指標(biāo)i，以第一步求出的n＋1條截面曲線的控制頂點陣列中的第i排即：

為“數(shù)據(jù)點”，以上一

步求出的跨界切矢曲線的第i個頂點為”端點切矢”，在節(jié)點矢量V上應(yīng)用曲線反算，分別求出m＋3條插值曲線即控制曲線的B樣條控制頂點

三次B樣條插值曲面的控制頂點。，即為所求雙Crosstangentcomputationfortwouboundariesbyfourvtangentsandfourtwistvectors.VcontrolpointsbasedoncomputedvectorsanddatapointsAsstatedearlier,B-splinecannotaccutalyrepresentaanalyticcurvesuchasacircle.曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法NURBS曲線式中：NURBS稱非均勻有理B樣條NURBS仍采用B樣條基函數(shù)，但采用有理表達，增加權(quán)值控制Byvaryingaweight,wecanseethevariationofaNURBScurveInsummary,NURBScanrepresentfree-formcurves,analyticcurves.非均勻有理B樣條（NURBS

）具有B樣條的所有性質(zhì)，但比B樣條更強大的表達能力能表達Bezier

能表達B樣條能表達多項式代數(shù)曲線能精確表達圓錐曲線直線圓、圓弧橢圓拋物線雙曲線因此NURBS在CAD系統(tǒng)中應(yīng)用最廣，已經(jīng)成為STEP標(biāo)準(zhǔn)中的一部分AsB-splinesurfaces,NURBSsurfacesareeasilyextendedfromNURBScurvesdefinitionNURBS曲面的定義NURBSisnottheendofrepresentationofshapes追求內(nèi)部表達模型的統(tǒng)一是CAGD領(lǐng)域?qū)W者們的重要目標(biāo)之一，NURBS不是終點，學(xué)者們?nèi)栽谂Α＃壳唉聵訔l表達能力更強，但控制參數(shù)更多）Torepresentcomplexshapes,thereareotherkindsofrepresentationsinCG,CAGDcommunity.曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法1.quadricandsuper-quadric二次曲面（quadric）是最基本的曲面表達：如球面、錐面、環(huán)面、拋物面、雙曲面等；其特點為表達簡單，計算量小，尤其是求交運算容易獲得其解析解，因此商用系統(tǒng)中廣泛采用。

Quadricsurface

superquadricsuperquadrictoroidssuperquadricellipsoidssuperquadric曲面在商用CAD系統(tǒng)應(yīng)用相對較少，但在動畫軟件中常用

2．隱式曲面Implicit

Surface隱式曲面是元球(metaball)的更一般形式，它在表現(xiàn)人體的肌肉、水滴、云、樹等物體的造型和動畫方面有很大的優(yōu)勢,隱式曲面造型目前尚在發(fā)展和完善階段。3.偏微分方程（PDE）曲面PDE方法使用一組橢圓偏微分方程構(gòu)造曲面，曲面的形狀由所選擇的偏微分方程和給定的邊界條件確定。4.等距曲面（Offset）

F（u，v）＝S（u，v）+d

NS（u，v）

5.細(xì)分曲面

Morecomplexshaperepresentationthroughsurfacesintersection曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法

前面我們介紹的各種解析曲面、Bezier曲面、B樣條曲面及NURBS曲面，其生成的曲面比較規(guī)則。(Rectangle)而實際工程中會有各種不規(guī)則的曲面，很多形體的表面也都是由不規(guī)則的曲面封閉包圍而成。這些不規(guī)則的曲面往往是由規(guī)則曲面裁剪而成，裁剪操作的關(guān)鍵在于曲面的求交，如圖：SurfacesIntersection當(dāng)前的CAD系統(tǒng)，大多采用精確的邊界表示模型。在這種表示法中，零件形體的邊界元素和某類幾何元素相對應(yīng)，它們可以是直線、圓（圓?。⒍吻€、Bezier曲線、B樣條、NURBS曲線等，也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面、B樣條、NURBS曲面等，求交情況十分復(fù)雜。在一個典型的CAD系統(tǒng)中，用到的幾何元素通常有25種，為了建立一個通用的求交函數(shù)庫，所要完成的求交函數(shù)多達＋25＝325種！一種好的思想是將幾何元素進行歸類，利用同一元素之間的共性來研究求交算法。

SurfacesIntersection

基本的求交算法(point-,curve-)：由于計算機內(nèi)浮點數(shù)有誤差，求交計算必須引進容差。假定容差為e，則點被看成是半徑為e的球，線被看成是半徑為e的圓管，面被看成是厚度為2e的薄板。點于其它幾何元素的求交比較簡單，計算兩個點是否相交，實際上是判斷兩個點是否重合，判斷點和線（或面）是否相交，實際上是判斷點是否在線（或面）上。線與線的求交：有二次曲線與二次曲線、二次曲線與自由曲線及自由曲線與自由曲線求交三種。線與面的求交：有二次曲線與二次曲面、二次曲線與自由曲面、自由曲線與二次曲面及自由曲線與自由曲面求交四種。Surfaceintersectionalgorithmisthemostcomplexone

在幾何元素之間的求交算法中，曲面與曲面之間的求交是最為復(fù)雜的一種，比其它元素的求交要復(fù)雜得多，曲面與曲面求交的基本方法主要有代數(shù)方法、幾何方法、離散方法和跟蹤方法四種。

1．代數(shù)方法代數(shù)方法是利用代數(shù)運算，特別是求解代數(shù)方程的方法求出曲面的交線。對于一些簡單的曲面求交，如平面和平面，平面和二次曲面，可以直接通過曲面方程求解計算交線，對于某些復(fù)雜的情況，則需要進行分析和化簡的運算后求解。

2．幾何方法

幾何方法求交是通過對參與求交的曲面的形狀大小、相互位置以及方向等進行計算和判斷，識別出交線的形狀和類型，從而可精確求出交線。

幾何求交適應(yīng)性不是很廣，一般僅用于平面以及二次曲面等簡單曲面的求交。(機械制圖畫法幾何中相貫線作圖是幾何求交法)

3．離散方法

離散方法求交是利用分割的方法，將曲面不斷離散成較小的三角形平面片來逼近，然后用這些簡單面片求交得一系列交線段，連接這些交線段即得到精確交線的近似結(jié)果。離散求交一般過程：1）用包圍盒作分離性檢查排除無交區(qū)域；2）根據(jù)平坦性檢查判斷是否終止離散過程；3）連接求出的交線段作為求交結(jié)果。然而離散法求出的交線逼近精度不高。如果要求的精度較高，需要增加離散層數(shù)。這將大大增加數(shù)據(jù)儲存和計算量。

離散求交的難點在于求交精度不高，難以構(gòu)成