第10章氣體動理論

第十章氣體動理論自然界中一切宏觀物體，無論是氣體、液體還是固體，都是由大量分子或原子構(gòu)成的。阿伏伽德羅常數(shù)(NA)：

1mol的任何物質(zhì)含有的分子數(shù)。單位體積內(nèi)的分子數(shù)物質(zhì)密度ρ（kg·m－3）摩爾質(zhì)量M（kg·mol－1）分子質(zhì)量m0（kg）分子數(shù)密度n（m-3）鐵7.8×10356×10-39.3×10-268.4×1028水10318×10-33.0×10-263.3×1028氮1.1528×10-34.6×10-262.5×1025§10-1氣體動理論的基本概念10-1-1分子動理論的基本觀點分子動理論的基本觀點：1.分子與分子之間存在著一定的距離2.分子間存在相互作用力rr0Of引力斥力3.構(gòu)成物質(zhì)的分子處于永恒的、雜亂無章的運動之中。布朗運動10-1-2分子熱運動與統(tǒng)計規(guī)律氣體分子動理論是從物質(zhì)的微觀分子熱運動出發(fā)，去研究氣體熱現(xiàn)象的理論。1.微觀量：分子的質(zhì)量、速度、動量、能量等。2.宏觀量：溫度、壓強、體積等。在宏觀上不能直接進行測量和觀察。在宏觀上能夠直接進行測量和觀察。3.宏觀量與微觀量的關(guān)系：

在實驗中，所測量到的宏觀量只是大量分子熱運動的統(tǒng)計平均值。

氣體動理論的基本觀點：

每個分子的運動遵從力學(xué)規(guī)律，而大量分子的熱運動則遵從統(tǒng)計規(guī)律。統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:（1）只對大量偶然的事件才有意義.（2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變).（3）總是伴隨著漲落.加爾頓板實驗10-1-3理想氣體的微觀模型理想氣體的微觀模型：1.分子當(dāng)作質(zhì)點，不占體積（因為分子的線度<<分子間的平均距離）。2.除了分子碰撞的瞬間外，忽略分子間的相互作用。3.彈性碰撞（動能不變，氣體分子在運動中遵守經(jīng)典力學(xué)規(guī)律）。理想氣體分子是自由地，無規(guī)則地運動著的彈性質(zhì)點群。

§10-2理想氣體狀態(tài)方程的微觀解釋10-2-1理想氣體壓強的統(tǒng)計意義克勞修斯指出：“氣體對容器壁的壓強是大量分子對容器壁碰撞的平均效果”。

Ox方向分子與器壁碰撞后動量的增量：分子對器壁的沖量：設(shè):體積：V;

分子數(shù)：N;分子數(shù)密度：n分子質(zhì)量：m0立方體容器：將分子速度速率為vi，分子數(shù)密度為ni的分子分為一組。只有vix>0的分子才能與一側(cè)器壁發(fā)生碰撞，所以同組中dt時間內(nèi)與面元dS碰撞的分子數(shù)：O如圖體積內(nèi)的分子數(shù)作用于面元的壓力：O壓強：沖量：壓強：根據(jù)統(tǒng)計假設(shè)：O平衡態(tài)時分子的速度按方向的分布是各向均勻的令所以道爾頓分壓定律：混合氣體的壓強等于其中各種氣體分子組分壓強之總和。氣體分子的平均平動動能壓強的微觀意義是大量氣體分子在單位時間內(nèi)施于器壁單位面積上的平均沖量，離開了大量和平均的概念，壓強就失去了意義，對單個分子來講談不上壓強這個物理量。10-2-2溫度的微觀意義結(jié)論：溫度標志著物體內(nèi)部分子熱運動的劇烈程度，它是大量分子熱運動的平均平動動能的量度。因為方均根速率：10-2-3理想氣體狀態(tài)方程的微觀解釋例1.

試求氮氣分子的平均平動動能和方均根速率。設(shè)（1）在溫度t=1000℃時；（2）t=0℃時。解：10-2-4真實氣體的范德瓦爾斯方程二氧化碳氣體的等溫線13℃等溫線：GA部分：與理想氣體的等溫線相似。AB部分：汽液共存。飽和汽：在汽液共存時的蒸汽。BD部分：曲線幾乎與體積軸垂直，反映了液體不易壓縮的性質(zhì)。21℃等溫線:汽液共存線較短，飽和汽壓強較高。結(jié)論：飽和汽壓強與蒸汽的體積無關(guān)、卻與溫度有關(guān)。31.1℃時：臨界等溫線

汽液共存線收縮為一拐點，稱為臨界點。48.1℃時：其等溫線相似于理想氣體的等軸雙曲線。對理想氣體狀態(tài)的修正：（1）體積修正設(shè)V為容器體積，b為一摩爾分子所占體積?；颍?）壓強修正f考慮分子間存在引力，氣體分子施與器壁的壓強應(yīng)減少一個量值，稱為內(nèi)壓強（pi）。a為比例系數(shù)范德瓦爾斯方程：范德瓦耳斯方程描述二氧化碳氣體等溫線曲線與真實氣體的等溫曲線比較，除在低溫時，在虛線部分不符外，其它都能很好的吻合?！?0.3能量按自由度均分原理10-3-1自由度自由度：確定一個物體在空間的位置所必需的獨立坐標數(shù)目。作直線運動的質(zhì)點：一個自由度作平面運動的質(zhì)點：二個自由度作空間運動的質(zhì)點：三個自由度火車：被限制在一曲線上運動，自由度為1；飛機：自由度為3（經(jīng)度、緯度、高度）（經(jīng)度、緯度）輪船：被限制在一曲面上運動，自由度為2，雙原子的自由度：zyx雙原子分子有五個自由度確定原子1要三個平動自由度確定原子2要二個轉(zhuǎn)動自由度12單原子的自由度：確定單原子要三個平動自由度三原子的自由度：zyx三原子分子有六個自由度確定原子1要三個平動自由度確定原子2要二個轉(zhuǎn)動自由度123確定原子3要一個轉(zhuǎn)動自由度運動剛體（三個及以上原子）的自由度：結(jié)論：自由剛體有六個自由度三個平動自由度三個轉(zhuǎn)動自由度zyxCz’x’y’單原子分子：一個原子構(gòu)成一個分子多原子分子：三個以上原子構(gòu)成一個分子雙原子分子：兩個原子構(gòu)成一個分子三個自由度氫、氧、氮等五個自由度氦、氬等六個自由度水蒸汽、甲烷等10-3-2能量按自由度均分原理能量均分定理：“i”為分子自由度數(shù)在溫度為T的平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的每個自由度都具有相同的平均動能，其值為。分子平均動能：單原子分子：多原子分子：雙原子分子：10-3-3理想氣體的內(nèi)能摩爾熱容內(nèi)能：氣體中所有分子的動能和分子間相互作用勢能的總和。理想氣體內(nèi)能：氣體中所有分子的動能。一摩爾理想氣體內(nèi)能：質(zhì)量為m，摩爾質(zhì)量為M的理想氣體內(nèi)能：內(nèi)能的改變量：結(jié)論：理想氣體的內(nèi)能只是溫度的單值函數(shù)。1mol理想氣體在等體過程中吸收的熱量為定體摩爾熱容：根據(jù)邁耶公式：定壓摩爾熱容：比熱容比：例2.容器內(nèi)有某種理想氣體，氣體溫度為273K，壓強為0.01atm(1atm=1.013×105Pa)，密度為1.24×10-2kg·m-3。試求：（1）氣體分子的方均根速率；（2）氣體的摩爾質(zhì)量，并確定它是什么氣體；（3）氣體分子的平均平動動能和平均轉(zhuǎn)動動能各是多少；（4）單位體積內(nèi)分子的平動動能是多少；（5）若氣體的摩爾數(shù)為0.3mol，其內(nèi)能是多少。（1）氣體分子的方均根速率為解由狀態(tài)方程（2）根據(jù)狀態(tài)方程，得氮氣（N2）或一氧化碳（CO）氣體（3）分子的平均平動動能：分子的平均轉(zhuǎn)動動能：（4）單位體積內(nèi)的分子數(shù)：（5）根據(jù)內(nèi)能公式練習(xí)2何解對？為什么？由絕熱方程解一：×*絕熱方程對非靜態(tài)過程不適用

理想氣體自由膨脹，去掉隔板實現(xiàn)平衡后壓強p=?解二：分子當(dāng)作質(zhì)點，不占體積；（因為分子的線度<<分子間的平均距離）分子之間除碰撞的瞬間外，無相互作用力。（忽略重力）彈性碰撞（動能不變）服從牛頓力學(xué)分子數(shù)目太多，無法解那么多的聯(lián)立方程。即使能解也無用，因為碰撞太頻繁，運動情況瞬息萬變，必須用統(tǒng)計的方法來研究。理想氣體的微觀假設(shè)說明：1.壓強公式是統(tǒng)計規(guī)律，不是經(jīng)典力學(xué)規(guī)律。2.對于其它形狀的容器，經(jīng)過一定的推算，也能得出同一結(jié)論。3.壓強的微觀意義：溫度的微觀意義：溫度標志著物體內(nèi)部分子熱運動的劇烈程度，它是大量分子熱運動的平均平動動能的量度。分子平均動能：“i”為分子自由度數(shù)能量均分定理：在溫度為T的平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的每個自由度都具有相同的平均動能，其值為。內(nèi)能的改變量：內(nèi)能：方均根速率：

速率分布函數(shù)：按統(tǒng)計假設(shè)分子速率通過碰撞不斷改變，不好說正處于哪個速率的分子數(shù)多少，但用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為多少的概念比較合適，這就是分子按速率的分布。單個分子速率不可預(yù)知，大量分子的速率分布是遵循統(tǒng)計規(guī)律，是確定的，這個規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律?！?0-4麥克斯韋速率分布10-4-1麥克斯韋速率分布函數(shù)設(shè)有N=100個粒子，速率范圍：0300ms-1

2050300.20.50.3ΔΔvvv+的分子數(shù)N：ΔΔvNN+vv的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比：單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率：～速率分布函數(shù)：速率分布函數(shù)的物理意義：

速率在v附近，單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。麥克斯韋速率分布函數(shù)：f(v)vdv玻耳茲曼常量：f(v)vv2v1結(jié)論：在麥克斯韋速率分布曲線下的任意一塊面積在數(shù)值上等于相應(yīng)速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。歸一化條件：物理意義：所有速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)百分比之和應(yīng)等于1。10-4-2氣體分子速率分布的測定1934年我國物理學(xué)家葛正權(quán)用實驗測定了分子的速率分布。

實際上當(dāng)圓盤B、C以角速度ω轉(zhuǎn)動時，能射到顯示屏D上的，只有分子射線中速率在v→v+Δv區(qū)間內(nèi)的分子。分子實速驗率數(shù)分據(jù)布的100~200速率區(qū)間百分數(shù)200~300300~400400~500500~600600~700700~800800~900900100＜＞20.6%1.4%8.1%16.5%21.4%15.1%9.2%4.8%2.0%0.9%(m/s)

1859年麥克斯韋從理論上得到速率分布定律。1920年斯特恩從實驗上證實了速率分布定律。vf(v)0m大m小vf(v)dvv12N表示12vv的分子總數(shù)。T小T大vf(v)010-4-3三個統(tǒng)計速率（1）平均速率：設(shè)：速率為v1的分子數(shù)為N1個；速率為v2的分子數(shù)為個N2；…。總分子數(shù)：N=N1+N2+…+Nn（2）方均根速率：8RTπMvf(v)dv=08=v=vdNN=dNv()Ndvdv當(dāng)ΔNi0時（3）最概然速率（最可幾速率）：f(v)v在平衡態(tài)條件下，理想氣體分子速率分布在vp附近的單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占氣體總分子數(shù)的百分比最大。vvv2＞＞pf(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2溫度越高，速率大的分子數(shù)越多最概然速率vp不要問速率剛好等于某一值的分子數(shù)多少，沒有意義。f(v)vT1T2例3.圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問（1）哪一條曲線對應(yīng)的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對應(yīng)的是氧氣，哪條對應(yīng)的是氫氣？解：(1)T1<

T2(2)綠：氧

黃：氫

例4.20個質(zhì)點的速率如下：2個具有速率v0,3個具有速率2v0,5個具有速率3v0,4個具有速率4v0,3個具有速率5v0,2個具有速率6v0,1個具有速率7v0。試計算:(1)平均速率；(2)方均根速率；(3)最概然速率。NviΣ=iNv=v0++++++2v012v07v06v015v016v015v20=3.99v0=2v02+3(2v0)2+5(3v0)2+4(4v0)2+3(5v0)2+2(6v0)2+(7v0)220iv2NΣ=iNv2=vp3v0解：例5.有N個粒子，其速率分布函數(shù)為:C(vo>v>0)0(v>vo)1、作速率分布曲線。2、由N和vo求常量C。3、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。Cvovo解：例5.

求在標準狀態(tài)下，1.0m3氮氣中速率處于500~501ms-1之間的分子數(shù)目。解：已知§10-5玻耳茲曼能量分布（自學(xué)）奧地利物理學(xué)家玻耳茲曼（Boltzmann，1844-1906），在麥克斯韋速率分布的基礎(chǔ)上考慮到外力場對氣體分子分布的影響，建立了氣體分子按能量的分布規(guī)律。10-5-1重力場中分子數(shù)密度分布大氣薄層的質(zhì)量：等溫氣壓公式：p(0)為海平面的大氣壓p(z)為海拔高度為z的大氣壓因為為分子的重力勢能10-5-2玻耳茲曼能量分布保守力場中分子的能量：空間區(qū)域：速度區(qū)間：玻耳茲曼能量分布律：根據(jù)歸一化條件體元中含有各種速度的分子數(shù)為玻耳茲曼密度分布律：10-5-3大氣的垂直溫度梯度設(shè)氣體的上升過程是一個準靜態(tài)的絕熱過程。取微分解得因為空氣分子平均摩爾質(zhì)量：M=29×10-3kg.mol-1；比熱容比：γ=1.4海拔高度每升高100m溫度降低約1K?！?0-6氣體分子的平均自由程

和碰撞頻率10-6-1分子的平均碰撞頻率碰撞頻率（z）：單位時間內(nèi)，分子與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù)。

1.分子為剛性小球,2.分子有效直徑為（分子間距平均值），3.其它分子皆靜止,某一分子以平均速率相對其他分子運動.分子直徑：d，分子數(shù)密度：n單位時間內(nèi)有個分子和其它分子發(fā)生碰撞碰撞頻率：dd平均自由程（）：分子在連續(xù)兩次和其它分子發(fā)生碰撞之間所通過的自由路程的平均值。10-6-2平均自由程平均自由程：結(jié)論：平均自由程只與分子的直徑和密度有關(guān)，而與平均速率無關(guān)。當(dāng)溫度一定時，平均自由程與壓強成反比，壓強越小，平均自由程越長。例6.

求氫在標準狀態(tài)下一秒內(nèi)分子的平均碰撞次數(shù)。（已知分子直徑d=210-10m)解：（約80億次）§10-7氣體的輸運現(xiàn)象三種輸運現(xiàn)象：1.當(dāng)氣體各層流速不均勻時發(fā)生的粘滯現(xiàn)象。2.當(dāng)氣體溫度不均勻時發(fā)生的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。3.當(dāng)氣體密度不均勻時發(fā)生的擴散現(xiàn)象。10-7-1粘滯現(xiàn)象xzu=u(z)uou=0zoFF’牛頓粘滯定律：稱為粘滯系數(shù)結(jié)論：粘滯現(xiàn)象的微觀本質(zhì)是分子定向動量的遷移。10-7-2熱傳導(dǎo)現(xiàn)象zT+dTTz0+dzz0傅立葉熱傳導(dǎo)定律：熱導(dǎo)率：熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的微觀本質(zhì)是分子熱運動能量的定向遷移。結(jié)論：10-7-3擴散現(xiàn)象z0+dzz0zρ+dρρ菲克擴散定律：擴散系數(shù)：氣體擴散現(xiàn)象的微觀本質(zhì)是質(zhì)量的定向遷移。結(jié)論：（1822-1888）德國物理學(xué)家“熱量不能自動地從低溫物體傳向高溫物體”克勞修斯Clausius

“其唯一效果是熱全部變成功的過程是不可能的”（1824-1907）英國物理學(xué)家開爾文LordKelvin§10-8熵與熱力學(xué)第二定律10-8-1熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計意義F初始狀態(tài)搖動后幾率很小

熱力學(xué)第二定律指出了熱量傳遞方向和幾率大微觀角度出發(fā)，從統(tǒng)計意義上來進行解釋。熱功轉(zhuǎn)化方向的不可逆性，這一結(jié)論可以從微觀態(tài)：在A、B兩室中分子各種可能的分布狀態(tài)。宏觀態(tài)：對各分子不加區(qū)別，僅從A、B兩室的分子數(shù)分布來確定的狀態(tài)。ABabc隔板

氣體自由膨脹的不可逆性可以用幾率來說明。ABabc隔板a、b、c三個分子在A、B兩室的分配方式abcabbccacabcababccabcab00A室B室a

分子出現(xiàn)在A室的幾率為、、abc三分子全部回到A室的幾率為12左4，右0，狀態(tài)數(shù)1；左3，右1，狀態(tài)數(shù)4左2，右2狀態(tài)數(shù)6左0，右4，狀態(tài)數(shù)1；左1，右3，狀態(tài)數(shù)4左4，右0，狀態(tài)數(shù)1；左3，右1，狀態(tài)數(shù)4左0，右4，狀態(tài)數(shù)1；左1，右3，狀態(tài)數(shù)4左2，右2，狀態(tài)數(shù)6假設(shè)所有的微觀狀態(tài)其出現(xiàn)的可能性是相同的。4粒子情況，總狀態(tài)數(shù)16，左4右0和左0右4，幾率各為1/16；左3右1和左1右3，幾率各為1/4；左2右2，幾率為6/16=3/8。

對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)目多的宏觀狀態(tài)其出現(xiàn)的幾率最大。結(jié)論：不同宏觀態(tài)所包含的微觀態(tài)數(shù)目不同。N微觀狀態(tài)數(shù)目最大的宏觀狀態(tài)是平衡態(tài)，其它態(tài)都是非平衡態(tài)，這就是為什么孤立系統(tǒng)總是從非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡。N=1023，

微觀狀態(tài)數(shù)目用Ω表示，則ΩN/2Nn（左側(cè)粒子數(shù)）n

N0個分子全部自動0N1122~~10230收縮到A室的幾率為結(jié)論：自由膨脹過程實質(zhì)上是由包含微觀態(tài)數(shù)目少的宏觀態(tài)向包含微觀態(tài)數(shù)目多的宏觀態(tài)方向進行。不可逆過程的實質(zhì)（熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計意義）：孤立系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生的一切不可逆過程總是由包含微觀態(tài)數(shù)目少的宏觀態(tài)向包含微觀態(tài)數(shù)目多的宏觀態(tài)方向進行。一切不可逆過程都是從有序狀態(tài)向無序狀態(tài)的方向進行。自然進行的過程：熱力學(xué)概率小熱力學(xué)概率大的宏觀狀態(tài)熱力學(xué)概率:微觀狀態(tài)數(shù)目稱為熱力學(xué)概率玻耳茲曼關(guān)系式：熵是組成系統(tǒng)的微觀粒子的無序性（即混亂度）的量度。當(dāng)孤立系統(tǒng)處于平衡態(tài)時，其熵S達到最大值。引入反映熱力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的一個態(tài)函數(shù)——熵（Ｓ）,單位：J·K-1

10-8-2熵與熱力學(xué)概率根據(jù)概率論的乘法原理，有結(jié)論：熵具有可疊加性。設(shè)某一熱力學(xué)系統(tǒng)由n個子系統(tǒng)組成，子系統(tǒng)的熱力學(xué)概率分別為Ω1、Ω2、…、Ωn10-8-3克勞修斯熵熵增加原理微觀態(tài)數(shù)少的狀態(tài)Ⅰ(Ω1)不可逆過程：→微觀態(tài)數(shù)多的狀態(tài)(Ω2)因為Ω1<Ω2

可逆過程：

Ω1=Ω2熵增加原理:孤立系統(tǒng)中發(fā)生的一切不可逆過程都將導(dǎo)致系統(tǒng)熵的增加；而在孤立系統(tǒng)中發(fā)生的一切可逆過程，系統(tǒng)的熵保持不變

。意義：

是統(tǒng)計規(guī)律：熵減小的過程不是絕對不可能發(fā)生，而是在大量粒子組成的群體中出現(xiàn)的概率太小。

是普遍規(guī)律：任何事物如果任其發(fā)展，其混亂程度一定有增無減。（交通、宿舍衛(wèi)生、教室紀律、社會治安……)

熵增與能量退化、貶值對應(yīng)實際熱力學(xué)過程都是不可逆的有序運動能量無序運動能量熵的熱力學(xué)定義（克勞修斯熵）：設(shè)一定量的理想氣體在溫度為T下作等溫膨脹，體積從V1變化為V2。一個分子在容器中的幾率：N個分子在容器中的幾率：等溫膨脹后的熵變：等溫膨脹的吸熱為：則微小過程：Q/T稱為熱溫比

對于任意一個熱力學(xué)過程=對應(yīng)可逆過程>對應(yīng)不可逆過程WE=dd+Qd根據(jù)熱力學(xué)第一定律pV=dEd+TdS這是綜合了熱力學(xué)第一、第二定律的熱力學(xué)基本關(guān)系式。注意：熵是一個態(tài)函數(shù)。熵的變化只取決于初、末兩個狀態(tài)，與具體過程無關(guān)。熵具有可加性。系統(tǒng)的熵等于系統(tǒng)內(nèi)各部分的熵之和?？藙谛匏轨刂荒苡糜诿枋銎胶鉅顟B(tài)，而玻耳茲曼熵則可以用以描述非平衡態(tài)。二、熵的計算為了正確計算熵變，必須注意以下幾點：1.熵是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)3.如果過程是不可逆的不能直接應(yīng)用上SQdT1S2=ò可逆212.對于可逆過程熵變可用下式進行計算替，然后再應(yīng)用上式進行熵變的計算?？梢栽O(shè)計一個始末狀態(tài)相同的可逆過程來代式。由于熵是一個態(tài)函數(shù)，熵變和過程無關(guān)，可以用來轉(zhuǎn)化為機械能的比例減少了，能量E=1E2T1T2=S<S12E1T1S1E2T2S2在絕熱容器中理想氣體向真空自由膨脹膨脹前后系統(tǒng)的內(nèi)能不變，能量的總量膨脹后，氣體的體積變大系統(tǒng)的熵增加的品質(zhì)降低.不變。計算兩個平衡態(tài)之間的熵變的方法：S1S2實際不可逆過程任一個連接初態(tài)和終態(tài)的設(shè)想的可逆過程對于可逆過程例題.試求1mol理想氣體由初態(tài)（T1，V1）經(jīng)某一過程到達終態(tài)（T2，V2）的熵變。假定氣體的定體摩爾熱容CV為一恒量。解：（T1V1）（T2V1）等容升溫S1（T2V1）（T2V2）等溫膨脹S2法一（T1V1）（T1V2）等溫膨脹S1（T1V2）（T2V2）等容升溫S2法二：法三：pV=dEd+dSTTC+=VdTTRVdVSΔ=SS0=CVlnTT0RlnVV0+PV=dEd+TdS解：=TT0CVdTTVV0RVdV+òò[例3]求1mol理想氣體從初態(tài)(p0,V0,T0)變化到一個末態(tài)(p,V,T)時的熵變。SΔ=CVlnTT0RlnVV0+將TT0VV0pp0=代入得：若始末態(tài)溫度相同：SΔ=RlnVV0p=Rlnp0對于可逆的絕熱過程可逆的絕熱過程熵變?yōu)榱?，絕熱線又稱等熵線。區(qū)域熵增加，在橘黃色區(qū)域熵減少。