圓心角及圓周角的關系精品課件

第三節(jié)圓周角和圓心角的關系(一)第三章圓回顧與思考如圖1,∠AOB是

角。OAB如圖2,AB=CD,則∠AOB與∠COD的大小關系是：

。BAOCD圓心相等用心想一想在射門游戲中，球員射中球門的難易與他所處的位置B對球門AC的張角（∠ABC）有關。用心想一想如圖，當他站在B，D，E的位置射球時,對球門AC的張角的大小相等嗎？你能觀察到這三個角有什么共同特征嗎?用心想一想為解決這個問題我們先來研究一種角。觀察圖中的∠ABC，頂點在什么位置？角的兩邊有什么特點？ABC用心想一想觀察圖中的∠ABC，可以發(fā)現(xiàn)，它的頂點在圓上，它的兩邊分別與圓還有另一個交點。像這樣的角，叫做圓周角。ABC請同學們考慮兩個問題：（1）頂點在圓上的角是圓周角嗎？（2）角的兩邊都和圓相交的角是圓周角嗎？為解決這個問題，我們先回答下面的問題。下列各圖形中的角是不是圓周角？請說明理由。ABCDE由圓周角的定義可知，只有C是圓周角，其它都不是。你能總結(jié)出圓周角的特征嗎？圓周角有兩個特征：①角的頂點在圓上；②兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦。我們再來研究圓周角的性質(zhì)。為了解決這個問題，我們先研究一條弧所對的圓周角與它所對的圓心角之間的關系。請同學們在圓上確定一條劣弧，畫出它所對的圓心角與圓周角。AC我們得到以下幾種情況。①∠ABC的一邊BC經(jīng)過圓心O。②∠ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心O。③∠ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心O。請問∠ABC與∠AOC它們的大小有什么關系？說說你的想法，并與同伴進行交流。BAOC①ABCO②BACO③我們首先考慮最特殊的一種情況，即∠ABC的一邊BC經(jīng)過圓心O。BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO?！逴A=OB，∴∠ABO=∠BAO?！唷螦OC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC。12如圖,我們可以觀察到∠AOC是△ABO的外角，∠ABC是△ABO的一個內(nèi)角，它們兩者存在一定關系.BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO?！逴A=OB，∴∠ABO=∠BAO?！唷螦OC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC。12那么當∠ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心O時，∠ABC與∠AOC又有怎樣的大小關系呢？ABCOBACO我們首先考慮最特殊的一種情況，即∠ABC的一邊BC經(jīng)過圓心O。我們可以考慮把這兩種情況分別轉(zhuǎn)化成剛才的特殊情形來考慮。ABCO也就是借用直徑，連接BO并延長，與圓相交于點D。D（此時我們得到與圖①同樣的情形）132BAOC①∵∠1是△ABO的外角，∴∠1=∠2+∠3?！逴A=OB，∴∠2=∠3。∴∠1=2∠2，∴∠2=∠1。125412同理,∠4=∠5。12∴∠2+∠4=（∠1+∠5）。∴∠ABC=∠AOC。12BACOBAOC①如圖，連接BO并延長，與圓相交于點D。（此時我們得到與圖①同樣的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠AOD=∠A+∠ABO?！逴A=OB，∴∠A=∠ABO?！唷螦OD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12BACOBAOC①如圖，連接BO并延長，與相交于點D。（此時我們得到與圖①同樣的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠ABD=∠A+∠ABO?！逴A=OB，∴∠A=∠ABO?！唷螦OD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12同理,∠CBD=∠COD。12BACOBAOC①如圖，連接BO并延長，與相交于點D。（此時我們得到與圖①同樣的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠ABD=∠A+∠ABO。∵OA=OB，∴∠A=∠ABO?！唷螦OD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12同理,∠CBD=∠COD。12∴∠ABD－∠CBD=∠AOD－∠COD=（∠AOD－∠COD）。∴∠ABC=∠AOC12121212認真觀察，探求結(jié)果通過對三種情形的證明，同學們再認真觀察圖形，你會得到什么結(jié)果？BAOCABCOBACO一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

。一半AOCB一題多變?nèi)鐖D，在⊙O中，∠BOC=50°，則∠BAC=

。點撥：此題要選擇關鍵點：∠BOC與∠BAC對著BC，因此∠BOC等于∠BAC的2倍。25°

AOCB一題多變?nèi)鐖D，在⊙O中，∠BOC=50°，則∠BAC=

。變化題2：如圖，∠BAC=40°，則∠OBC=

。ABCO變化題1：如圖，點A，B，C是⊙O上的三點，∠BAC=40°，則∠BOC=

。

25°

50°

80°

由∠BAC=40°可得∠BOC=80°，再由△BOC是等腰三角形可求得∠OBC。開拓創(chuàng)新試一試如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC，∠ACB與∠BAC的大小有什么關系？為什么？ABCO請同學們認真觀察∠AOB與∠ACB，∠BOC與∠BAC的關系。

答：∠ACB=2∠BAC.理由是:∵∠AOB=2∠ACB∠BOC=2∠BAC∠AOB=2∠BOC∴2∠ACB=2（2∠BAC）∴∠ACB=2∠BAC大膽嘗試，練一練！ABCDO如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，且∠BCD=100°，求∠BOD（BCD所對的圓心角）和∠BAD的大小。由∠BCD=100°，我們可求出對應的圓心角∠1是200°

，則∠BOD就可求。

解：∵∠BCD=100°∴∠1=200°∴∠BOD=360°－200°=160°1大膽嘗試，練一練！ABCDO如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，且∠BCD=100°，求∠BOD（BCD所對的圓心角）和∠BAD的大小。解：∵∠BCD=100°∴∠1=200°∴∠BOD=360°－200°=160°1觀察∠BOD與∠BAD的關系就可以求∠BAD的大小。

∴∠BAD=∠BOD=×160°=80°

1212課內(nèi)拓展延伸1.到目前為止,我們學習到和圓有關的角有幾個?它們各有什么特點?相互之間有什么關系?答:和圓有關的角有圓心角和圓周角.圓心角頂點在圓心;圓周角頂點在圓上，角的兩邊和圓相交。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。2.課后思考如圖，當他站在B，D，E的位置射球時對球門AC的張角的大小相等嗎？為什么？第三節(jié)圓周角和圓心角的關系(二)第三章圓耐心填一填，一錘定音！ABCO1.如圖，∠BOC是

角，∠BAC是

角。若∠BOC=80°，∠BAC=

。圓心圓周40°

2.如圖，點A，B，C都在⊙O上，若∠ABO=65°，則∠BCA=（）25°B.32.5°

C.30°D.45°

ABCOA用心想一想，馬到功成觀察圖①，∠ABC，∠ADC和∠AEC各是什么角？它們有什么共同的特征？它們的大小有什么關系？為什么？BAECDO答：∠ABC，∠ADC和∠AEC都是圓周角。它們的共同特征是：它們都對著AC根據(jù)圓周角定理，∠ABC，∠ADC，∠AEC都等于圓心角∠AOC的一半。所以這三個角是相等的。由此你得到什么結(jié)論？這三個角是相等的。理由是：圖①用心想一想，馬到功成BAECDO結(jié)論是：在同圓中，同弧所對的圓周角相等。如果把上面的同弧改成等弧，結(jié)論成立嗎？答：成立。因為等弧所對的圓心角相等，而圓周角等于圓心角的一半，所以這些圓周角也相等。對于等圓,情況也一樣.因此,我們可以得到：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。問題：若將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結(jié)論成立嗎？請同學們互相議一議。答：結(jié)論不成立。請看圖。AB12用心想一想，馬到功成如圖，當他站在B，D，E的位置射球時對球門AC的張角的大小相等嗎？為什么？因為這三個角都對著AC，所以它們相等。用心想一想，馬到功成觀察圖②，BC是⊙O的直徑，它所對的圓周角是銳角、直角、還是鈍角？你是如何判斷的？ABCO答：直徑BC所對的圓周角是直角。因為一條直徑將圓分成了兩個半圓，而半圓所對的圓心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=90°。圖②BCAO觀察圖③，圓周角∠BAC=90°，弦BC經(jīng)過圓心嗎？為什么？圖③答：弦BC經(jīng)過圓心O。因為連接OC、OB，由∠BAC=90°可得圓心角∠BOC=180°。即B、O、C三點在同一直線，也就是BC是⊙O的一條直徑。由以上我們可得到：直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。放開手腳做一做小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形。根據(jù)下圖，你能判斷哪個是半圓形？為什么？答：圖（2）是半圓形。理由是：90°的圓周角所對的弦是直徑。

放開手腳做一做如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB。BD與CD的大小有什么關系？為什么？ABCDO分析：由于AB是⊙O的直徑，故連接AD。由直徑所對的圓周角是直角，可得AD⊥BC.又因為△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三線合一，可證得BD=CD。

解：BD=CD。理由是：連接AD。∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。又∵AC=AB?！郆D=CD教材題變形，拓展延伸船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁。如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個危險臨界點，∠ACB就是“危險角”，當船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時，就有可能觸礁。（1）當船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？（2）當船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？分析：這是一個有實際背景的問題。由題意可知：“危險角∠ACB”實際上就是圓周角。船P與兩個燈塔的夾角為∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O內(nèi).當∠α＞∠C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)；當∠α＜∠C時，船位于暗礁區(qū)域外。因此,我們可以分情況討論.解：（1）當船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”∠C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)（即⊙O內(nèi)）。理由是：連接BE.

假設船在⊙O上，則有∠α=∠C，這與∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假設船在⊙O外，則有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，這與∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O內(nèi)。（1）當船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？（2）當船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？解：（2）當船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”∠C時，船位于暗礁區(qū)域外（即⊙O外）。理由是：假設船在⊙O上，則有∠α=∠C，這與∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假設船在⊙O內(nèi)，則有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，這與∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O內(nèi)。因此，船只能位于⊙O外。大膽嘗試，練一練1.為什么有些電影院的坐位排列（橫排）呈圓弧形？說一說這種設計的合理性。答：有些電影院的坐位排列呈圓弧形，這樣設計的理由是盡量保證同排的觀眾視角相等。2.如圖，哪個角與∠BAC相等？ABCD答：∠BDC=∠BAC。3.如圖,⊙O的直徑AB=10cm，C為⊙O上的一點，∠ABC=30°，求AC的長。ABCO12解：∵AB為⊙O的直徑。∴∠ACB=90°