單自由度系統(tǒng)振動(上課用)

第4章單自由度系統(tǒng)的振動1

振動是日常生活和工程實際中常見的現(xiàn)象。例如：鐘擺的往復(fù)擺動,汽車行駛時的顛簸，電動機、機床等工作時的振動，以及地震時引起的建筑物的振動等。

利：振動給料機弊：磨損，減少壽命，影響強度振動篩引起噪聲，影響勞動條件振動沉拔樁機等消耗能量，降低精度等。3.研究振動的目的：消除或減小有害的振動，充分利用振動為人類服務(wù)。2.振動的利弊：1.所謂振動就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運動。2

4.振動的分類：單自由度系統(tǒng)的振動

按振動系統(tǒng)的自由度分類多自由度系統(tǒng)的振動彈性體的振動

按系統(tǒng)的輸入（激勵）分類：

自由振動：無阻尼的自由振動有阻尼的自由振動，衰減振動強迫振動：無阻尼的強迫振動有阻尼的強迫振動自激振動本章重點討論單自由度系統(tǒng)的自由振動和強迫振動。3按系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）分類簡諧振動周期性振動瞬態(tài)振動隨機振動按描述系統(tǒng)的微分方程的性質(zhì)分類線形振動非線形振動4振動問題的求解步驟：1、建立振動系統(tǒng)的力學(xué)模型抓住系統(tǒng)振動的主要特征，忽略次要因素，抽象出來一個簡化的理論模型。一個振動系統(tǒng)必須具有彈性元件和質(zhì)量元件。振動三要素：質(zhì)量、彈簧、阻尼2、建立振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型牛頓第二定律、定軸轉(zhuǎn)動方程、拉格朗日方程等3、求解運動微分方程解析法、數(shù)值法5678振動系統(tǒng)模型及其簡化9電動機和梁組成的振動系統(tǒng)10連桿飛輪的扭轉(zhuǎn)振動11單自由度系統(tǒng)的自由振動1、單自由度線形系統(tǒng)的運動微分方程及其系統(tǒng)特性牛頓運動定律法121314拉格朗日方程法15振動系統(tǒng)的線性化處理1617用于流體力學(xué)實驗的壓力表，具有均勻內(nèi)經(jīng)，截面積為。內(nèi)有長度為、密度為的液體，在靜止液面附近做微幅擺動，假設(shè)液體運動時均勻的，壁管的摩擦力忽略不計，試建立其運動微分方程18一個質(zhì)量為的均勻半圓柱體在水平面上做無滑動的往復(fù)運動，圓柱體半徑為，重心在點，物體對重心的回轉(zhuǎn)半徑為，試導(dǎo)出系統(tǒng)的運動微分方程1920

§4-1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動

一、自由振動的概念：211、自由振動微分方程及其解22正弦和余弦函數(shù)是周期函數(shù)這表明物體的運動是振動，周期為232.無阻尼自由振動的特性（1）單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是以正弦或余弦函數(shù)，即諧波函數(shù)表示，故稱為諧波振動，該系統(tǒng)稱為諧振子。（2）自由振動的角頻率，即系統(tǒng)的自然頻率，僅由系統(tǒng)本身的參數(shù)確定，與外界激勵和初始條件無關(guān)。（3）無阻尼自由振動具有“等時性”，即線形系統(tǒng)自由振動的周期由系統(tǒng)本身的參數(shù)所確定，與外界激勵和初始條件無關(guān)。（4）自由振動的振幅A和初相角y由初始條件所決定24諧波振動的幾種表示方法三角函數(shù)表示法：25旋轉(zhuǎn)矢量表示法：2627復(fù)數(shù)表示法：28等效剛度剛度是指系統(tǒng)在某點沿指定方向產(chǎn)生單位位移（角位移）時，在該點沿同一方向所要施加的力（力矩）。單位位移所需要的力。29設(shè)桿長為l，截面積為A，截面慣性矩為I，截面極慣性矩為Ip，材料的彈性模量為E，切面模量為G，確定端點B處在x方向、y方向和軸轉(zhuǎn)動方向的剛度。1)拉壓剛度2）彎曲剛度3）扭轉(zhuǎn)剛度30例：簡支梁橫向振動均勻簡支梁的橫向振動假設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在梁的中部，且假定為m。取梁的中部撓度Δ作為系統(tǒng)位移，根據(jù)材料力學(xué)得靜撓度為31組合剛度

彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度并聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)32

彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度并聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)33求圖中所示各振動系統(tǒng)的自然頻率3435等效質(zhì)量1）彈簧的等效質(zhì)量彈簧在平衡時的長度為l，線密度為ρ（kg/m

），試求系統(tǒng)的等效質(zhì)量。36從能量守恒出發(fā)，討論彈簧的等效質(zhì)量問題振動位移x（t）最大時在平衡位置從而有37因此系統(tǒng)的等效質(zhì)量為382)彈性梁的等效質(zhì)量如圖所示的彈性梁系統(tǒng)，其長度為L，彎曲剛度為EI，在梁的懸伸端放一質(zhì)量為m的物體，梁的質(zhì)量為m’，密度為ρ=m’/L

，試確定系統(tǒng)的等效質(zhì)量。39假定梁的撓曲線與不計其質(zhì)量的相同，由材料力學(xué)，在距O點為l處的靜撓度為40414243

44

運動過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力。物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動稱為無阻尼自由振動。質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)：單擺：復(fù)擺：45二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解

對于任何一個單自由度系統(tǒng)，以q為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開始量?。瑒t自由振動的運動微分方程必將是：

a,c是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令則自由振動的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：

解為：46

設(shè)t=0時，則可求得：或：C1，C2由初始條件決定為47

三、自由振動的特點：

A——物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。

nt+——相位，決定振體在某瞬時t的位置

——初相位，決定振體運動的起始位置。

T——周期，每振動一次所經(jīng)歷的時間。

f——頻率，每秒鐘振動的次數(shù)，f=1/T?！逃蓄l率，振體在2秒內(nèi)振動的次數(shù)。反映振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。48

無阻尼自由振動的特點是：(2)振幅A和初相位取決于運動的初始條件(初位移和初速度)；(1)振動規(guī)律為簡諧振動；(3)周期T和固有頻率僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,I)。四、其它

1.如果系統(tǒng)在振動方向上受到某個常力的作用，該常力只影響靜平衡點O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動規(guī)律，如振動頻率、振幅和相位等。491.

由系統(tǒng)的振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.

靜變形法：3.能量法：

§4-2求系統(tǒng)固有頻率的方法：集中質(zhì)量在全部重力作用下的靜變形由Tmax=Umax,求出50

無阻尼自由振動系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。當(dāng)振體運動到距靜平衡位置最遠時，速度為零，即系統(tǒng)動能等于零，勢能達到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點）。當(dāng)振體運動到靜平衡位置時，系統(tǒng)的勢能為零，動能達到最大值。如：51

能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復(fù)雜的振動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。

例1圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無側(cè)向擺動，且輪子與繩子間無滑動，不計繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為M，重物質(zhì)量m，試列出系統(tǒng)微幅振動微分方程，求出其固有頻率。52

解：以x為廣義坐標(biāo)（靜平衡位置為坐標(biāo)原點）則任意位置x時：靜平衡時：53

機械動力學(xué)應(yīng)用動量矩定理：由，有振動微分方程：固有頻率：54

機械動力學(xué)解2：用機械能守恒定律以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點）以平衡位置為計算勢能的零位置，并注意輪心位移x時，彈簧伸長2x因平衡時55

動力學(xué)由T+U=有：對時間t求導(dǎo)，再消去公因子，得56575859606162636465666768697071

動力學(xué)例：

鼓輪：質(zhì)量M，對輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑r，彈簧剛度k1，k2，重物質(zhì)量為m,不計輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動的固有頻率。

解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動能為：72

動力學(xué)系統(tǒng)的最大勢能為：73

動力學(xué)設(shè)則有根據(jù)Tmax=Umax,解得74等效單自由度系統(tǒng)（1）單自由度扭振系統(tǒng)假定盤和軸都為均質(zhì)體，不考慮軸的質(zhì)量。設(shè)扭矩T作用在盤面。根據(jù)材料力學(xué)可知：75（2）單擺回復(fù)力由擺錘重力提供以角度θ為位移，不計擺線質(zhì)量，建立系統(tǒng)運動方程：76（3）簡支梁橫向振動均勻簡支梁的橫向振動假設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在梁的中部，且假定為m。取梁的中部撓度Δ作為系統(tǒng)位移，根據(jù)材料力學(xué)得靜撓度為77

動力學(xué)§4-3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、阻尼的概念：

阻尼：振動過程中，系統(tǒng)所受的阻力。例如粘性阻尼、干摩擦阻尼和材料阻尼。

粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。投影式：c——粘性阻尼系數(shù)，簡稱阻尼系數(shù)。78

動力學(xué)二、有阻尼自由振動微分方程及其解：

質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：有阻尼自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。79當(dāng)系統(tǒng)存在阻尼時，自由振動方程為如下形式的齊次方程（1）（2）阻尼率其中s為待定方程，代入上式80則有這就是系統(tǒng)的特征方程，它是s的二次方程，有兩個解：

（3）（4）81

很明顯，s1、s2的性質(zhì)取決于阻尼因子ξ，其相互關(guān)系可以從s平面，即復(fù)平面上得到反映（如圖）。s1、s2作為阻尼因子ξ的函數(shù)在復(fù)平面上描繪出一條曲線，圖中可直觀地了解參數(shù)ξ對系統(tǒng)運動行為的影響，或者說對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。、82下面分別討論對于ξ的不同取值的情況1、無阻尼（ξ=0）情況得到兩個復(fù)根±iωn，此時系統(tǒng)就是簡諧振子。應(yīng)用歐拉方程將上式展開并整理，有83此式和單自由度無阻尼自由振動方程完全一致其中常數(shù)X和ψ由初始條件決定842、小阻尼情況（0＜ξ＜1）由式（4）得85868788

動力學(xué)——阻尼比有阻尼自由振動：當(dāng)時，可以認(rèn)為系統(tǒng)的運動為周期性的振動，其振動頻率wd，它比無阻尼自由振動的固有頻率wn略小，振幅Xe-zwnt隨時間成指數(shù)形式衰減。893、過阻尼（ξ＞1）情況90914臨界阻尼（ξ=1）921、當(dāng)ξ=0時，得到兩個復(fù)根±iωn，此時系統(tǒng)就是簡諧振子。2、當(dāng)0＜ξ＜1時，s1、s2為復(fù)共軛，在圖中對稱地位于實軸的兩側(cè)，并位于半徑為ωn的圓上。3、當(dāng)ξ=1時，特征方程的根s1、s2為-ωn落在實軸。4、當(dāng)ξ＞1時，特征方程的根始終在實軸上，且隨著、、

x(t)表現(xiàn)為一種增幅運動，是自激振動93例：試求單自由度小阻尼系統(tǒng)對初始速度的響應(yīng)。解：當(dāng)系統(tǒng)受到初速度v0作用時，x0=0,由上式有例：試求單自由度小阻尼系統(tǒng)對初始位移的響應(yīng)。解：當(dāng)系統(tǒng)受到初速度x0作用時，v0=0,由上式有94綜合以上兩例的結(jié)果，當(dāng)初始位移和初始速度作用時，系統(tǒng)響應(yīng)為95

動力學(xué)對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率相鄰兩次振幅之比9697

動力學(xué)例3質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，W=150N，st=1cm,A1=0.8cm,A21=0.16cm。求阻尼系數(shù)c。解：由于很小，98例：龍門起重機設(shè)計中，為避免連續(xù)啟動和制動過程中引起振動，要求由啟動和制動引起的衰減時間不得過長。若有一15t龍門起重機，在作水平縱向振動時，其等效質(zhì)量meq=275N·s2/cm，水平方向的剛度為19.8kN/cm,實測對數(shù)衰減率為d=0.10，若要求振幅衰減到最大振幅的5%，所需的衰減時間應(yīng)小于30s，試校核該設(shè)計是否滿足要求。99例

實驗觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動幅值在5個完整的周期后衰減了50%,設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計算系統(tǒng)的阻尼因子。

設(shè)，則

（c）（a）

（b）1004.4諧波激勵下的強迫振動諧波激勵是最簡單的激勵。特點：系統(tǒng)對于諧波激勵的響應(yīng)仍然是頻率相同的諧波。由于線形系統(tǒng)滿足疊加原理，各種復(fù)雜激勵可先分解為一系列的諧波激勵，而系統(tǒng)總的響應(yīng)可由疊加各諧波響應(yīng)得到。4.4.1諧波激勵下系統(tǒng)振動的求解方法單自由度線性系統(tǒng)強迫振動的運動方程為1011.解析法1021032.圖解法104利用直角三角形ODE，可以求出常數(shù)X和j，如果對各矢量都除以wn2,那么這些矢量便成為無量綱的量，從中可直接求出X和j。3、系統(tǒng)的運動特性（1）在諧波激勵作用下，強迫振動是諧波振動，振動的頻率與激勵力的頻率相同。（2）強迫振動穩(wěn)態(tài)振幅X和相位角j都只取決于系統(tǒng)本身的物理特性（x,wn）和激勵力的大小與頻率有關(guān)（A,w），而與初始條件無關(guān)。初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動。（3）響應(yīng)的振幅X與激勵的振幅A成正比。(4)相位差j表示響應(yīng)滯后于激勵的相位角。1054.振動系統(tǒng)的全部響應(yīng)方程的解包括兩部分：一部分是響應(yīng)的齊次微分方程的通解，即有阻尼系統(tǒng)的自由振動；另一部分是非齊次微分方程的一個特解。綜合這兩部分，諧波激勵下的強迫振動的全部解為：第一項對應(yīng)于自由振動，隨著時間的增長，此項將趨近于零，稱為瞬態(tài)振動；第二項對應(yīng)于穩(wěn)態(tài)的強迫振動，是一種持續(xù)的振動，為方程的穩(wěn)態(tài)解。1061074.4.2諧波激勵下的無阻尼強迫振動無阻尼強迫振動的運動規(guī)律108初始條件：109穩(wěn)態(tài)振動部分的振幅記為2、動力系數(shù)的特性（1）動力系數(shù)b是無量綱的。（2）動力系數(shù)b只與激勵頻率和系統(tǒng)的自然頻率之比w/wn有關(guān)，而與其它因素?zé)o關(guān)。（3）動力系數(shù)b可大于或小于1，可正可負，正號表示位移與激勵同步，相位差為0，負號表示位移與激勵反相，位移落后激勵的相位差為180。110動力系數(shù)絕對值與頻率比的關(guān)系曲線如圖（1）頻率比w/wn→0時，激勵頻率與系統(tǒng)的自然頻率相比很小，激勵變化很慢，接近靜載荷情況，動力系數(shù)b→1。（2）頻率比w/wn→∞時，激勵頻率與系統(tǒng)的自然頻率相比很大，激勵變化很快，系統(tǒng)來不及響應(yīng)，動力系數(shù)b→0。（3）頻率比w/wn→1時，激勵頻率與系統(tǒng)的自然頻率相接近，動力系數(shù)b→∞，系統(tǒng)發(fā)生共振。1113、共振現(xiàn)象如上所述，當(dāng)頻率比w/wn→1，動力系數(shù)b→∞。動力系數(shù)理論上接近于無窮大，系統(tǒng)將發(fā)生共振現(xiàn)象。此時，1124、“拍振”現(xiàn)象在初始條件為：113114115由于瞬態(tài)解是自由振動很快就衰減掉了，故只考慮強迫振動的穩(wěn)態(tài)解。設(shè)穩(wěn)態(tài)解為：116117118119諧波激勵下的有阻尼強迫振動1、幅頻曲線及其特性1201211221232.相頻曲線及其特性公式描述了振動位移、激勵兩信號間的相位差與激勵頻率之間的函數(shù)關(guān)系，故稱j(w)為系統(tǒng)的相頻特性。相頻特性曲線具有如下特點：1241253、穩(wěn)態(tài)強迫振動中的能量平衡從能量的角度來看，在穩(wěn)態(tài)強迫振動過程中，外界激勵持續(xù)地向系統(tǒng)輸入能量，這部分能量由粘性阻尼器所消耗?，F(xiàn)考慮一個單自由度系統(tǒng)，在諧波F(t)=kAcoswt激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為126127128在一個周期內(nèi)，振動系統(tǒng)凈增加的能量為129

動力學(xué)x1是齊次方程的通解小阻尼：（A、積分常數(shù)，取決于初始條件）x2是特解：代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理—強迫振動的振幅—強迫振動相位滯后激振力相位角振動微分方程的全解為衰減振動強迫振動130

動力學(xué)振動開始時，二者同時存在的過程——瞬態(tài)過程。僅剩下強迫振動部分的過程——穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。頻率比振幅比阻尼比因此：二、阻尼對強迫振動的影響1、振動規(guī)律簡諧振動。2、頻率：有阻尼強迫振動的頻率，等于激振力的頻率。3、振幅131

動力學(xué)(1)(2)阻尼也可忽略。(3)阻尼對振幅影響顯著。一定時，阻尼增大，振幅顯著下降?！舱耦l率此時：132

機械動力學(xué)4、相位差有阻尼強迫振動相位總比激振力滯后一相位角，稱為相位差。(1)總在0至區(qū)間內(nèi)變化。(2)相頻曲線（-曲線）是一條單調(diào)上升的曲線。隨增大而增大。(3)共振時=1，，曲線上升最快，阻尼值不同的曲線，均交于這一點。(4)>1時，隨增大而增大。當(dāng)》1時，反相。133

機械動力學(xué)例1已知P=3500N，k=20000N/m,H=100N,f=2.5Hz

,c=1600N·s/m,求b,,強迫振動方程。解：134

機械動力學(xué)135單自由度系統(tǒng)振動的應(yīng)用自由振動的應(yīng)用1、轉(zhuǎn)動慣量的確定1）物理擺振動法1362）滾動擺振動法有些零、部件不適合于懸掛而宜于擺動，則可采用下圖所示的方法，將一輪和軸的裝配體置于兩平行的軌道上，讓其作為小范圍的往復(fù)滾動，并用秒表測量其滾動的頻率或周期T。1373）扭轉(zhuǎn)振動法1382、摩擦系數(shù)的確定1）求固體摩擦系數(shù)1392）求液體的黏性阻尼系數(shù)1403.特定條件下動載荷系數(shù)的確定起重機以等速v0下降貨物m，試求一旦緊急剎車時鋼繩所受的最大拉力和動載荷系數(shù)。在剎車瞬間吊重mg離其靜平衡位置的初位移為x0=0，初速度為v0。振幅為v0/wn,141142

機械動力學(xué)強迫振動的應(yīng)用引起轉(zhuǎn)子劇烈振動的特定轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。這種現(xiàn)象是由共振引起的，在軸的設(shè)計中對高速軸應(yīng)進行該項驗算。單圓盤轉(zhuǎn)子：圓盤：質(zhì)量m,質(zhì)心C點；轉(zhuǎn)軸過盤的幾何中心A點，AC=e，盤和軸共同以勻角速度轉(zhuǎn)動。當(dāng)<n（n為圓盤轉(zhuǎn)軸所組成的系統(tǒng)橫向振動的固有頻率）時，OC=f+e(f為軸中點A的彎曲變形）。

一、轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速143

機械動力學(xué)（k為轉(zhuǎn)軸相當(dāng)剛度系數(shù)）144145146147148旋轉(zhuǎn)機械偏心質(zhì)量引起的強迫振動在工程中旋轉(zhuǎn)機械是很多的，如通風(fēng)機、電動機、水泵、離心壓縮機以及發(fā)動機等等，由于其制造中的誤差，導(dǎo)致偏心不平衡質(zhì)量引起強迫振動是很普遍的現(xiàn)象。如圖安裝在簡支梁上的電動機系統(tǒng)，由于轉(zhuǎn)子偏心引起系統(tǒng)振動，其振動系統(tǒng)簡化如右下圖149150151

機械動力學(xué)2、減振與隔振的概念劇烈的振動不但影響機器本身的正常工作，還會影響周圍的儀器設(shè)備的正常工作。減小振動的危害的根本措施是合理設(shè)計，盡量減小振動，避免在共振區(qū)內(nèi)工作。許多引發(fā)振動的因素防不勝防，或難以避免，這時，可以采用減振或隔振的措施。

減振：在振體上安裝各種減振器，使振體的振動減弱。例如，利用各種阻尼減振器消耗能量達到減振目的。152

機械動力學(xué)隔振：將需要隔離的儀器、設(shè)備安裝在適當(dāng)?shù)母粽衿鳎◤椥匝b置）上，使大部分振動被隔振器所吸收。隔振主動隔振：將振源與基礎(chǔ)隔離開。被動隔振：將需防振動的儀器、設(shè)備單獨與振源隔離開。1531）主動隔振主動隔振也叫力隔振，機器本身是振源，使它與基礎(chǔ)隔離開來，以減少它對周圍設(shè)備的影響，隔掉傳到基礎(chǔ)上的力。如圖：外力按諧波規(guī)律變化，則154155Tr與l的關(guān)系曲線與支承運動的幅頻響應(yīng)特性曲線是一樣的。要想使Ft<F0即Tr<1隔振有效果，必須使