【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第9章§9.5空間角(A、B)精品課件 大綱人教

§9.5空間角(A、B)

考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考9.5空間角(A、B)雙基研習(xí)·面對(duì)高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．異面直線所成的角已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作a′∥a，b′∥b，我們把_______所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．2．斜線和平面所成的角(1)斜線與斜線在平面的_______所成的角叫斜線與平面所成的角，其范圍為[0°，90°]．a(chǎn)′與b′射影(2)直線與平面所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與直線在平面內(nèi)的射影所成的角，也可用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2來計(jì)算或通過向量法求解．設(shè)平面α的法向量為n，直線a的方向向量為a，若直線與平面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，a〉|.(3)射影定理：從平面α外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：①射影相等的兩條斜線段______，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段______．(4)最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)過斜足的直線所成的一切角中的最小的角，且cosθ＝______________.相等都短cosθ1·cosθ23．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的__________所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作__________的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做________________．(3)二面角的平面角的作法：①定義法；②三垂線定理法；③作棱的垂面法；④向量法．兩個(gè)半平面垂直于棱二面角的平面角思考感悟1．異面直線a，b的方向向量a，b的夾角〈a，b〉是異面直線所成的角嗎？2．二面角的平面角的大小與在二面角的棱上選的點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？提示：如圖，用兩個(gè)垂直于棱的平面γ1，γ2去截一個(gè)二面角α－a－β，由等角定理知，所截得的兩個(gè)角θ1和θ2相等，這說明二面角的平面角與二面角的棱上選的點(diǎn)的位置無關(guān)．3．用平面的法向量，如何求線面角、二面角的大?。?．(教材例1改編)如圖，AB與面α所成的角∠ABO＝45°，DC∩OD＝D，且DC?α，∠ODC＝45°，則異面直線線AB與DC所成的角為()A．60°B．45°C．30°D．90°答案：A課前熱身答案：A3．下列說法正正確的是()A．若直線l1、l2和平面α所成的角相等等，則l1∥l2B．若直線l1和l2平行，則l1、l2和平面α所成的角相等等C．若直線l1和l2相交，則l1、l2和平面α所成的角必不不相等D．若直線l1、l2和平面α所成的角不相相等，則l1與l2也可平行答案：B4．等腰直角△△ABC中，AB＝BC＝1，M為AC中點(diǎn)，沿BM把它折成二面面角，折后A與C的距離為1，則二面角C－BM－A的大小為________．答案：90°答案：45°考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一求異面直線所成的角求異面直線所所成的角的關(guān)關(guān)鍵是通過平平移使其變?yōu)闉橄嘟恢本€所所成的角，但但平移哪一條條直線、平移移到什么位置置，則依賴于于特殊點(diǎn)的選選取，選取特特殊點(diǎn)時(shí)，要要盡可能地使使它與題設(shè)的的所有相關(guān)條條件和解題目目標(biāo)緊密地聯(lián)聯(lián)系起來．如圖，已知正正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)．求直線B1C與DE所成角的余弦弦值．例1找斜線與平面面所成的角，，實(shí)質(zhì)就是找找斜線在平面面內(nèi)的射影，，也就是找斜斜線上的點(diǎn)在在平面上的射射影，轉(zhuǎn)化為為解Rt△或用向量、、或者用公式式cosθ＝cosθ1·cosθ2.參考教材例1及習(xí)題9.7第5題．考點(diǎn)二求斜線與平面所成的角四面體A－BCS中，SB、SA、SC兩兩垂直，∠∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，M為AB的中點(diǎn)，求：：(1)BC與平面SAB所成的角；(2)SC與平面ABC所成角的正弦弦值．【思路分析】由SA、SB、SC兩兩垂直，尋尋找面面垂直直及線面垂直直，從而作出出所求的角．．例2【解】(1)∵SC⊥SB，SC⊥SA，SA∩SB＝S，∴SC⊥平面SAB，故SB是斜線BC在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直線BC與平面SAB所成的角，大大小為60°.【思維總結(jié)】此題采用了作作角，求角的的方法，轉(zhuǎn)化化到直角三角角形求解還是是比較方便的的，也可以建建立S－xyz的坐標(biāo)系求解解．互動(dòng)探究1在本例中，CB與平面SAC所成的角和CA與面SCB所成的角相等等嗎？分別是是多少．解：∵SB⊥SA，SB⊥SC，SA∩SC＝S，∴SB⊥平面SAC.∴∠SCB為CB與平面SAC所成的角．同理，SA⊥面SBC.∴∠SCA為CA與平面SCB所成的角．又∵SB＝SA，∠CSA＝∠CSB＝90°，SC＝SC∴Rt△CSA≌△Rt△CSB.∴∠SCB＝∠SCA＝90°－60°＝30°.求二面角的大大小，一般先先作出(或找出)其平面角．作作平面角的方方法常用定義義法、三垂線線法、作棱的的垂面法．若若不找平面角角，可聯(lián)想垂垂直于棱的異異面直線所成成的角或結(jié)合合向量求解，，參考教材習(xí)習(xí)題9.7第5題．考點(diǎn)三求二面角如圖，已知直直二面角α－PQ－β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°，直線CA和平面α所成的角為30°.(1)證明：BC⊥PQ；(2)求二面角B－AC－P的余弦值．．例3【思路分析】利用面⊥面面，在β內(nèi)可作α的垂線，以以此可作出出其平面角角．對(duì)于(B版)可利用建系系法．【解】(1)證明：在平平面β內(nèi)過點(diǎn)C作CO⊥PQ于點(diǎn)O，連結(jié)OB.因?yàn)棣痢挺拢痢搔拢絇Q，所以CO⊥α.又因?yàn)镃A＝CB，所以O(shè)A＝OB.而∠BAO＝45°，所以∠ABO＝45°，∠AOB＝90°.從而BO⊥PQ.又CO⊥PQ，BO∩CO＝O，所以PQ⊥平面OBC，因?yàn)闉锽C?平平面面OBC，所所以以PQ⊥BC.(2)法一一：：由由(1)知，，BO⊥PQ，又又α⊥β，α∩β＝PQ，BO?α，所以以BO⊥β.過點(diǎn)點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)點(diǎn)H，連連結(jié)結(jié)BH，由三三垂垂線線定定理理知知，，BH⊥AC.故∠∠BHO是二二面面角角B-AC-P的平平面面角角．．由(1)知，，CO⊥α，所所以以∠∠CAO是CA和平平面面α所成成的的角角，，則∠CAO＝30°.【思維總結(jié)結(jié)】二面角是是三種角角中最復(fù)復(fù)雜的一一種，求求解二面面角的方方法很多多，其關(guān)關(guān)鍵是求求其平面面角．用用向量求求該角時(shí)時(shí)，要注注意兩個(gè)個(gè)平面的的法向量量的方向向．互動(dòng)探究究2如果例3條件不變變，求二二面角C—AB—P的大小(理)(文科求其其余弦值值)．對(duì)于沒有有畫出““棱”的的二面角角，求角角時(shí)，應(yīng)應(yīng)先畫出出其棱，，再找出出平面角角進(jìn)行轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化，或或者用平平面的法法向量．．考點(diǎn)四“無棱”的二面角的求法例4【思路分析析】對(duì)于面SCD與面SBA“無棱”，，應(yīng)根據(jù)據(jù)公理2過S點(diǎn)可作兩兩平面的的交線．．【思維總結(jié)結(jié)】對(duì)于“無無棱”的的二面角角，必須須先找出出棱才能能找出平平面角，，否則就就利用法法向量所所夾的角角求二面面角，省省去作平平面角的的過程，，或者利利用射影影面積計(jì)計(jì)算．方法技巧巧1．“線線線角抓平平移，線線面角定定射影””，求直直線和平平面所成成的角，，關(guān)鍵是是確定直直線在平平面內(nèi)的的射影．．若不好好確定斜斜線在平平面內(nèi)的的射影，，也可先先找到斜斜線上的的一點(diǎn)到到平面的的距離，，然后利利用這個(gè)個(gè)距離與與斜線段段長(zhǎng)之比比求出線線面角的的正弦值值，從而而求出線線面角．．還可利利用“斜斜線與平平面所成成角”與與“斜線線和平面面的垂線線所成角角”互余余，將線線面角轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為線線線角來來求．如如例1，例2.方法感悟悟2．確定二二面角的的平面角角的常用用方法(1)定義法：：在棱上上任取一一點(diǎn)，過過這點(diǎn)在在兩個(gè)半半平面內(nèi)內(nèi)分別引引棱的垂垂線，這這兩條射射線所成成的角，，就是二二面角的的平面角角．(2)三垂線定定理及逆逆定理法法：自二二面角的的一個(gè)半半平面上上一點(diǎn)A(不在棱上上)向另一半半平面所所在平面面引垂線線，再由由垂足B(垂足在棱棱上則二二面角為為直二面面角)向棱作垂垂線得到到棱上的的點(diǎn)C，連結(jié)結(jié)AC則∠ACB(或其補(bǔ)補(bǔ)角)即為二二面角角的平平面角角．失誤防防范考向瞭望·把脈高考考情分分析從近兩兩年的的高考考試題題來看看，考考查的的內(nèi)容容主要要有：：(1)兩異面面直線線所成成的角角；(2)直線和和平面面所成成的角角；(3)二面角角．空間角角是立立體幾幾何中中的一一個(gè)重重要概概念，，它是是空間間圖形形的一一個(gè)突突出的的量化化指標(biāo)標(biāo)，是是空間間圖形形位置置關(guān)系系的具具體體體現(xiàn)，，故它它以高高頻率率的姿姿態(tài)出出現(xiàn)在在歷屆屆高考考試題題中，，可以以在填填空題題或選選擇題題中出出現(xiàn)，，更多多的在在解答答題中中出現(xiàn)現(xiàn)．結(jié)結(jié)合平平行、、垂直直關(guān)系系組成成綜合合題，，難度度稍大大，既既可用用普通通法求求解，，也可可用建建系、、用向向量求求解．．2010年的高高考中中，對(duì)對(duì)角的的考查查很普普遍，，大綱綱全國(guó)國(guó)卷Ⅰ理第7題以選選擇題題形式式考查查了線線面角角的計(jì)計(jì)算，，同時(shí)時(shí)第19題又考考查了了二面面角的的求法法，江江西文文第20題同時(shí)時(shí)考查查了線線面角角與二二面角角的求求法，，上海海第21題考查了異異面直線所所成的角．．預(yù)測(cè)2012年高考仍將將以選擇題題、填空題題和解答題題的形式重重點(diǎn)考查對(duì)對(duì)幾類角的的求解，其其中解答題題仍會(huì)結(jié)合合平行、垂垂直關(guān)系和和求距離一一起形成綜綜合題．求求角的過程程中可能會(huì)會(huì)用到余弦弦定理，故故復(fù)習(xí)的過過程中要加加強(qiáng)對(duì)余弦弦定理的練練習(xí)和運(yùn)算算能力的培培養(yǎng)．規(guī)范解答例【解】法一：(1)如圖，取CD中點(diǎn)O，連接OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD.2分所以MO∥AB，A、B、O、M四點(diǎn)共面．．延長(zhǎng)AM，BO相交于E,則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角.4分(2)CE是平面ACM與平面BCD的交線．由(1)知，O是BE的中點(diǎn)，則則四邊形BCED是菱形．作BF⊥EC于F，連接AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角角A－EC－B的平面角，，設(shè)為θ.8分法二：取CD中點(diǎn)O，連接OB、OM，則OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD.2分以O(shè)為原點(diǎn)，直直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸，建立空空間直角坐坐標(biāo)系如圖圖：【名師點(diǎn)評(píng)】本題在面面面垂直、線線面垂直的的基本關(guān)系系上，考查查了線面角角，二面角角的求法，，體現(xiàn)了空空間幾何體體中作、證證、算于一一體的基本本思想，難難度稍大．．其難點(diǎn)是是本題所涉涉及的幾何何體不是常常見的柱、、錐等幾何何體，空間間關(guān)系只能能從正三角角、面面垂垂直、線面面垂直的性性質(zhì)來尋找找，理清這這些性質(zhì)，，其它問題題就可迎刃刃而解．如圖，在三三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若D，E，F(xiàn)分別為PB，PC，AC的中點(diǎn)，在在PB上是否存在在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ADE？若存在，，請(qǐng)指出點(diǎn)點(diǎn)G的位置，并并證明你的的結(jié)論；若若不存在，，請(qǐng)說明理理由；(3)求二面角A－PB